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山东省济南市高新区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份山东省济南市高新区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（4分）已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（ ）
A．2cm B．4cm C．12cm D．±2cm
5．（4分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．
﹣x
…
﹣2
﹣1
﹣1
﹣2
…
﹣y
…
﹣6
﹣4
﹣0
﹣2
…
B．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣6
﹣3
3
6
…
C．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
3
6
﹣6
﹣3
…
D．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
2
1
﹣1
﹣2
…
7．（4分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，那么tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C．4 D．
8．（4分）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，则点C的横坐标（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
9．（4分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足为点D，则图中相似三角形有几对（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
10．（4分）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
11．（4分）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（4分）sin30°的值等于 ．
14．（4分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，CD＝2，则AB的长是 ．
15．（4分）已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1与y2的关系为y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
16．（4分）如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点B和点A．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC ．
17．（4分）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，OB长为（16+16）厘米 厘米．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；③DF＝DC；④tan∠CAD＝四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有 ．
三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：|﹣2|+（）0﹣+2cos60°．
20．（6分）已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2；
（2）点C2的坐标是（ ）；若图中每个小方格的面积为1，△A2B2C2的面积＝ ．
21．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8
22．（8分）小强在地面E处放一面镜子，当他垂直于地面AC站立于点C处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，根据光的反射定律有∠FEB＝∠FED，此时EA＝20米，请计算出教学楼的高度．
23．（8分）已知：如图．△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果，AB＝3，EC＝
24．（10分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？
25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题．
如图，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm（不与点A，B重合），连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D．当BD≤2AP时
小明尝试结合学习函数的经验解决此问题．请将下面的探究过程补充完整：
由条件易证△APC∽△ ，令AP＝xcm，BD＝ycm，则有BP＝
（1）用含x的代数式表示y： ，其中自变量x的取值范围为 ．
（2）x，y的几组对应值如表所示．
x/cm
1
2
3
4
5
y/cm
10
4
2
1
0.4
请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线
（3）小明在分析BD≤2AP后，从特殊情况BD＝2AP得到函数 ，在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
（4）结合画出的两个函数图象，解决问题：当BD≤2AP时，AP的取值范围为 ．
26．（12分）如图，直线y＝x，与反比例函数y＝（m，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝x沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，若，连接AB、OB．请判断AB与OA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在射线OA上是否存在一点P，若存在，请直接写出P点坐标，请说明理由．
27．（12分）【模型呈现：材料阅读】
如图，点B，C，E在同一直线上，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，BD交于点F．
对于上述问题，存在结论（不用证明）：
（1）△BCD≌△ACE．
（2）△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成；
…
【模型改编：问题解决】
点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直线AE
如图1：点B在直线CE上．
①求证：△BCD∽△ACE；
②求∠AFB的度数．
如图2：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度．
③补全图形，则∠AFB的度数为 ；
④若将“∠BAC＝∠DEC＝50°”改为“∠BAC＝∠DEC＝m°”，则∠AFB的度数为 ．（直接写结论）
【模型拓广：问题延伸】
