数学人教B版 (2019)第十一章 立体几何初步本章综合与测试精练

专题强化练2　空间中的垂直关系

一、单项选择题

1.(2019湖南醴陵二中、醴陵四中高一下联考,★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-C1D1-C的大小等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.30° B.45° C.60° D.90°

2.(★★☆)如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是(　　)

A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β  C.PQ⊥GE   D.PQ⊥FH

3.(★★☆)如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为45°,30°.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A',B',则AB∶A'B'=(　　)

A.2∶1 B.3∶1     C.3∶2   D.4∶3

4.(2019四川雅安高二上期末检测,★★★)三棱锥P-ABC中,AC⊥BC,PA⊥平面ABC,AC=BC=2,PA=4,则PC和平面PAB所成角的正切值为(　　)

A.1 B.      C.    D.

二、填空题

5.(★★☆)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1,AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=　　　　. 

6.(★★☆)如图,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三角形,O为AB的中点,则图中直角三角形的个数为　　　　. 

7. (★★☆)如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:
8. ①PA∥平面MOB;
9. ②MO∥平面PAC;

③OC⊥平面PAC;

④平面PAC⊥平面PBC.

其中正确的是　　　　.(填上所有正确命题的序号) 

8.(★★★)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件　　　　时,有AB1⊥BC1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况) 

9.(2019湖南长郡中学高二下期中,★★★)如图1,矩形ABCD中,AB=2BC,E,F分别是AB,CD的中点,现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A-EF-C(如图2),则在图2中,直线AF与平面BCFE所成角的大小为　　　　. 

答案全解全析

一、单项选择题

1.B　如图,易知C1D1是平面AC1D1与平面CDD1C1的交线,∵AD1⊥C1D1,DD1⊥C1D1,

∴∠AD1D就是二面角A-C1D1-C的平面角.在Rt△ADD1中,∵AD=DD1,∴∠AD1D=45°,故选B.

2.B　因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH,故选B.

3.A　如图,连接A'B,AB',由已知得AA'⊥平面β,∴∠ABA'=30°,

∵BB'⊥平面α,∴∠BAB'=45°.设AB=a,则BA'=a,BB'=a.

在Rt△BA'B'中,A'B'=a,∴=2.故选A.

4.B　在平面ABC内,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接PD.

∵AC=BC=2,∴D是AB的中点,且CD=,PD=3.

∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥CD, ∵CD⊥AB,∴CD⊥平面PAB,

∴∠CPD即是PC和平面PAB所成的角,∴tan∠CPD===,

故PC和平面PAB 所成角的正切值为.故选B.

二、填空题

5.答案　90°

解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1,MN⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M,且B1M∩B1C1=B1,∴MN⊥平面C1B1M,∴MN⊥C1M,∴∠C1MN=90°.

6.答案　6

解析　∵CA=CB,O为AB的中点,∴CO⊥AB.

又平面ABC⊥平面ABD,且交线为AB,∴CO⊥平面ABD.

∵OD⊂平面ABD,∴CO⊥OD,∴△COD为直角三角形.

∴题图中的直角三角形有△AOC,△COB,△ABC,△AOD,△BOD,△COD,共6个.

7.答案　②④

解析　因为PA⊂平面MOB,所以①不正确;由题意得MO∥PA,因为MO⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以②正确;OC不垂直于AC,所以③不正确;因为BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以④正确.

8.答案　A1C1⊥B1C1

解析　如图所示,连接B1C,由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1,只要证BC1⊥平面AB1C,即证AC⊥BC1,由直三棱柱ABC-A1B1C1可知,只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,所以只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等)

9.答案　45°

解析　由二面角A-EF-C是直二面角知,

平面ADFE⊥平面BCFE,又平面ADFE∩平面BCFE=EF,AE⊂平面ADFE,AE⊥EF,

∴AE⊥平面BCFE.∴EF是AF在平面BCFE上的射影.

∴∠AFE就是直线AF与平面BCFE所成的角.

在Rt△AEF中,AE=EF,∴∠AFE=45°,

即直线AF与平面BCFE所成角的大小为45°.