华师大版九年级上册22.2 一元二次方程的解法综合与测试导学案

第5讲  一元二次方程的解法

1.了解一元二次方程及有关概念；

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；

3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．

知识点01  一元二次方程的解法

1．基本思想

    一元二次方程一元一次方程

2．基本解法

    直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．

【知识拓展】

解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
　  法，再考虑用公式法．

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.

（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

要点诠释：

    “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
【即学即练1】

用适当的方法解一元二次方程

　(1) 0.5x2-=0；　　    　 (2) (x+a)2=；
　　(3) 2x2-4x-1=0；　　　     (4) (1-)x2=(1+)x．
　【答案】　

(1)原方程可化为0.5x2=
　　　　　 ∴x2=
　　　　　 用直接开平方法，得方程的根为
　　　　　 ∴x1=，x2=-．
　　　(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+
　　　　　 ∴x2=a2
　　　　　 用直接开平方法，得原方程的根为
　　　　　 ∴　x1=a，x2=-a．
　　　(3) a=2，b=-4，c=-1
　　　　　 b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0
　　　　　 x=
　　　　　 ∴x1=，x2=.
　　　(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0
　　　　　 用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0
　　　　　 ∴ x1=0，x2=-3-2．
【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用    这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．

【即学即练2】

解方程：x2+4x﹣1=0．
【思路】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．

【答案】

解：∵x2+4x﹣1=0

∴x2+4x=1

∴x2+4x+4=1+4

∴（x+2）2=5

∴x=﹣2±

∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．

【总结】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

知识点02  一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1.一元二次方程根的判别式 

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

考点诠释：

1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
   2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

【即学即练2】

若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）

　 A．a≥1 B． a＞1 C． a≤1 D． a＜1

【答案】A；

【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，

∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a）≥0，

∴a≥1．

故选A．

【总结】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，

求出a的取值范围．

【即学即练3】

已知x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，

（1）求t的取值范围； （2）设，求s关于t的函数关系式．

【答案】

(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t＜-1．

(2)由一元二次方程根与系数的关系知：，，

从而，即．

【总结】利用根与系数关系求函数解析式综合题.

考法01  直接开方法

1.求下列x的值

（1）x2﹣25=0

（2）（x+5）2=16．

【思路】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．

【答案】

  解：（1）∵x2﹣25=0，

∴x2=25，

∴x=±5．

（2）∵（x+5）2=16，

∴x+5=±4，

∴x=﹣1或﹣9．　　
【总结】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．
2.用直接开平方法求下列各方程的根：
　　    (1)x2=361； 　　　(2)2y2-72=0；   　(3)5a2-1=0；　　　(4)-8m2+36=0．
【答案】(1)∵ x2=361，
　　　　　　∴ x=19或x=-19．
　　　　(2)∵2y2-72=0，
　　　　　 2y2=72，
　　　　　 y2=36，
　　　　　 ∴ y=6或y=-6．
　　　　(3)∵5a2-1=0，
　　　　　 5a2=1，
　　　　　 a2=，
　　　　　 ∴a=或a=-．
　　　　(4)∵-8m2+36=0，
　　　　　 -8m2=-36，
　　　　　 m2=，
　　　　　 ∴m=或m=-．

考法02  配完全平方法

1.用配方法解方程.
　    　(1)x2-4x-2=0；  　              (2)x2+6x+8=0.    
【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．
　　　　　 两边都加4，得x2-4x+4=2+4．
　　　　　 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．
　　　　　 解这个方程，得x-2=或x-2=-．
　　　　　 于是，原方程的根为x=2+或x=2-．
　　  　(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．
　　　　　 两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，
　　　　　 ∴ (x+3)2=1．
　　　　　 用直接开平方法，得x+3=±1，
　　　　　 ∴ x=-2或x=-4．

2.若代数式，，则的值（　　）

Ａ．一定是负数  Ｂ．一定是正数  Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数

【答案】B；

【解析】（作差法）

．故选Ｂ．

【总结】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.

3．用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．

【答案】

解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5

=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2

=﹣8（x﹣）2﹣，

∵（x﹣）2≥0，

∴﹣8（x﹣）2≤0，

∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，

即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．

【总结】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．

4.求代数式 x2+8x+17的最小值

【答案】x2+8x+17= x2+8x+42-42+17=（x+4）2+1

        ∵（x+4）2≥0，

∴当（x+4）2=0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.

