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2021年云南省昆明市中考数学一模试卷(有答案)
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这是一份2021年云南省昆明市中考数学一模试卷(有答案)，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（每小题3分，共18分。请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
1．（3分）﹣的相反数是 ．
2．（3分）如图，已知AB∥CD，∠1=150°，则∠2= ．
3．（3分）化简= ．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
6．（3分）如图，OABC为菱形，点C在x轴上，点A在直线y=x上，点B在y=（k＞0）的图象上，若S菱形OABC=，则k的值为 ．
二、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
7．（4分）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D． [来源:Z#xx#k.Cm]
8．（4分）《2018年国务院政府工作报告》指出“我国五年来，粮食生产能力达到12000亿斤”，将12000亿斤用科学记数法表示应为（ ）
A．1.2×103亿斤B．12×103亿斤C．1.2×104亿斤D．0.12×105亿斤
9．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．a6÷a2=a4C．（a2）3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b2
10．（4分）式子中x的取值范围是（ ）
A．x≤3B．x＜3C．x≥﹣3D．x≥3
11．（4分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
12．（4分）关于▱ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形
13．（4分）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C． +5=D．﹣=5
14．（4分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣2C．π﹣4D．π﹣2
三、解答题（本大题共9小题，满分70分。必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．（5分）计算：（1﹣π）0﹣|﹣|+（﹣1）2018﹣（）﹣1．
16．（6分）已知：如图，B，F，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF．
求证：∠B=∠D．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2，并写出A2点的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使△PAC的周长最小，请直接写出点P的坐标．
18．（8分）为了方便学生参加体育锻炼，某学校准备购买一批运动鞋供学生体育锻炼借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下不完整的统计图①和图②，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）填空：本次随机抽样调查的学生为 名，本次调查获取的样本数据的中位数是 号，众数是 号；
（2）补全条形统计图；
（3）根据样本数据，若学校计划购买800双运动鞋，建议购买34号运动鞋多少双？
19．（8分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2，乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法（只选其中一种），写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣2x的图象上的概率．
20．（7分）如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
21．（9分）某小区为了美化环境，计划分两次购进A，B两种花，第一次分别购进A，B两种花30棵和15棵，共花费675元；第二次以同样的单价分别购进A、B两种花12棵和5棵，第二次花费265元．
（1）求A、B两种花的单价分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花共31棵，且B种花的数量多于A种花的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
22．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2相交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年云南省昆明市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，共18分。请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
1．（3分）﹣的相反数是 ．
【解答】解：﹣的相反数是﹣（﹣）=．
故答案为：．
2．（3分）如图，已知AB∥CD，∠1=150°，则∠2= 30° ．
【解答】解：如图，∵∠1=150°，
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣150°=30°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=30°．
故答案为：30°．
3．（3分）化简= a+1 ．
【解答】解：原式=﹣=a+1．
故答案为：a+1．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4k＞0，
解得k＜．
故答案为：k＜．
5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
6．（3分）如图，OABC为菱形，点C在x轴上，点A在直线y=x上，点B在y=（k＞0）的图象上，若S菱形OABC=，则k的值为 +1 ．
【解答】解：∵直线y=x经过点A，
∴设A（a，a），
∴OA2=2a2，
∴AO=a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=CB=AB=a，
∵菱形OABC的面积是，
∴a•a=，
∴a=1，
∴AB=，A（1，1）
∴B（1+，1），
设反比例函数解析式为y=（k≠0），
∵B（1+，1）在反比例函数图象上，
∴k=（1+）×1=+1，
故答案为： +1．
二、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
7．（4分）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体．
故选：B．
8．（4分）《2018年国务院政府工作报告》指出“我国五年来，粮食生产能力达到12000亿斤”，将12000亿斤用科学记数法表示应为（ ）
A．1.2×103亿斤B．12×103亿斤C．1.2×104亿斤D．0.12×105亿斤
【解答】解：将12000亿斤用科学记数法表示应为1.2×104亿斤．
故选：C．
9．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．a6÷a2=a4C．（a2）3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【解答】解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；
B、a6÷a2=a4，故本选项正确；
C、（a2）3=a6，故本选项错误；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误．
