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【名校试卷】苏州市吴中区2019-2020学年8年级数学下册期末调研试卷 （解析版）
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这是一份【名校试卷】苏州市吴中区2019-2020学年8年级数学下册期末调研试卷 （解析版），文件包含苏州市吴中区2019-2020学年第二学期八年级数学期末调研试卷解析版doc、苏州市吴中区2019-2020学年第二学期八年级数学期末调研试卷答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解我省初中学生的家庭作业时间
B．了解某市居民对废旧电池的处理情况
C．了解某区学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量
D．了解某校新冠肺炎防控期间全体师生当天的体温情况
3．计算+，正确的结果是（ ）
A．1B．C．aD．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．3天内下雨
B．打开电视机，正在播放广告
C．367人中至少有2人公历生日相同
D．抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上
5．分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
6．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
8．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．16B．12C．10D．8
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝2，EC＝4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG．现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°； ②FG＝FC； ③FC∥AG； ④S△GFC＝3.6．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在答题卷相应位置上．）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．当x＝ 时，分式的值为零．
13．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为 cm．
14．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是 ．
15．已知反比例函数（k是常数，k≠3）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 ．
16．如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝ ．
17．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．则∠FBB'的度数为 °．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共76分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算（+2）×．
20．解方程：．
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中 a＝1+．
22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点B1的坐标是 ．
23．在苏州，主要城区已实现移动5G网络覆盖，除了关键交通枢纽和重要商圈，苏州众多景区也正在加速5G智慧旅游落地，为市民及游客带去更好的观景体验．现5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求5G网络的峰值速率．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）若∠BAD＝120°，AC＝8．求菱形ABCD的周长．
（2）若DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
25．某市为增强学生的卫生防疫意识，组织全市学生参加卫生防疫知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
（1）一共抽取了 个参赛学生的成绩，表中a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）某校共有2000人，卫生防疫意识不强的学生（指成绩在70分以下）估计有多少人？
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．
27．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）在第一象限交于点A、B，且该直线与x轴正半轴交于点C，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若CD＝4CE．求k，b的值；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线AB上的动点，则OM长度的最小值为 ．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8厘米，BC＝10厘米，点D在BC上，且CD＝6厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以2.5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）EP＝ ；（用t的代数式表示）
（2）如图，连接DP，是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，把正确选项前的字母填涂在答题卷相应位置上．）
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解我省初中学生的家庭作业时间
B．了解某市居民对废旧电池的处理情况
C．了解某区学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量
D．了解某校新冠肺炎防控期间全体师生当天的体温情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
解：A、了解我省初中学生的家庭作业时间，适合抽样调查，故A选项不合题意；
B、了解某市居民对废旧电池的处理情况，适合抽样调查，故B选项不合题意；
C、了解某区学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量，适合抽样调查，故C选项不合题意；
D、了解某校新冠肺炎防控期间全体师生当天的体温情况，适于全面调查，故D选项符合题意．
故选：D．
3．计算+，正确的结果是（ ）