如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝，连接AG，BF，求
2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用正投影的定义得出答案．
【解答】解析：光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．
故选：C．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】解：由勾股定理得，
AB＝＝10，
∴cosA＝＝＝，
故选：A．
3．（4分）如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．
【解答】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积比为6：4．
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：4．
∵△ADE的面积是1，
∴四边形DBCE的面积是3．
故选：B．
4．（4分）已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（ ）
A．2cm B．4cm C．12cm D．±2cm
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【解答】解：设线段c是a、b的比例中项，
∵线段a＝2cm，b＝6cm，
∴c2＝ab＝2×6＝12，
∴c＝5，c＝﹣2．
故选：A．
5．（4分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图的定义判断即可．
【解答】解：根据左视图是定义可知，这个几何体的左视图是选项D，
故选：D．
6．（4分）下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．
﹣x
…
﹣2
﹣1
﹣1
﹣2
…
﹣y
…
﹣6
﹣4
﹣0
﹣2
…
B．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣6
﹣3
3
6
…
C．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
3
6
﹣6
﹣3
…
D．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
2
1
﹣1
﹣2
…
【分析】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，即两个变量的乘积为非零常数k．
【解答】解：A．x与y的乘积不全都相等，不合题意；
B．x与y的乘积不全都相等，不合题意；
C．x与y的乘积全都等于﹣6，符合题意；
D．x与y的乘积不全都相等，不合题意；
故选：C．
7．（4分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，那么tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】过点A作AE⊥BC于E．根据，tan∠ABC＝，求解即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E．
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，
故选：C．
8．（4分）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，则点C的横坐标（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y＝x和y＝﹣x对称．
【解答】解：把x＝1代入y＝，得y＝8，3）；
∵A、B关于y＝x对称，1）；
又∵B和C关于原点对称，
∴C点坐标为（﹣6，﹣1），
∴点C的横坐标为﹣3．
故选：B．
9．（4分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足为点D，则图中相似三角形有几对（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【分析】根据相似三角形的判定一一证明即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，
∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，
∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，
∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，
∴共有6对相似三角形，
故选：A．
10．（4分）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
【分析】根据sinα＝求解．
【解答】解：由图可知，在△ABC中，
∴sinα＝＝，
∴BC＝30sinα米．
故选：A．
11．（4分）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵＝，
∴＝，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOB＝，
∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，
∵双曲线y＝在第二象限，
∴k＝﹣2×＝﹣3，
故选：A．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由轴对称的性质可得AC＝CD，AB＝BD，可证四边形ABDC是菱形，由菱形的性质可得AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，在Rt△BOD中，利用勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求EO，AE的长，即可求解．
【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，
∴AC＝CD，AB＝BD，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝AB＝BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，∠ACO＝∠DCO，
∴BD＝＝＝5，
∵CE⊥CD，
∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO＝∠DCO+∠CAO，
∴∠CAO＝∠ECO，
∴tan∠ECO＝＝，
∴，
∴EO＝，
∴AE＝，
∴＝＝，
方法二，也可以通过证明△DCE∽△DOB．
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（4分）sin30°的值等于 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：sin30°＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，CD＝2，则AB的长是 4 ．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，
∴＝，
解得：AB＝8．
故答案为：4．
