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    华师大版初中数学九年级下册课文《求二次函数的表达式》,完整版PPT课件免费下载,优秀PPT背景图搭配,精美的免费ppt模板。轻松备课,欢迎免费下载使用。

    一、【课程的主要内容】

    用待定系数法求二次函数的表达式二次函数的简单应用
    1. 一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式? 一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上 两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.2. 已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个 二次函数的表达式?
    用一般式(三点式)确定二次函数表达式
    求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
    例1 如 图 26.2-20, 抛 物 线 y=ax2+bx+c 经 过 A( -1,0),B( 0, -3), C(3,0)三点 . (1)求该抛物线对应的函数表达式; (2)若该抛物线的顶点为 D,求 sin ∠ BOD的值 .
    (1) ∵抛物线经过 A( -1, 0), B( 0, -3), C( 3, 0)三点,∴将 A, B, C 三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中,得
    ∴该抛物线对应的函数表达式为 y=x2-2x-3.
    (2) ∵ y=x2-2x-3=( x-1) 2-4,∴抛物线的顶点坐标为( 1, -4) .如图 26.2-20,过点 D 作 DH ⊥ y 轴于点 H.在 Rt △ ODH 中,∵ DH=1, OH=4,∴由勾股定理,得∴sin∠ BOD=
    已知抛物线过三点,求其表达式,可采用一般式;而用一般式求待定系数要经历以下三步:第一步:设一般式y=ax2+bx+c;第二步:将三点的坐标分别代入一般式中,组成一个三 元一次方程组;第三步:解方程组即可求出a,b,c的值.
    (中考·宁波)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象 过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点. (1)求二次函数的表达式; (2)设二次函数的图象与x轴 的另一个交点为D,求点 D的坐标; (3)在同一坐标系中画出直线 y=x+1,并写出当x在什 么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
    用顶点式确定二次函数表达式
    已知抛物线的顶点坐标、对称轴或函数的最值时,通常运用顶点式y=a(x-h)2+k来确定二次函数的表达式;
    例2 已知一个二次函数图象的顶点坐标为 且经过点(-2,0).求该二次函数的表达式. 由于已知顶点坐标为 故可设顶点式 y=a(x-h)2+k,从而代入得y=a(x-1)2- 再将(-2,0)代入求出a的值.
    设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k.∵顶点坐标为∴y=a(x-1)2- 把(-2,0)代入得:0=a·(-2-1)2- 解得a=∴该二次函数的表达式为y= (x-1)2- 即y= x2-x-4.
    设顶点式求二次函数的表达式,通常有以下三种情况:①已知顶点坐标;②已知对称轴或顶点的横坐标;③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标.

    二、【思考与探究】

    1 求图象为下列抛物线的二次函数的表达式: (1)抛物线的顶点在原点,且抛物线经过点(2, 8); (2)抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且抛物线经过 点(1, 10).
    用交点式确定二次函数表达式
    在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便。设函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2) ,找到函数图象与x轴的两个交点,分别记横坐标为x1和x2,代入公式,再有一个在抛物线上的点的坐标,即可求出a的值.
    例3 已知抛物线与 x 轴的交点是 A( -2,0), B(1, 0) ,且抛物线经过点 C(2,8) . 求该抛物线对应的函数表达式 .
    紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件,利用待定系数法求函数表达式 .
    ∵抛物线与 x 轴的交点是 A( -2, 0), B( 1, 0),∴可设抛物线对应的函数表达式为 y=a( x+2)( x-1) .又∵抛物线经过点 C( 2, 8),∴把点 C 的坐标代入 y=a( x+2)( x-1)中,得 8=a( 2+2)×( 2-1),∴ a=2.∴抛物线对应的函数表达式为 y=2( x+2)( x-1),即 y=2x2+2x-4.
    (1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0), ∴可设抛物线表达式为y=a(x-1)(x-3), 把(0,-3)代入得:3a=-3,解得:a=-1, 故抛物线的表达式为y=-(x-1)(x-3), 即y=-x2+4x-3. ∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, ∴顶点坐标为(2,1).(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的 抛物线的表达式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为 (0,0),落在直线y=-x上.
    此题主要考查了二次函数的图象的平移,顶点坐标以及交点式求二次函数表达式,根据平移性质得出平移后的表达式是解题关键.第(2)小题是一个开放题,平移方法不唯一;只需将原顶点平移成横纵坐标互为相反数即可.已知抛物线与x轴交点坐标求其表达式时,一般采用二次函数的交点式.
    如图,已知两点A(-8,0),B(2,0),以AB为直径 的半圆与y轴正半轴交于点C,OC=4.求经过A、B、 C三点的抛物线的表达式.

    三、【拓展学习】

    用待定系数法求二次函数的表达式通常有以下四种类型:(1)已知抛物线上的三点坐标或已知对应的三组x、y的值, 通常运用一般式y=ax2+bx+c,代入得到关于a、b、 c的方程组求解;(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或函数的最值时,通 常运用顶点式y=a(x-h)2+k来确定二次函数的表达式;
    (3)已知抛物线与x轴的两个交点坐标时,通常运用交 点式y=a(x-x1)(x-x2)来确定二次函数的表达式;(4)若一条抛物线是由另一条抛物线经过平移得到的, 则可根据平移的条件,先确定出二次项系数a的值, 再用待定系数法求出二次函数的表达式.

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