A．1B．C．aD．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝＝1．
故选：A．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．3天内下雨
B．打开电视机，正在播放广告
C．367人中至少有2人公历生日相同
D．抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、3天内下雨是随机事件，故A不符合题意；
B、打开电视，它正在播广告是随机事件，故B不符合题意；
C、367人中有至少两人的生日相同是必然事件，故C符合题意；
D、抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
5．分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用分式的基本性质化简即可．
解：＝﹣．
故选：B．
6．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将各个二次根式化成最简二次根式后，选被开方数为2的根式即可．
解：＝2，因此选项A不符合题意；
＝，因此选项B符合题意；
＝2，因此选项C不符合题意；
显然与不是同类二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】利用菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定和矩形的性质依次判断可求解．
解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，故B选项不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故C选项符合题意；
D、两组对边平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：C．
8．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．16B．12C．10D．8
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案．
解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴△ABC的面积为16，
故选：A．
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝2，EC＝4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG．现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°； ②FG＝FC； ③FC∥AG； ④S△GFC＝3.6．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①正确．证明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．④正确．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可．
解：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝BE+EC＝6，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，
由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝2，∠BAE＝∠EAF，
∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，
设GD＝GF＝x，
在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，
∴x＝3，
∴DG＝FG＝3，
∴CG＝CD﹣DG＝3＝GF，
∴△GFC是等腰三角形，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF＝GD＝GC，
∴∠DFC＝90°，
∴CF⊥DF，
∵AD＝AF，GD＝GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG＝×3×4＝6，FG：FE＝3：2，
∴FG：EG＝3：5，
∴S△GFC＝×6＝3.6，故④正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在答题卷相应位置上．）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
12．当x＝ 5 时，分式的值为零．
【分析】分子为0且分母不等于0时，分式的值为0．
解：由题意得，x﹣5＝0且x+3≠0，
即，x＝5，当x＝5时，x+3＝8≠0，
故答案为：5．
13．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为 6 cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故填6．
14．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是 100 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：由题意可得，＝0.03，
解得，n＝100．
故估计n大约是100．
故答案为：100．
15．已知反比例函数（k是常数，k≠3）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 k＜3 ．
【分析】根据反比例函数（k是常数，k≠3）的图象有一支在第二象限，可以得到k﹣3＜0，从而可以得到k的取值范围．
解：∵反比例函数（k是常数，k≠3）的图象有一支在第二象限，
∴该反比例函数的图象在第二、四象限，
∴k﹣3＜0，
解得，k＜3，
故答案为：k＜3．
16．如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝ 6 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．
解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∵AB＝2，CB＝4，DE＝3，
∴＝，
解得：EF＝6，
故答案为：6．
17．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．则∠FBB'的度数为 15 °．
【分析】连接BB'，由矩形的性质可得∠ABC＝90°，由旋转的性质可得AB＝AB'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，由直角三角形的性质可得BB'＝AB'＝CB'＝AB，可证△ABB'是等边三角形，可得∠AB'B＝60°，由等腰三角形的性质可求解．
解：如图，连接BB'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，