15．（4分）已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1与y2的关系为y1 ＜ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】根据反比例函数的图形和性质进行判断即可，由于点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，在第二象限，y随x的增大而增大，进而得出答案．
【解答】解：由于点A（x1，y1）和B（x8，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上6＜x2＜0，
由在第二象限内，y随x的增大而增大可得，
y8＜y2．
故答案为：＜．
16．（4分）如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点B和点A．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC 1 ．
【分析】设线段OP＝x，则可求出AP、BP，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积＝AB×OP，代入数值计算即可．
【解答】解：设线段OP＝x，则PB＝，
∵AB＝AP﹣BP＝﹣＝，
∴S△ABC＝AB×OP
＝××x
＝1．
故答案为：3．
17．（4分）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，OB长为（16+16）厘米 32 厘米．
【分析】作AC⊥OB于点C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根据勾股定理即可得到AB的长，本题得以解决．
【解答】解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，
则∠ACO＝∠ACB＝90°，
∵∠AOC＝45°，
∴∠AOC＝∠COA＝45°，
∴AC＝OC，
设AC＝xcm，则OC＝xcm+16﹣x） cm，
∵∠ABC＝30°，
∴＝，
解得，x＝16，
∴16+16﹣x＝16，
∴AB＝32（cm），
即AB的长为32cm．
故答案是：32．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；③DF＝DC；④tan∠CAD＝四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有 ①②③⑤ ．
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE＝AD＝BC，又AD∥BC，所以，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据三角函数的定义得到tan∠CAD＝，故④错误；
⑤根据△AEF∽△CBF得到，求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD；S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．
【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝，
∴，
∴CF＝2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，故③正确；
由△BAE∽△ADC，有，
∴＝，
∴，
∵tan∠CAD＝，
∴tan∠CAD＝，故④错误；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：|﹣2|+（）0﹣+2cos60°．
【分析】先化简绝对值，零指数幂，算术平方根，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝2+1﹣5+2×
＝2+1﹣8+1
＝2．
20．（6分）已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2；
（2）点C2的坐标是（ （2，0） ）；若图中每个小方格的面积为1，△A2B2C2的面积＝ 22 ．
【分析】（1）根据位似的性质，描出A，B，C，三点的对应点，连接即可‘
（2）利用分割法求出三角形的面积即可．’
【解答】解：（1）如图所示，即为所求，
（2）由图形可知C2（2，10）；
S＝3×8﹣
＝22．
21．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8
【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，再根据相似比列出比例式即可得出结果．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，AB＝8，
∴，
∴AC＝4．
22．（8分）小强在地面E处放一面镜子，当他垂直于地面AC站立于点C处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，根据光的反射定律有∠FEB＝∠FED，此时EA＝20米，请计算出教学楼的高度．
【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质，即可求出AB．
【解答】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△AEB∽△CED，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝14.8（米）．
答：教学楼AB的高度为14.4米．
23．（8分）已知：如图．△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果，AB＝3，EC＝
【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴＝，
设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝4或x＝2，
∴DC＝1或DC＝5．
24．（10分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．
【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝，
∵点（7，180）在该函数图象上，
∴180＝，得k＝180，
∴y＝，
当x＝4时，y＝，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（4，45），60）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，
，
解得2≤x≤5
∵x为正整数，
∴x＝2，3，3，5，6，8，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题．
如图，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm（不与点A，B重合），连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D．当BD≤2AP时
小明尝试结合学习函数的经验解决此问题．请将下面的探究过程补充完整：
由条件易证△APC∽△ BPD ，令AP＝xcm，BD＝ycm，则有BP＝ （6﹣x）cm
（1）用含x的代数式表示y： ﹣2 ，其中自变量x的取值范围为 0＜x＜6 ．
（2）x，y的几组对应值如表所示．
x/cm
1
2
3
4
5
y/cm
10
4
2
1
0.4