故选：B．
10．（4分）式子中x的取值范围是（ ）
A．x≤3B．x＜3C．x≥﹣3D．x≥3
【解答】解：由题意可知：x﹣3≥0，
∴x≥3
故选：D．
11．（4分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴，
∵∠AOB=70°，
∴∠ADC=35°，
故选：B．
12．（4分）关于▱ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形
【解答】解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；
∵▱ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；
∵▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．
故选：C．
13．（4分）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C． +5=D．﹣=5
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选：A．
14．（4分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣2C．π﹣4D．π﹣2
【解答】解：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
Rt△EDC中，∵CE=CB=4，CD=2，
∴ED==2，∠CED=30°，
∴∠ECD=60°，
S阴影=﹣=﹣2．
故选：D．
三、解答题（本大题共9小题，满分70分。必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．（5分）计算：（1﹣π）0﹣|﹣|+（﹣1）2018﹣（）﹣1．
【解答】解：原式=1﹣2+1﹣2=﹣2．
16．（6分）已知：如图，B，F，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF．
求证：∠B=∠D．
【解答】证明：∵BF=CD
∴BF+FC=DC+FC
∴BC=DF，
在△ABC和△EDF中，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠B=∠D．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2，并写出A2点的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使△PAC的周长最小，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△A2B2C2即为所求；A2（2，﹣3）；
（3）作点C关于y轴的对称点C2（1，0），连接A、C2交y轴于点P，点P即为所求．
∵直线AC2的解析式为y=﹣x+1，
∴P（0，1）．
18．（8分）为了方便学生参加体育锻炼，某学校准备购买一批运动鞋供学生体育锻炼借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下不完整的统计图①和图②，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）填空：本次随机抽样调查的学生为 40 名，本次调查获取的样本数据的中位数是 36 号，众数是 35 号；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
（2）补全条形统计图；
（3）根据样本数据，若学校计划购买800双运动鞋，建议购买34号运动鞋多少双？
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为12÷30%=40人，∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为=36，
故答案为：40、36、35；
（2）34号的人数为40﹣（12+10+8+4）=6，
补全图形如下：
（3）34号：100%﹣30%﹣25%﹣20%﹣10%=15%，
800×15%=120，
答：购买34号运动鞋约为120双．
19．（8分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2，乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法（只选其中一种），写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣2x的图象上的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
共有9种结果，且每种结果发生的可能性相同；
（2）∵点M （x，y）在函数y=﹣2x的图象上有两种情况，分别为（0，0），（1，﹣2）
∴．
20．（7分）如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
【解答】解：过点C作CD⊥PQ于D，垂足为点D，
∵∠CAB=30°，∠CBD=60°
∴∠ACB=30°
∴AB=BC=20米，
在Rt△CDB中，
∵∠BDC=90°，sin∠CBD=
∴sin60°=，
∴
∴CD=米，
∴CD≈17.3米．
21．（9分）某小区为了美化环境，计划分两次购进A，B两种花，第一次分别购进A，B两种花30棵和15棵，共花费675元；第二次以同样的单价分别购进A、B两种花12棵和5棵，第二次花费265元．
（1）求A、B两种花的单价分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花共31棵，且B种花的数量多于A种花的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【解答】解：（1）设A种花的单价为x元，B种花的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种花的单价为20元，B种花的单价为5元．
（2）设购进A种花的数量为m棵，则购进B种花的数量为（31﹣m）棵，
∵B种花的数量不大于A种花的数量的2倍，
∴31﹣m≤2m，
解得：m≥，
又∵m≤31，
∴≤m≤31．
∵m是正整数，
∴m最小值=11．
设购买总费用为w元，则w=20m+5（31﹣m）=15m+155，
∵k＞0，
∴w随x的增大而增大，
当m=11时，w最小值=15×11+155=320．
答：购进A种花11棵、B种花20棵时，费用最省，最省费用是320元．
22．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
∴=，
∴BC2=BE•BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴62=2x•3x，
解得：x=，
即AE=．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2相交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，
（2）联立抛物线和直线解析式可得，
解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（3）存在，
理由：假设存在满足条件的点N，
设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）知，AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有或，
①当时，
∴，即|x|•|﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，
∴﹣x+2=±，解得x=或x=，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当时，
∴，
即|x|•|﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，
∴﹣x+2=±3，
解得x=5或x=﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．[来源:学+科+网]