∴AB＝AB'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，
∵AC＝2AB，
∴AC＝2AB'＝AB'+B'C，
∴AB'＝B'C，
∵∠ABC＝90°，
∴BB'＝AB'＝CB'＝AB，
∴△ABB'是等边三角形，
∴∠AB'B＝60°，
∴∠BB'F＝150°，
∵B'F＝AB，
∴BB'＝B'F，
∴∠B'BF＝∠B'FB＝15°，
故答案为：15．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为 2 ．
【分析】作DH∥AC交AB于H，如图，则EF∥BC，EG∥DH，利用平行线分线段成比例定理得到＝，＝，则DC＝DH，设DC＝DH＝x，则BD＝6﹣x，再利用DH∥AC得到＝，然后解方程求出x即可．
解：作DH∥AC交AB于H，如图，
∵EF⊥AC，EG⊥EF，
∴EF∥BC，EG∥DH，
∴＝，＝，
∵EF＝EG，
∴DC＝DH，
设DC＝DH＝x，则BD＝6﹣x，
∵DH∥AC，
∴＝，即＝，解得x＝2，
即CD的长为2．
故答案为2．
三、解答题（本大题共10小题，共76分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算（+2）×．
【分析】直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可．
解：（+2）×
＝×+2×
＝+2
＝+6．
20．解方程：．
【分析】方程两边都乘以x﹣1得出3x+2＝5，求出方程的解，再进行检验即可．
解：方程两边都乘以x﹣1得：3x+2＝5，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
所以x＝1不是原方程的解，
即原方程无解．
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中 a＝1+．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
解：原式＝•
＝，
当a＝1+时，原式＝＝＝．
22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点B1的坐标是 （﹣4，﹣2） ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置．
解：如图所示：点B的对应点B1的坐标是（﹣4，﹣2）．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
23．在苏州，主要城区已实现移动5G网络覆盖，除了关键交通枢纽和重要商圈，苏州众多景区也正在加速5G智慧旅游落地，为市民及游客带去更好的观景体验．现5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求5G网络的峰值速率．
【分析】直接利用已知表示出5G和4G的峰值速率，再利用在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，进而得出等式求出答案．
解：设4G网络的峰值速率为x，则5G网络的峰值速率为10x，根据题意可得：
＝+45，
解得：x＝100，
经检验得：x＝100是原方程的根，
故10x＝1000（兆/秒），
答：5G网络的峰值速率为1000兆/秒．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）若∠BAD＝120°，AC＝8．求菱形ABCD的周长．
（2）若DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
【分析】（1）由菱形的性质得出AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO＝∠BAD＝60°，证出△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝8，即可得出答案；
（2）先证四边形AODE是平行四边形，由菱形的性质得出∠AOD＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO＝∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝32；
（2）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形．
25．某市为增强学生的卫生防疫意识，组织全市学生参加卫生防疫知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
（1）一共抽取了 40 个参赛学生的成绩，表中a＝ 6 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）某校共有2000人，卫生防疫意识不强的学生（指成绩在70分以下）估计有多少人？
【分析】（1）第5段的频数是14，占调查人数的35%，可求出调查人数，进而确定a的值，
（2）根据各个组的频数，即可补全频数分布直方图；
（3）“B”占调查人数的，因此相应的圆心角度数占360°的；
（4）样本估计总体，样本中“卫生防疫意识不强”的占，因此估计总体2000人的是“卫生防疫意识不强”的人数．
解：（1）14÷35%＝40（人），a＝40﹣14﹣12﹣8＝6（人），
故答案为：40，6；
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3）360°×＝72°，
答：扇形统计图中“B”对应的圆心角度数为72°；
（4）2000×＝300（人），
答：某校2000名学生中，卫生防疫意识不强（指成绩在70分以下）的大约有300人．
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得AD∥BC，CD∥AB，则根据平行线的性质得到∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，再证明∠DFC＝∠B，则可判断△DFC∽△CBE；
（2）利用平行四边形的性质得到BC＝AD＝4，利用平行线的性质得DE⊥DC，则利用勾股定理可计算出CE＝3，然后利用相似比求出DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，
而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
在Rt△DEC中，CE＝＝＝3，
∵△DFC∽△CBE，
∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，
∴DF＝．
27．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）在第一象限交于点A、B，且该直线与x轴正半轴交于点C，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若CD＝4CE．求k，b的值；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线AB上的动点，则OM长度的最小值为 ．
【分析】（1）用待定系数法解答便可；