请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线
（3）小明在分析BD≤2AP后，从特殊情况BD＝2AP得到函数 y＝2x ，在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
（4）结合画出的两个函数图象，解决问题：当BD≤2AP时，AP的取值范围为 2＜x＜6 ．
【分析】由BD∥AC可得△APC∽△BPD，由AP＝xcm，AB＝6cm，可得BP＝（6﹣x）cm；
（1）利用相似三角形的性质可得，即，即可得出y＝﹣2，由AB＝6cm可得自变量x的取值范围；
（2）根据已知数据描点连线画图即可；
（4）当BD＜2AP时，即y＜2x时，画出y＝2x的函数图象，结合画出的函数图象，根据两个函数图象交点即可得AP的取值范围．
【解答】解：∵BD∥AC，
∴△APC∽△BPD，
∵AP＝xcm，AB＝6cm，
∴BP＝（6﹣x）cm，
故答案为：BPD，（6﹣x）cm；
（1）∵△APC∽△BPD，
∴，
∵AC＝2cm，AB＝6cm，BD＝ycm，
∴，
∴y＝﹣2，
∵x＞5，AB＝6cm，B重合），
∴0＜x＜3，
故答案为：y＝﹣2；
（2）根据已知数据画出图象如图：
（3）由图象得：当BD≤2AP时，即y≤3x时，画出y＝2x的函数图象，
故答案为：y＝2x，见解析；
（4）由图象得：当BD＜5AP时，AP的取值范围为2＜x＜6．
故答案为：2＜x＜6．
26．（12分）如图，直线y＝x，与反比例函数y＝（m，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝x沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，若，连接AB、OB．请判断AB与OA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在射线OA上是否存在一点P，若存在，请直接写出P点坐标，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）先求出点B坐标秒即可得出结论；利用滚滚滚定理的逆定理即可判断；
（3）分两种情况：△PAB∽△BAO和△PAB∽△OAB．利用相似三角形的性质得出AP，进而求出OP，再求出∠AOH＝30°，最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（m，3）在直线y＝x，
∴3＝m，
∴m＝3，
∴点A（6，3），
∵点A（2，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝7×3＝2，
∴y＝；
（2）OA⊥AB，理由如下：
如图，作BE⊥y轴于E．
∴∠BEO＝∠AFO＝90°，
∵BC∥AO，
∴∠ECB＝∠FOA，
∴△BCE∽△AOF，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴B（，9），
又∵A（3，3），
∴OA2＝36，OB5＝84，AB2＝48，
∴OA2+AB4＝OB2，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
（3）如图，①当△APB∽△ABO时，＝，
由（2）知，AB＝4，即 ＝，
∴AP＝4，
∵OA＝6，
∴OP＝14，
过点A作AH⊥x轴于H，
∵A（3，3），
∴OH＝3，AH＝3，
在Rt△AOH中，
∴tan∠AOH＝＝＝，
∴∠AOH＝30°．
过点P作PG⊥x轴于G，
在Rt△APG中，∠POG＝30°，
∴PG＝7，OG＝7 ，
∴P（7，3）．
②当△PAB∽△OAB时，＝＝1．
∴AP＝OA，即A是OP的中点，
由（2）知，A（3，
∴P（6，6）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（7，6）．
27．（12分）【模型呈现：材料阅读】
如图，点B，C，E在同一直线上，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，BD交于点F．
对于上述问题，存在结论（不用证明）：
（1）△BCD≌△ACE．
（2）△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成；
…
【模型改编：问题解决】
点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直线AE
如图1：点B在直线CE上．
①求证：△BCD∽△ACE；
②求∠AFB的度数．
如图2：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度．
③补全图形，则∠AFB的度数为 115° ；
④若将“∠BAC＝∠DEC＝50°”改为“∠BAC＝∠DEC＝m°”，则∠AFB的度数为 90°+ ．（直接写结论）
【模型拓广：问题延伸】
如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝，连接AG，BF，求
【分析】【模型改编：问题解决】
①先证△ABC∽△DCE，得＝，再根据∠BCD＝∠ACE＝115°，即可证△BCD∽△ACE；
②由△BCD∽△ACE可得，∠DBC＝∠EAC，即可得∠AFB＝∠ACB＝65°；
③连接AE并延长交BD于F，由△BCD∽△ACE可得，∠CEF＝∠BDC，由∠AFB＝∠BDC+∠CDE+∠DEF，得∠AFB＝∠CDE+∠CED＝50°+65°＝115°；
④同理③得∠AFB＝CDE+∠CED＝m°+（180°﹣m°）÷2＝90°+；
【模型拓广：问题延伸】
连接BD、DF，证△ABD∽△GFD，得∠ADB＝∠GDF，即∠BDF＝∠ADG，再求出BD＝2，DF＝2，根据比例关系证△BDF∽△ADG，即可得出的值．
【解答】解：【模型改编：问题解决】
①∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∠EDC＝∠ECD＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，
∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝115°，∠BCD＝180°﹣∠EDC＝115°，
∴△BCD∽△ACE；
②由①知，△BCD∽△ACE，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴∠AFB＝∠DBC+∠CEA＝∠EAC+∠CEA＝∠ACB＝65°；
③补图如下：
由△BCD∽△ACE可得，∠CEF＝∠BDC，
∵∠AFB＝∠BDC+∠CDE+∠DEF＝∠CEF+∠CDE+∠DEF＝∠CED+∠CDE＝50°+65°＝115°，
故答案为：115°；
④同理③可得∠AFB＝∠CED+∠CDE＝m°+（180°﹣m°）÷6＝90°+，
故答案为：90°+；
【模型拓广：问题延伸】
连接BD、DF，
∵在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝4，DG＝3，
∴＝＝，
又∵∠BAD＝∠DGF＝90°，
∴△ADB∽△GFD，
∴∠ADB＝∠GDF，＝，
∵∠ADG＝∠GDF+∠ADF，∠BDF＝∠ADB+∠ADF，
∴∠ADG＝∠BDF，
∴△BDF∽△ADG，
∴＝，
∵AD＝，AB＝6，
∴BD＝＝2，
∴＝＝＝．
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日期：2021/11/12 5:33:27；用户：13675011392；邮箱：13675011392；学号：40932421