﹣1
﹣2
0
0
（0，﹣1）
（0，﹣2）
（0，0）
1
（1，﹣1）
（1，﹣2）
（1，0）
2
（2，﹣1）
（2，﹣2）
（2，0）
一、填空题（每小题3分，共18分。请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
1．（3分）﹣的相反数是 ．
2．（3分）如图，已知AB∥CD，∠1=150°，则∠2= ．
3．（3分）化简= ．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
6．（3分）如图，OABC为菱形，点C在x轴上，点A在直线y=x上，点B在y=（k＞0）的图象上，若S菱形OABC=，则k的值为 ．
二、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
7．（4分）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D． [来源:Z#xx#k.Cm]
8．（4分）《2018年国务院政府工作报告》指出“我国五年来，粮食生产能力达到12000亿斤”，将12000亿斤用科学记数法表示应为（ ）
A．1.2×103亿斤B．12×103亿斤C．1.2×104亿斤D．0.12×105亿斤
9．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．a6÷a2=a4C．（a2）3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b2
10．（4分）式子中x的取值范围是（ ）
A．x≤3B．x＜3C．x≥﹣3D．x≥3
11．（4分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
12．（4分）关于▱ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形
13．（4分）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C． +5=D．﹣=5
14．（4分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣2C．π﹣4D．π﹣2
三、解答题（本大题共9小题，满分70分。必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．（5分）计算：（1﹣π）0﹣|﹣|+（﹣1）2018﹣（）﹣1．
16．（6分）已知：如图，B，F，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF．
求证：∠B=∠D．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2，并写出A2点的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使△PAC的周长最小，请直接写出点P的坐标．
18．（8分）为了方便学生参加体育锻炼，某学校准备购买一批运动鞋供学生体育锻炼借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下不完整的统计图①和图②，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）填空：本次随机抽样调查的学生为 名，本次调查获取的样本数据的中位数是 号，众数是 号；
（2）补全条形统计图；
（3）根据样本数据，若学校计划购买800双运动鞋，建议购买34号运动鞋多少双？
19．（8分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2，乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法（只选其中一种），写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣2x的图象上的概率．
20．（7分）如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
21．（9分）某小区为了美化环境，计划分两次购进A，B两种花，第一次分别购进A，B两种花30棵和15棵，共花费675元；第二次以同样的单价分别购进A、B两种花12棵和5棵，第二次花费265元．
（1）求A、B两种花的单价分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花共31棵，且B种花的数量多于A种花的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
22．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2相交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年云南省昆明市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，共18分。请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
1．（3分）﹣的相反数是 ．
【解答】解：﹣的相反数是﹣（﹣）=．
故答案为：．
2．（3分）如图，已知AB∥CD，∠1=150°，则∠2= 30° ．
【解答】解：如图，∵∠1=150°，
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣150°=30°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=30°．
故答案为：30°．
3．（3分）化简= a+1 ．
【解答】解：原式=﹣=a+1．
故答案为：a+1．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4k＞0，
解得k＜．
故答案为：k＜．
5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
6．（3分）如图，OABC为菱形，点C在x轴上，点A在直线y=x上，点B在y=（k＞0）的图象上，若S菱形OABC=，则k的值为 +1 ．
【解答】解：∵直线y=x经过点A，
∴设A（a，a），
∴OA2=2a2，
∴AO=a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=CB=AB=a，
∵菱形OABC的面积是，
∴a•a=，
∴a=1，
∴AB=，A（1，1）
∴B（1+，1），
设反比例函数解析式为y=（k≠0），
∵B（1+，1）在反比例函数图象上，
∴k=（1+）×1=+1，
故答案为： +1．
二、选择题（每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
7．（4分）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体．
故选：B．
8．（4分）《2018年国务院政府工作报告》指出“我国五年来，粮食生产能力达到12000亿斤”，将12000亿斤用科学记数法表示应为（ ）
A．1.2×103亿斤B．12×103亿斤C．1.2×104亿斤D．0.12×105亿斤
【解答】解：将12000亿斤用科学记数法表示应为1.2×104亿斤．
故选：C．
9．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．a6÷a2=a4C．（a2）3=a5D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【解答】解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；
B、a6÷a2=a4，故本选项正确；
C、（a2）3=a6，故本选项错误；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误．
故选：B．
10．（4分）式子中x的取值范围是（ ）
A．x≤3B．x＜3C．x≥﹣3D．x≥3
【解答】解：由题意可知：x﹣3≥0，
∴x≥3
故选：D．