（2）先证明△AEC∽△BDC，则相似比求得BD，进而求得B点坐标，再用待定系数法便可求得结果；
（3）当OM⊥AB时，OM的长度最小，先求出直线y═kx+b的解析式，再求得直线与坐标轴的交点坐标，进而根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得结果便可．
解：（1）把A（4，1）代入双曲线中，得m＝4，
∴双曲线的表达式为；
（2）∵AE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴AE∥BD，
∴△ACD∽△BCD，
∴，
∵CD＝4CE，AE＝1，
∴BD＝4，
把y＝4代入中得，x＝1，
∴B（1，4），
把A（4，1）和B（1，4）代入直线y＝kx+b（k≠0）中，得
，
解得，；
（3）由（2）知，直线AB的解析式是y＝﹣x+5，
令x＝0，得y＝﹣x+5＝5，
∴F（0，5），
∴OF＝5，
令y＝0，得y＝﹣x+5═0，
解得，x＝5，
∴C（5，0），
∴OC＝5，
∴OC＝OF，CF＝5，
当OM⊥AB于点M时，OM的值最小，
此时，CM＝FM，
∵∠COF＝90°，
∴OM＝CF＝．
故答案为：．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8厘米，BC＝10厘米，点D在BC上，且CD＝6厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以2.5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）EP＝ t ；（用t的代数式表示）
（2）如图，连接DP，是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
【分析】（1）连接CE，由平行线的性质可得S△PCD＝S△CDE，由S△ACD＝S△AEC+S△CDE，可求PE＝t；
（2）由平行四边形的性质可得QD＝PE，可得t＝4﹣2.5t，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和面积和差关系可求解．
解：（1）如图1，连接CE，
∵PE∥CD，
∴S△PCD＝S△CDE，
∵AP＝2tcm，
∴CP＝AC﹣AP＝（8﹣2t）cm，
∵S△ACD＝S△AEC+S△CDE，
∴＝+，
∴PE＝t，
故答案为：t；
（2）∵四边形EQDP是平行四边形，
∴PE＝DQ，
∴t＝4﹣2.5t，
∴t＝1，
答：当t＝1时，使四边形EQDP是平行四边形；
（3）如图2，当∠EQD＝90°时，
∵∠C＝∠EQD＝90°，
∴EQ∥CP，
又∵EP∥CQ，
∴四边形EPCQ是平行四边形，
∴EP＝CQ＝t，
∴t+t＝10，
∴t＝；
当∠DEQ＝90°时，
∵AC＝8cm，CD＝6cm，
∴AD＝＝＝10cm，
∵S△ACD＝S△ACQ+S△ADQ，
∴×6×8＝×8×（10﹣2.5t）+×10×QE，
∴QE＝2t﹣，
∵AE＝＝＝t，
∴DE＝10﹣t，
∵DQ2＝DE2+EQ2，
∴（t﹣4）2＝（10﹣t）2+（2t﹣）2，
∴t1＝3.1，t2＝（不合题意舍去），
综上所述：t＝或3.1时，△EDQ为直角三角形．近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
组别
成绩x/分
频数
A组
60≤x＜70
a
B组
70≤x＜80
8
C组
80≤x＜90
12
D组
90≤x＜100
14
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
组别
成绩x/分
频数
A组
60≤x＜70
a
B组
70≤x＜80
8
C组
80≤x＜90
12
D组
90≤x＜100
14
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解我省初中学生的家庭作业时间
B．了解某市居民对废旧电池的处理情况
C．了解某区学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量
D．了解某校新冠肺炎防控期间全体师生当天的体温情况
3．计算+，正确的结果是（ ）
A．1B．C．aD．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．3天内下雨
B．打开电视机，正在播放广告
C．367人中至少有2人公历生日相同
D．抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上
5．分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
6．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
8．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．16B．12C．10D．8
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝2，EC＝4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG．现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°； ②FG＝FC； ③FC∥AG； ④S△GFC＝3.6．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在答题卷相应位置上．）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．当x＝ 时，分式的值为零．
13．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为 cm．
14．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是 ．
15．已知反比例函数（k是常数，k≠3）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 ．
16．如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝ ．
17．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．则∠FBB'的度数为 °．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共76分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算（+2）×．
20．解方程：．
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中 a＝1+．
22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点B1的坐标是 ．
23．在苏州，主要城区已实现移动5G网络覆盖，除了关键交通枢纽和重要商圈，苏州众多景区也正在加速5G智慧旅游落地，为市民及游客带去更好的观景体验．现5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求5G网络的峰值速率．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）若∠BAD＝120°，AC＝8．求菱形ABCD的周长．