2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（4分）已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（ ）
A．2cm B．4cm C．12cm D．±2cm
5．（4分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．
﹣x
…
﹣2
﹣1
﹣1
﹣2
…
﹣y
…
﹣6
﹣4
﹣0
﹣2
…
B．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣6
﹣3
3
6
…
C．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
3
6
﹣6
﹣3
…
D．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
2
1
﹣1
﹣2
…
7．（4分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，那么tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C．4 D．
8．（4分）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，则点C的横坐标（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
9．（4分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足为点D，则图中相似三角形有几对（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
10．（4分）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
11．（4分）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（4分）sin30°的值等于 ．
14．（4分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，CD＝2，则AB的长是 ．
15．（4分）已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1与y2的关系为y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
16．（4分）如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点B和点A．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC ．
17．（4分）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，OB长为（16+16）厘米 厘米．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；③DF＝DC；④tan∠CAD＝四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有 ．
三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：|﹣2|+（）0﹣+2cos60°．
20．（6分）已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2；
（2）点C2的坐标是（ ）；若图中每个小方格的面积为1，△A2B2C2的面积＝ ．
21．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8
22．（8分）小强在地面E处放一面镜子，当他垂直于地面AC站立于点C处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，根据光的反射定律有∠FEB＝∠FED，此时EA＝20米，请计算出教学楼的高度．
23．（8分）已知：如图．△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果，AB＝3，EC＝
24．（10分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？
25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题．
如图，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm（不与点A，B重合），连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D．当BD≤2AP时
小明尝试结合学习函数的经验解决此问题．请将下面的探究过程补充完整：
由条件易证△APC∽△ ，令AP＝xcm，BD＝ycm，则有BP＝
（1）用含x的代数式表示y： ，其中自变量x的取值范围为 ．
（2）x，y的几组对应值如表所示．
x/cm
1
2
3
4
5
y/cm
10
4
2
1
0.4
请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线
（3）小明在分析BD≤2AP后，从特殊情况BD＝2AP得到函数 ，在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
（4）结合画出的两个函数图象，解决问题：当BD≤2AP时，AP的取值范围为 ．
26．（12分）如图，直线y＝x，与反比例函数y＝（m，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝x沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，若，连接AB、OB．请判断AB与OA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在射线OA上是否存在一点P，若存在，请直接写出P点坐标，请说明理由．
27．（12分）【模型呈现：材料阅读】
如图，点B，C，E在同一直线上，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，BD交于点F．
对于上述问题，存在结论（不用证明）：
（1）△BCD≌△ACE．
（2）△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成；
…
【模型改编：问题解决】
点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直线AE
如图1：点B在直线CE上．
①求证：△BCD∽△ACE；
②求∠AFB的度数．
如图2：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度．
③补全图形，则∠AFB的度数为 ；
④若将“∠BAC＝∠DEC＝50°”改为“∠BAC＝∠DEC＝m°”，则∠AFB的度数为 ．（直接写结论）
【模型拓广：问题延伸】
如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝，连接AG，BF，求
2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用正投影的定义得出答案．