5．已知，求的值．

【思路】

       解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式．

【答案】

将原式进行配方，得

，

即，

∴  且，

∴  ，．

∴  ．

考点03 判别式与根与系数的关系

已知关于x的一元二次方程的两实数根为，．

（1）求m的取值范围；

（2）设，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

【答案】（1）将原方程整理为．

            ∵  原方程有两个实数根．

∴  ，∴  ．

（2） ，且．

因为y随m的增大而减小，故当时，取得最小值1．

题组A  基础过关练

1. 关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（　　）

    A.－1      B.0          C.1      D.－1或1

【答案】A；

【解析】先把x＝0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1舍去．

2．已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（　　）

A.  B.      C.﹣1   D.1

【答案】D；

【解析】先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，

再整体代入即可．

解：原式==，

∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，

∴a2+a﹣1=0，

即a2+a=1，

∴原式==1．

故选D．

3．（德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）

　 A．a＜1 B． a≤4 C． a≤1 D． a≥1

【答案】C；

【解析】∵ 关于x的一元二次方程有实根，

∴ △=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，

解之得a≤1．

故选C．

4．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（    ）

A．        B．且      C．        D．

【答案】D；

【解析】△≥0得，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根.

5．如果是、是方程的两个根，则的值为（    ）

    A．1           B．17           C．6.25         D．0.25

【答案】C；

【解析】.

6．（台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）

A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45

【答案】A．

【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，

∴共比赛场数为x（x﹣1），

∴共比赛了45场，

∴x（x﹣1）=45，

故选A．

7. 方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是(　　)
　　A．0 　　　   B．1　　　 C．2　　　 D．3

【答案】C；

【解析】提示：先求公共根m=-1,再把这个公共根m=-1代入原来任意一个方程可求出a=2.

8. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足．

则k的值为（　　）

A.－1或　    B.－1　    C.　    D.不存在

【答案】C；

【解析】由题意，得：

.

题组B  能力提升练

9．关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是               .

【答案】x1=﹣4，x2=﹣1．

【解析】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），

∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．

故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．

10．已知关于x的方程x2+2(a+1)x+(3a2+4ab+4b2+2)＝0有实根，则a、b的值分别为              ．

【答案】a＝1，．

【解析】 判别式△＝[2(a+1)]2-4(3a2+4ab+4b2+2)

        ＝4(a2+2a+1)-(12a2+16ab+16b2+8)

        ＝-8a2-16ab-16b2+8a-4

        ＝-4(2a2+4ab+4b2-2a+1)

        ＝-4[(a2+4ab+4b2)+(a2-2a+1)]．

        ＝-4[(a+2b)2+(a-1)2]．

        因为原方程有实根，所以-4[(a+2b)2+(a-1)2]≥0，

(a+2b)2+(a-1)2≤0，

又∵  (a+2b)2≥0，(a-1)2≥0，

       ∴  a-1＝0且a+2b＝0，

       ∴  a＝1，．

11．已知α、β是一元二次方程的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．

【答案】-6；

【解析】∵  α、β是一元二次方程的两实数根，

∴  α+β＝4，αβ＝-3．

           ∴  ．

12．当m=_________时，关于x的方程是一元二次方程；当m=_________时，此方程是一元一次方程.

【答案】-3；．

13．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是____________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.

【答案】；2或6.

【解析】即.a=2或6.

14．（绥化）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，则a的取值范围是　　.
【答案】a＜﹣1；

15．已知，那么代数式的值为________.

【答案】-2；

【解析】原方程化为：.

16．当x=_________时，既是最简二次根式，被开方数又相同.　　　

【答案】-5；

【解析】由x2+3x=x+15解出x=-5或x=3,

当x=3时，不是最简二次根式，x=3舍去.故x=-5.

题组C  培优拔尖练

17. （南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

  【答案】

解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，

解得m≤4；

（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，

而2x1x2+x1+x2≥20，

所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，

而m≤4，

所以m的范围为3≤m≤4．

18．设(a，b)是一次函数y＝(k-2)x+m与反比例函数的图象的交点，且a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m、n为常数．

（1）求k的值；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式．

【答案】

(1)因为关于x的方程有两个不相等的实数根，

所以 解得k＜3且k≠0，

又因为一次函数y＝(k-2)x+m存在，且k为非负整数，所以k＝1．

(2)因为k＝1，所以原方程可变形为，于是由根与系数的关系知a+b＝4，ab＝-2，

又当k＝1时，一次函数过点(a，b)，所以a+b＝m，于是m＝4，同理可得n＝-2，

故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为与．