（2）若DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
25．某市为增强学生的卫生防疫意识，组织全市学生参加卫生防疫知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
（1）一共抽取了 个参赛学生的成绩，表中a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）某校共有2000人，卫生防疫意识不强的学生（指成绩在70分以下）估计有多少人？
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．
27．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）在第一象限交于点A、B，且该直线与x轴正半轴交于点C，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若CD＝4CE．求k，b的值；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线AB上的动点，则OM长度的最小值为 ．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8厘米，BC＝10厘米，点D在BC上，且CD＝6厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以2.5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）EP＝ ；（用t的代数式表示）
（2）如图，连接DP，是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，把正确选项前的字母填涂在答题卷相应位置上．）
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解我省初中学生的家庭作业时间
B．了解某市居民对废旧电池的处理情况
C．了解某区学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量
D．了解某校新冠肺炎防控期间全体师生当天的体温情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
解：A、了解我省初中学生的家庭作业时间，适合抽样调查，故A选项不合题意；
B、了解某市居民对废旧电池的处理情况，适合抽样调查，故B选项不合题意；
C、了解某区学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量，适合抽样调查，故C选项不合题意；
D、了解某校新冠肺炎防控期间全体师生当天的体温情况，适于全面调查，故D选项符合题意．
故选：D．
3．计算+，正确的结果是（ ）
A．1B．C．aD．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝＝1．
故选：A．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．3天内下雨
B．打开电视机，正在播放广告
C．367人中至少有2人公历生日相同
D．抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、3天内下雨是随机事件，故A不符合题意；
B、打开电视，它正在播广告是随机事件，故B不符合题意；
C、367人中有至少两人的生日相同是必然事件，故C符合题意；
D、抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
5．分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用分式的基本性质化简即可．
解：＝﹣．
故选：B．
6．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将各个二次根式化成最简二次根式后，选被开方数为2的根式即可．
解：＝2，因此选项A不符合题意；
＝，因此选项B符合题意；
＝2，因此选项C不符合题意；
显然与不是同类二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】利用菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定和矩形的性质依次判断可求解．
解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，故B选项不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故C选项符合题意；
D、两组对边平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：C．
8．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．16B．12C．10D．8
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案．
解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴△ABC的面积为16，
故选：A．
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝2，EC＝4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG．现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°； ②FG＝FC； ③FC∥AG； ④S△GFC＝3.6．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①正确．证明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．④正确．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可．
解：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝BE+EC＝6，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，
由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝2，∠BAE＝∠EAF，
∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，
设GD＝GF＝x，
在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，
∴x＝3，
∴DG＝FG＝3，
∴CG＝CD﹣DG＝3＝GF，
∴△GFC是等腰三角形，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF＝GD＝GC，