【解答】解析：光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．
故选：C．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】解：由勾股定理得，
AB＝＝10，
∴cosA＝＝＝，
故选：A．
3．（4分）如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．
【解答】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积比为6：4．
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：4．
∵△ADE的面积是1，
∴四边形DBCE的面积是3．
故选：B．
4．（4分）已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（ ）
A．2cm B．4cm C．12cm D．±2cm
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【解答】解：设线段c是a、b的比例中项，
∵线段a＝2cm，b＝6cm，
∴c2＝ab＝2×6＝12，
∴c＝5，c＝﹣2．
故选：A．
5．（4分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图的定义判断即可．
【解答】解：根据左视图是定义可知，这个几何体的左视图是选项D，
故选：D．
6．（4分）下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．
﹣x
…
﹣2
﹣1
﹣1
﹣2
…
﹣y
…
﹣6
﹣4
﹣0
﹣2
…
B．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣6
﹣3
3
6
…
C．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
3
6
﹣6
﹣3
…
D．
x
…
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
2
1
﹣1
﹣2
…
【分析】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，即两个变量的乘积为非零常数k．
【解答】解：A．x与y的乘积不全都相等，不合题意；
B．x与y的乘积不全都相等，不合题意；
C．x与y的乘积全都等于﹣6，符合题意；
D．x与y的乘积不全都相等，不合题意；
故选：C．
7．（4分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，那么tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】过点A作AE⊥BC于E．根据，tan∠ABC＝，求解即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E．
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，
故选：C．
8．（4分）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，则点C的横坐标（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y＝x和y＝﹣x对称．
【解答】解：把x＝1代入y＝，得y＝8，3）；
∵A、B关于y＝x对称，1）；
又∵B和C关于原点对称，
∴C点坐标为（﹣6，﹣1），
∴点C的横坐标为﹣3．
故选：B．
9．（4分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足为点D，则图中相似三角形有几对（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【分析】根据相似三角形的判定一一证明即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，
∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，
∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，
∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，
∴共有6对相似三角形，
故选：A．
10．（4分）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
【分析】根据sinα＝求解．
【解答】解：由图可知，在△ABC中，
∴sinα＝＝，
∴BC＝30sinα米．
故选：A．
11．（4分）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵＝，
∴＝，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOB＝，
∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，
∵双曲线y＝在第二象限，
∴k＝﹣2×＝﹣3，
故选：A．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由轴对称的性质可得AC＝CD，AB＝BD，可证四边形ABDC是菱形，由菱形的性质可得AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，在Rt△BOD中，利用勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求EO，AE的长，即可求解．
【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，
∴AC＝CD，AB＝BD，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝AB＝BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，∠ACO＝∠DCO，
∴BD＝＝＝5，
∵CE⊥CD，
∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO＝∠DCO+∠CAO，
∴∠CAO＝∠ECO，
∴tan∠ECO＝＝，
∴，
∴EO＝，
∴AE＝，
∴＝＝，
方法二，也可以通过证明△DCE∽△DOB．
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（4分）sin30°的值等于 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：sin30°＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，CD＝2，则AB的长是 4 ．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，
∴＝，
解得：AB＝8．
故答案为：4．
15．（4分）已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1与y2的关系为y1 ＜ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】根据反比例函数的图形和性质进行判断即可，由于点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，在第二象限，y随x的增大而增大，进而得出答案．
