数学必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试巩固练习

专题强化练3　折叠问题

一、单项选择题

1.(★★☆)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体中,下列说法正确的是　(　　)

A.平面ABD⊥平面ABC

B.平面ACD⊥平面BCD

C.平面ABC⊥平面BCD

D.平面ACD⊥平面ABC

二、解答题

2.(★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起,使点B与点C重合于点P.

(1)求证:平面PDE⊥平面PAD;

(2)求二面角P-AD-E的大小.

3.(★★☆)如图①所示的等边三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠,使平面ADC⊥平面BDC,如图②所示.

(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;

(2)求四面体ADBC外接球的体积与四棱锥D-ABFE的体积之比.

4.(★★★)已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD;

(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

5.(★★★)如图①,☉O的直径AB=4,点C,D为☉O上两点,且∠CAB=45°,F为的中点.将☉O沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图②).

(1)求证:OF∥平面ACD;

(2)在AD上是否存在点E,使得平面OCE⊥平面ACD?若存在,试指出点E的位置;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

一、单项选择题

1.D　∵在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=45°,∴∠ADC=135°,

∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ADB=45°,∴∠BDC=90°,∴BD⊥CD.

又在四面体ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,故CD⊥平面ABD,∴CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD,

又AB⊂平面ABC,∴平面ACD⊥平面ABC.

二、解答题

2.解析　(1)证明:由AB⊥BE,得AP⊥PE,同理,DP⊥PE.

又∵AP∩DP=P,∴PE⊥平面PAD.又PE⊂平面PDE,∴平面PDE⊥平面PAD.

(2)取AD的中点F,连接PF,EF,则PF⊥AD,EF⊥AD,∴∠PFE就是二面角P-AD-E的平面角.

又PE⊥平面PAD,∴PE⊥PF.∵EF=AB=,PF==1,

∴cos∠PFE==.∴二面角P-AD-E的大小为45°.

3.解析　(1)AB∥平面DEF.

理由:∵E,F分别是AC,BC的中点,∴AB∥EF,∵AB⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,∴AB∥平面DEF.

(2)以DA,DB,DC为棱补成一个长方体,则四面体ADBC的外接球即为长方体的外接球.

设球的半径为R,则a2+a2+3a2=(2R)2,∴R=a,于是球的体积V1=πR3=πa3.

又=S△BDC·AD=a3,VE-DFC=S△DFC·AD=a3,∴==.

故四面体ADBC外接球的体积与四棱锥D-ABFE的体积之比为.

4.解析　(1)证明:在△AOC中,AC=a=2,易知AO=CO=,∴AC2=AO2+CO2,∴AO⊥CO.

∵AO⊥BD,BD∩CO=O,∴AO⊥平面BCD.

(2)折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO,∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.

在△AOC中,AO=CO=,易得AC=.如图,过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.

∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC,∴BD⊥AH.

又∵CO⊥AH,CO∩BD=O,∴AH⊥平面BCD,∴AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK.

∵AK∩AH=A,∴BC⊥平面AHK.∵HK⊂平面AHK,∴BC⊥HK.∴∠AKH为二面角A-BC-D的平面角.

在Rt△AHO中,易得AH=,OH=,CH=.在Rt△CKH中,易得HK=CH=.

在Rt△AHK中,tan∠AKH===.故二面角A-BC-D的正切值为.

5.解析　(1)证明:连接CO,由∠CAB=45°,知∠COB=90°,又因为点F为的中点,

所以∠FOB=45°,因此OF∥AC,又AC⊂平面ACD,OF⊄平面ACD,所以OF∥平面ACD.

(2)存在,E为AD中点.理由如下:

连接OD,OE.因为OA=OD,所以OE⊥AD.

又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直.所以OC⊥平面OAD.

又AD⊂平面OAD,所以OC⊥AD,

由于OE,OC是平面OCE内的两条相交直线,所以AD⊥平面OCE.

又AD⊂平面ACD,所以平面OCE⊥平面ACD.