∴∠DFC＝90°，
∴CF⊥DF，
∵AD＝AF，GD＝GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG＝×3×4＝6，FG：FE＝3：2，
∴FG：EG＝3：5，
∴S△GFC＝×6＝3.6，故④正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在答题卷相应位置上．）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
12．当x＝ 5 时，分式的值为零．
【分析】分子为0且分母不等于0时，分式的值为0．
解：由题意得，x﹣5＝0且x+3≠0，
即，x＝5，当x＝5时，x+3＝8≠0，
故答案为：5．
13．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为 6 cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故填6．
14．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是 100 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：由题意可得，＝0.03，
解得，n＝100．
故估计n大约是100．
故答案为：100．
15．已知反比例函数（k是常数，k≠3）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 k＜3 ．
【分析】根据反比例函数（k是常数，k≠3）的图象有一支在第二象限，可以得到k﹣3＜0，从而可以得到k的取值范围．
解：∵反比例函数（k是常数，k≠3）的图象有一支在第二象限，
∴该反比例函数的图象在第二、四象限，
∴k﹣3＜0，
解得，k＜3，
故答案为：k＜3．
16．如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝ 6 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．
解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∵AB＝2，CB＝4，DE＝3，
∴＝，
解得：EF＝6，
故答案为：6．
17．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．则∠FBB'的度数为 15 °．
【分析】连接BB'，由矩形的性质可得∠ABC＝90°，由旋转的性质可得AB＝AB'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，由直角三角形的性质可得BB'＝AB'＝CB'＝AB，可证△ABB'是等边三角形，可得∠AB'B＝60°，由等腰三角形的性质可求解．
解：如图，连接BB'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，
∴AB＝AB'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，
∵AC＝2AB，
∴AC＝2AB'＝AB'+B'C，
∴AB'＝B'C，
∵∠ABC＝90°，
∴BB'＝AB'＝CB'＝AB，
∴△ABB'是等边三角形，
∴∠AB'B＝60°，
∴∠BB'F＝150°，
∵B'F＝AB，
∴BB'＝B'F，
∴∠B'BF＝∠B'FB＝15°，
故答案为：15．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为 2 ．
【分析】作DH∥AC交AB于H，如图，则EF∥BC，EG∥DH，利用平行线分线段成比例定理得到＝，＝，则DC＝DH，设DC＝DH＝x，则BD＝6﹣x，再利用DH∥AC得到＝，然后解方程求出x即可．
解：作DH∥AC交AB于H，如图，
∵EF⊥AC，EG⊥EF，
∴EF∥BC，EG∥DH，
∴＝，＝，
∵EF＝EG，
∴DC＝DH，
设DC＝DH＝x，则BD＝6﹣x，
∵DH∥AC，
∴＝，即＝，解得x＝2，
即CD的长为2．
故答案为2．
三、解答题（本大题共10小题，共76分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算（+2）×．
【分析】直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可．
解：（+2）×
＝×+2×
＝+2
＝+6．
20．解方程：．
【分析】方程两边都乘以x﹣1得出3x+2＝5，求出方程的解，再进行检验即可．
解：方程两边都乘以x﹣1得：3x+2＝5，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
所以x＝1不是原方程的解，
即原方程无解．
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中 a＝1+．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
解：原式＝•
＝，
当a＝1+时，原式＝＝＝．
22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点B1的坐标是 （﹣4，﹣2） ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置．
解：如图所示：点B的对应点B1的坐标是（﹣4，﹣2）．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
23．在苏州，主要城区已实现移动5G网络覆盖，除了关键交通枢纽和重要商圈，苏州众多景区也正在加速5G智慧旅游落地，为市民及游客带去更好的观景体验．现5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求5G网络的峰值速率．
【分析】直接利用已知表示出5G和4G的峰值速率，再利用在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，进而得出等式求出答案．
解：设4G网络的峰值速率为x，则5G网络的峰值速率为10x，根据题意可得：
＝+45，
解得：x＝100，
经检验得：x＝100是原方程的根，
故10x＝1000（兆/秒），
答：5G网络的峰值速率为1000兆/秒．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）若∠BAD＝120°，AC＝8．求菱形ABCD的周长．
（2）若DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
【分析】（1）由菱形的性质得出AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO＝∠BAD＝60°，证出△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝8，即可得出答案；
（2）先证四边形AODE是平行四边形，由菱形的性质得出∠AOD＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO＝∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝32；