【解答】解：由于点A（x1，y1）和B（x8，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上6＜x2＜0，
由在第二象限内，y随x的增大而增大可得，
y8＜y2．
故答案为：＜．
16．（4分）如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点B和点A．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC 1 ．
【分析】设线段OP＝x，则可求出AP、BP，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积＝AB×OP，代入数值计算即可．
【解答】解：设线段OP＝x，则PB＝，
∵AB＝AP﹣BP＝﹣＝，
∴S△ABC＝AB×OP
＝××x
＝1．
故答案为：3．
17．（4分）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，OB长为（16+16）厘米 32 厘米．
【分析】作AC⊥OB于点C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根据勾股定理即可得到AB的长，本题得以解决．
【解答】解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，
则∠ACO＝∠ACB＝90°，
∵∠AOC＝45°，
∴∠AOC＝∠COA＝45°，
∴AC＝OC，
设AC＝xcm，则OC＝xcm+16﹣x） cm，
∵∠ABC＝30°，
∴＝，
解得，x＝16，
∴16+16﹣x＝16，
∴AB＝32（cm），
即AB的长为32cm．
故答案是：32．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；③DF＝DC；④tan∠CAD＝四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有 ①②③⑤ ．
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE＝AD＝BC，又AD∥BC，所以，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据三角函数的定义得到tan∠CAD＝，故④错误；
⑤根据△AEF∽△CBF得到，求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD；S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．
【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE＝AD＝，
∴，
∴CF＝2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，故③正确；
由△BAE∽△ADC，有，
∴＝，
∴，
∵tan∠CAD＝，
∴tan∠CAD＝，故④错误；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：|﹣2|+（）0﹣+2cos60°．
【分析】先化简绝对值，零指数幂，算术平方根，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝2+1﹣5+2×
＝2+1﹣8+1
＝2．
20．（6分）已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2；
（2）点C2的坐标是（ （2，0） ）；若图中每个小方格的面积为1，△A2B2C2的面积＝ 22 ．
【分析】（1）根据位似的性质，描出A，B，C，三点的对应点，连接即可‘
（2）利用分割法求出三角形的面积即可．’
【解答】解：（1）如图所示，即为所求，
（2）由图形可知C2（2，10）；
S＝3×8﹣
＝22．
21．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8
【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，再根据相似比列出比例式即可得出结果．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，AB＝8，
∴，
∴AC＝4．
22．（8分）小强在地面E处放一面镜子，当他垂直于地面AC站立于点C处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，根据光的反射定律有∠FEB＝∠FED，此时EA＝20米，请计算出教学楼的高度．
【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质，即可求出AB．
【解答】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△AEB∽△CED，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝14.8（米）．
答：教学楼AB的高度为14.4米．
23．（8分）已知：如图．△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果，AB＝3，EC＝
【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴＝，
设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝4或x＝2，
∴DC＝1或DC＝5．
24．（10分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．
【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝，
∵点（7，180）在该函数图象上，
∴180＝，得k＝180，
∴y＝，
当x＝4时，y＝，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（4，45），60）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，
，
解得2≤x≤5
∵x为正整数，
∴x＝2，3，3，5，6，8，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题．
如图，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm（不与点A，B重合），连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D．当BD≤2AP时
小明尝试结合学习函数的经验解决此问题．请将下面的探究过程补充完整：
由条件易证△APC∽△ BPD ，令AP＝xcm，BD＝ycm，则有BP＝ （6﹣x）cm
（1）用含x的代数式表示y： ﹣2 ，其中自变量x的取值范围为 0＜x＜6 ．
（2）x，y的几组对应值如表所示．
x/cm
1
2
3
4
5
y/cm
10
4
2
1
0.4
请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线
