数学人教B版 (2019)第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试随堂练习题

这是一份数学人教B版 (2019)第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试随堂练习题，共8页。试卷主要包含了设P等内容，欢迎下载使用。

1.(2020浙江杭州高三期末,)如图,在三棱锥D-ABC中,AD=CD,AB=BC=42,AB⊥BC.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若二面角D-AC-B的大小为150°,且BD=47,求△BCD的中线BM与平面ABC所成角的正弦值.
2.(2020辽宁辽河油田第二高级中学高三月考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB=AD=2BC=2,BC∥AD,AB⊥AD,△PBD为正三角形,且PA=23.
(1)证明:AB⊥平面PBC;
(2)若四棱锥P-ABCD的体积为2,E是线段CD的中点,求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.
3.(2020北京临川学校高三期中,)如图,在四棱锥S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,四边形ABCD是边长为1的正方形,且SA=1,M是SD的中点.
(1)求证:SC⊥AM;
(2)求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小.
4.(2019山东济宁高三月考,)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,AD=AB=1,BC=2.
(1)求证:平面PBD⊥平面PBC;
(2)设H为CD上一点,且满足CH=2HD,若直线PC与平面PBD所成角的正切值为63,求二面角H-PB-C的余弦值.
答案全解全析
解答题
1.解析 (1)证明:取AC的中点O,连接BO,DO.∵AD=CD,AB=BC,
∴AC⊥DO,AC⊥BO.
又BO,DO⊂平面BOD,且BO∩DO=O,
∴AC⊥平面BOD.
又BD⊂平面BOD,∴AC⊥BD.
(2)由(1)易知∠BOD是二面角D-AC-B的平面角,∴∠BOD=150°,
又AC⊥平面BOD,∴平面BOD⊥平面ABC,
在平面BOD内作Oz⊥OB,则Oz⊥平面ABC,可建立如图所示的空间直角坐标系,
易得OB=OA=OC=4,故在△BOD中,由余弦定理可得OD=43,
∴A(0,-4,0),B(4,0,0),C(0,4,0),D(-6,0,23).
又∵M为CD的中点,∴M(-3,2,3),
∴BM=(-7,2,3).
又平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),
∴直线BM与平面ABC所成角的正弦值sin θ=|n·BM||n||BM|=356=4228.
2.解析 (1)证明:∵AB⊥AD,AB=AD=2,
∴BD=22.
又△PBD为正三角形,
∴PB=PD=BD=22.
又∵AB=2,PA=23,∴由勾股定理的逆定理得AB⊥PB.
又∵AB⊥AD,BC∥AD,∴AB⊥BC.
∵PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AB⊥平面PBC.
(2)设点P到平面ABCD的距离为h,则V四棱锥P-ABCD=13×12×(1+2)×2×h=h,依题可得h=2.以A为原点,直线AB,AD分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),故E1,32,0.设P(x,y,2).
由PA=23,PB=PD=22,
得x2+y2+4=12,(x-2)2+y2+4=8,x2+(y-2)2+4=8,解得x=2,y=2,
即P(2,2,2),∴PE=-1,-12,-2.
又由(1)可知,AB=(2,0,0)是平面PBC的一个法向量,
∴cs=PE·AB|PE||AB|=-1×2(-1)2+-122+(-2)2×2=-22121,
∴直线PE与平面PBC所成角的正弦值为22121.
3.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴CD⊥AD.
∵SA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥SA.
∵AD∩SA=A,∴CD⊥平面SAD.
∵AM⊂平面SAD,∴AM⊥CD.
又SA=AD=1,M是SD的中点,∴AM⊥SD.
∵SD∩CD=D,∴AM⊥平面SCD.
∵SC⊂平面SCD,∴SC⊥AM.
(2)解法一:由题知AB,AD,AS两两垂直,以A为原点,AB,AD,AS的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz,如图所示.
则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,1,0),M0,12,12,
∴AD=(0,1,0),AM=0,12,12,
∴cs=AM·AD|AM||AD|=1222×1=22,
∴AM与AD所成角为45°.
易得AD⊥平面SAB,则AD是平面SAB的一个法向量,
由(1)知AM⊥平面SCD,
∴AM是平面SCD的一个法向量,
因此,平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小为45°.
解法二:过点S作直线SE,使得SE∥AB,则SE∥CD,
∴SE⊂平面SAB,SE⊂平面SCD,∴SE就是平面SAB与平面SCD所成二面角的棱.
由题意知,AB⊥AD,AB⊥AS,AS∩AD=A,则AB⊥平面SAD.
又SE∥AB,∴SE⊥平面SAD,∴AS⊥SE,SE⊥SD,
∴∠ASD就是平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角.
在Rt△SAD中,SA=AD,∴∠ASD=45°,
∴平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小为45°.
4.解析 (1)证明:由AD⊥CD,AB∥CD,AD=AB=1,可得BD=2,∠BDC=45°,
故BC=BD,∴∠BCD=∠BDC=45°,
∴BC⊥BD,∴CD=2.
∵PD⊥底面ABCD,∴BC⊥PD.
∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD,又BC⊂平面PBC,∴平面PBD⊥平面PBC.
(2)由(1)可知BC⊥平面PBD,∴∠BPC为直线PC与平面PBD所成的角.
∴tan∠BPC=63,∴PB=3.
在Rt△BCD中,CD=BC2+BD2=2,
在Rt△BPC中,PC=PB2+BC2=5,
在Rt△PDC中,PD=PC2-CD2=1.
∵CH=2HD,CD=2,∴CH=43,DH=23.
以D为坐标原点,DA,DC,DP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),
则B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),H0,23,0,
∴HP=0,-23,1,PB=(1,1,-1).
设平面HPB的一个法向量为n=(x,y,z).
则n·HP=0,n·PB=0,即-23y+z=0,x+y-z=0,
令x=1,得n=(1,-3,-2).
同理,平面PBC的一个法向量为m=(1,1,2),
∴cs=m·n|m||n|=-217.
又二面角H-PB-C为锐角,
∴二面角H-PB-C的余弦值为217.