（2）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形．
25．某市为增强学生的卫生防疫意识，组织全市学生参加卫生防疫知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
（1）一共抽取了 40 个参赛学生的成绩，表中a＝ 6 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）某校共有2000人，卫生防疫意识不强的学生（指成绩在70分以下）估计有多少人？
【分析】（1）第5段的频数是14，占调查人数的35%，可求出调查人数，进而确定a的值，
（2）根据各个组的频数，即可补全频数分布直方图；
（3）“B”占调查人数的，因此相应的圆心角度数占360°的；
（4）样本估计总体，样本中“卫生防疫意识不强”的占，因此估计总体2000人的是“卫生防疫意识不强”的人数．
解：（1）14÷35%＝40（人），a＝40﹣14﹣12﹣8＝6（人），
故答案为：40，6；
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3）360°×＝72°，
答：扇形统计图中“B”对应的圆心角度数为72°；
（4）2000×＝300（人），
答：某校2000名学生中，卫生防疫意识不强（指成绩在70分以下）的大约有300人．
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得AD∥BC，CD∥AB，则根据平行线的性质得到∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，再证明∠DFC＝∠B，则可判断△DFC∽△CBE；
（2）利用平行四边形的性质得到BC＝AD＝4，利用平行线的性质得DE⊥DC，则利用勾股定理可计算出CE＝3，然后利用相似比求出DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，
而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
在Rt△DEC中，CE＝＝＝3，
∵△DFC∽△CBE，
∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，
∴DF＝．
27．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）在第一象限交于点A、B，且该直线与x轴正半轴交于点C，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若CD＝4CE．求k，b的值；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线AB上的动点，则OM长度的最小值为 ．
【分析】（1）用待定系数法解答便可；
（2）先证明△AEC∽△BDC，则相似比求得BD，进而求得B点坐标，再用待定系数法便可求得结果；
（3）当OM⊥AB时，OM的长度最小，先求出直线y═kx+b的解析式，再求得直线与坐标轴的交点坐标，进而根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得结果便可．
解：（1）把A（4，1）代入双曲线中，得m＝4，
∴双曲线的表达式为；
（2）∵AE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴AE∥BD，
∴△ACD∽△BCD，
∴，
∵CD＝4CE，AE＝1，
∴BD＝4，
把y＝4代入中得，x＝1，
∴B（1，4），
把A（4，1）和B（1，4）代入直线y＝kx+b（k≠0）中，得
，
解得，；
（3）由（2）知，直线AB的解析式是y＝﹣x+5，
令x＝0，得y＝﹣x+5＝5，
∴F（0，5），
∴OF＝5，
令y＝0，得y＝﹣x+5═0，
解得，x＝5，
∴C（5，0），
∴OC＝5，
∴OC＝OF，CF＝5，
当OM⊥AB于点M时，OM的值最小，
此时，CM＝FM，
∵∠COF＝90°，
∴OM＝CF＝．
故答案为：．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8厘米，BC＝10厘米，点D在BC上，且CD＝6厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以2.5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）EP＝ t ；（用t的代数式表示）
（2）如图，连接DP，是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
【分析】（1）连接CE，由平行线的性质可得S△PCD＝S△CDE，由S△ACD＝S△AEC+S△CDE，可求PE＝t；
（2）由平行四边形的性质可得QD＝PE，可得t＝4﹣2.5t，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和面积和差关系可求解．
解：（1）如图1，连接CE，
∵PE∥CD，
∴S△PCD＝S△CDE，
∵AP＝2tcm，
∴CP＝AC﹣AP＝（8﹣2t）cm，
∵S△ACD＝S△AEC+S△CDE，
∴＝+，
∴PE＝t，
故答案为：t；
（2）∵四边形EQDP是平行四边形，
∴PE＝DQ，
∴t＝4﹣2.5t，
∴t＝1，
答：当t＝1时，使四边形EQDP是平行四边形；
（3）如图2，当∠EQD＝90°时，
∵∠C＝∠EQD＝90°，
∴EQ∥CP，
又∵EP∥CQ，
∴四边形EPCQ是平行四边形，
∴EP＝CQ＝t，
∴t+t＝10，
∴t＝；
当∠DEQ＝90°时，
∵AC＝8cm，CD＝6cm，
∴AD＝＝＝10cm，
∵S△ACD＝S△ACQ+S△ADQ，
∴×6×8＝×8×（10﹣2.5t）+×10×QE，
∴QE＝2t﹣，
∵AE＝＝＝t，
∴DE＝10﹣t，
∵DQ2＝DE2+EQ2，
∴（t﹣4）2＝（10﹣t）2+（2t﹣）2，
∴t1＝3.1，t2＝（不合题意舍去），
综上所述：t＝或3.1时，△EDQ为直角三角形．近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
组别
成绩x/分
频数
A组
60≤x＜70
a
B组
70≤x＜80
8
C组
80≤x＜90
12
D组
90≤x＜100
14
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
组别
成绩x/分
频数
A组
60≤x＜70
a
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70≤x＜80
8
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80≤x＜90
12
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90≤x＜100
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