（3）小明在分析BD≤2AP后，从特殊情况BD＝2AP得到函数 y＝2x ，在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
（4）结合画出的两个函数图象，解决问题：当BD≤2AP时，AP的取值范围为 2＜x＜6 ．
【分析】由BD∥AC可得△APC∽△BPD，由AP＝xcm，AB＝6cm，可得BP＝（6﹣x）cm；
（1）利用相似三角形的性质可得，即，即可得出y＝﹣2，由AB＝6cm可得自变量x的取值范围；
（2）根据已知数据描点连线画图即可；
（4）当BD＜2AP时，即y＜2x时，画出y＝2x的函数图象，结合画出的函数图象，根据两个函数图象交点即可得AP的取值范围．
【解答】解：∵BD∥AC，
∴△APC∽△BPD，
∵AP＝xcm，AB＝6cm，
∴BP＝（6﹣x）cm，
故答案为：BPD，（6﹣x）cm；
（1）∵△APC∽△BPD，
∴，
∵AC＝2cm，AB＝6cm，BD＝ycm，
∴，
∴y＝﹣2，
∵x＞5，AB＝6cm，B重合），
∴0＜x＜3，
故答案为：y＝﹣2；
（2）根据已知数据画出图象如图：
（3）由图象得：当BD≤2AP时，即y≤3x时，画出y＝2x的函数图象，
故答案为：y＝2x，见解析；
（4）由图象得：当BD＜5AP时，AP的取值范围为2＜x＜6．
故答案为：2＜x＜6．
26．（12分）如图，直线y＝x，与反比例函数y＝（m，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝x沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，若，连接AB、OB．请判断AB与OA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在射线OA上是否存在一点P，若存在，请直接写出P点坐标，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）先求出点B坐标秒即可得出结论；利用滚滚滚定理的逆定理即可判断；
（3）分两种情况：△PAB∽△BAO和△PAB∽△OAB．利用相似三角形的性质得出AP，进而求出OP，再求出∠AOH＝30°，最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（m，3）在直线y＝x，
∴3＝m，
∴m＝3，
∴点A（6，3），
∵点A（2，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝7×3＝2，
∴y＝；
（2）OA⊥AB，理由如下：
如图，作BE⊥y轴于E．
∴∠BEO＝∠AFO＝90°，
∵BC∥AO，
∴∠ECB＝∠FOA，
∴△BCE∽△AOF，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴B（，9），
又∵A（3，3），
∴OA2＝36，OB5＝84，AB2＝48，
∴OA2+AB4＝OB2，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
（3）如图，①当△APB∽△ABO时，＝，
由（2）知，AB＝4，即 ＝，
∴AP＝4，
∵OA＝6，
∴OP＝14，
过点A作AH⊥x轴于H，
∵A（3，3），
∴OH＝3，AH＝3，
在Rt△AOH中，
∴tan∠AOH＝＝＝，
∴∠AOH＝30°．
过点P作PG⊥x轴于G，
在Rt△APG中，∠POG＝30°，
∴PG＝7，OG＝7 ，
∴P（7，3）．
②当△PAB∽△OAB时，＝＝1．
∴AP＝OA，即A是OP的中点，
由（2）知，A（3，
∴P（6，6）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（7，6）．
27．（12分）【模型呈现：材料阅读】
如图，点B，C，E在同一直线上，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，BD交于点F．
对于上述问题，存在结论（不用证明）：
（1）△BCD≌△ACE．
（2）△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成；
…
【模型改编：问题解决】
点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直线AE
如图1：点B在直线CE上．
①求证：△BCD∽△ACE；
②求∠AFB的度数．
如图2：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度．
③补全图形，则∠AFB的度数为 115° ；
④若将“∠BAC＝∠DEC＝50°”改为“∠BAC＝∠DEC＝m°”，则∠AFB的度数为 90°+ ．（直接写结论）
【模型拓广：问题延伸】
如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝，连接AG，BF，求
【分析】【模型改编：问题解决】
①先证△ABC∽△DCE，得＝，再根据∠BCD＝∠ACE＝115°，即可证△BCD∽△ACE；
②由△BCD∽△ACE可得，∠DBC＝∠EAC，即可得∠AFB＝∠ACB＝65°；
③连接AE并延长交BD于F，由△BCD∽△ACE可得，∠CEF＝∠BDC，由∠AFB＝∠BDC+∠CDE+∠DEF，得∠AFB＝∠CDE+∠CED＝50°+65°＝115°；
④同理③得∠AFB＝CDE+∠CED＝m°+（180°﹣m°）÷2＝90°+；
【模型拓广：问题延伸】
连接BD、DF，证△ABD∽△GFD，得∠ADB＝∠GDF，即∠BDF＝∠ADG，再求出BD＝2，DF＝2，根据比例关系证△BDF∽△ADG，即可得出的值．
【解答】解：【模型改编：问题解决】
①∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∠EDC＝∠ECD＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，
∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝115°，∠BCD＝180°﹣∠EDC＝115°，
∴△BCD∽△ACE；
②由①知，△BCD∽△ACE，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴∠AFB＝∠DBC+∠CEA＝∠EAC+∠CEA＝∠ACB＝65°；
③补图如下：
由△BCD∽△ACE可得，∠CEF＝∠BDC，
∵∠AFB＝∠BDC+∠CDE+∠DEF＝∠CEF+∠CDE+∠DEF＝∠CED+∠CDE＝50°+65°＝115°，
故答案为：115°；
④同理③可得∠AFB＝∠CED+∠CDE＝m°+（180°﹣m°）÷6＝90°+，
故答案为：90°+；
【模型拓广：问题延伸】
连接BD、DF，
∵在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝4，DG＝3，
∴＝＝，
又∵∠BAD＝∠DGF＝90°，
∴△ADB∽△GFD，
∴∠ADB＝∠GDF，＝，
∵∠ADG＝∠GDF+∠ADF，∠BDF＝∠ADB+∠ADF，
∴∠ADG＝∠BDF，
∴△BDF∽△ADG，
∴＝，
∵AD＝，AB＝6，
∴BD＝＝2，
∴＝＝＝．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/11/12 5:33:27；用户：13675011392；邮箱：13675011392；学号：40932421
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