11．（4分）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴，
∵∠AOB=70°，
∴∠ADC=35°，
故选：B．
12．（4分）关于▱ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形
【解答】解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；
∵▱ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；
∵▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．
故选：C．
13．（4分）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣=5B．﹣=5
C． +5=D．﹣=5
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选：A．
14．（4分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣2C．π﹣4D．π﹣2
【解答】解：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
Rt△EDC中，∵CE=CB=4，CD=2，
∴ED==2，∠CED=30°，
∴∠ECD=60°，
S阴影=﹣=﹣2．
故选：D．
三、解答题（本大题共9小题，满分70分。必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．（5分）计算：（1﹣π）0﹣|﹣|+（﹣1）2018﹣（）﹣1．
【解答】解：原式=1﹣2+1﹣2=﹣2．
16．（6分）已知：如图，B，F，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF．
求证：∠B=∠D．
【解答】证明：∵BF=CD
∴BF+FC=DC+FC
∴BC=DF，
在△ABC和△EDF中，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠B=∠D．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2，并写出A2点的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使△PAC的周长最小，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△A2B2C2即为所求；A2（2，﹣3）；
（3）作点C关于y轴的对称点C2（1，0），连接A、C2交y轴于点P，点P即为所求．
∵直线AC2的解析式为y=﹣x+1，
∴P（0，1）．
18．（8分）为了方便学生参加体育锻炼，某学校准备购买一批运动鞋供学生体育锻炼借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下不完整的统计图①和图②，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）填空：本次随机抽样调查的学生为 40 名，本次调查获取的样本数据的中位数是 36 号，众数是 35 号；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
（2）补全条形统计图；
（3）根据样本数据，若学校计划购买800双运动鞋，建议购买34号运动鞋多少双？
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为12÷30%=40人，∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为=36，
故答案为：40、36、35；
（2）34号的人数为40﹣（12+10+8+4）=6，
补全图形如下：
（3）34号：100%﹣30%﹣25%﹣20%﹣10%=15%，
800×15%=120，
答：购买34号运动鞋约为120双．
19．（8分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2，乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法（只选其中一种），写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣2x的图象上的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
共有9种结果，且每种结果发生的可能性相同；
（2）∵点M （x，y）在函数y=﹣2x的图象上有两种情况，分别为（0，0），（1，﹣2）
∴．
20．（7分）如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
【解答】解：过点C作CD⊥PQ于D，垂足为点D，
∵∠CAB=30°，∠CBD=60°
∴∠ACB=30°
∴AB=BC=20米，
在Rt△CDB中，
∵∠BDC=90°，sin∠CBD=
∴sin60°=，
∴
∴CD=米，
∴CD≈17.3米．
21．（9分）某小区为了美化环境，计划分两次购进A，B两种花，第一次分别购进A，B两种花30棵和15棵，共花费675元；第二次以同样的单价分别购进A、B两种花12棵和5棵，第二次花费265元．
（1）求A、B两种花的单价分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花共31棵，且B种花的数量多于A种花的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【解答】解：（1）设A种花的单价为x元，B种花的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种花的单价为20元，B种花的单价为5元．
（2）设购进A种花的数量为m棵，则购进B种花的数量为（31﹣m）棵，
∵B种花的数量不大于A种花的数量的2倍，
∴31﹣m≤2m，
解得：m≥，
又∵m≤31，
∴≤m≤31．
∵m是正整数，
∴m最小值=11．
设购买总费用为w元，则w=20m+5（31﹣m）=15m+155，
∵k＞0，
∴w随x的增大而增大，
当m=11时，w最小值=15×11+155=320．
答：购进A种花11棵、B种花20棵时，费用最省，最省费用是320元．
22．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
∴=，
∴BC2=BE•BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴62=2x•3x，
解得：x=，
即AE=．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2相交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，
（2）联立抛物线和直线解析式可得，
解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（3）存在，
理由：假设存在满足条件的点N，
设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）知，AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有或，
①当时，
∴，即|x|•|﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，
∴﹣x+2=±，解得x=或x=，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当时，
∴，
即|x|•|﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，
∴﹣x+2=±3，
解得x=5或x=﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．[来源:学+科+网]
﹣1
﹣2
0
0
（0，﹣1）
（0，﹣2）
（0，0）
1
（1，﹣1）
（1，﹣2）
（1，0）
2
（2，﹣1）
（2，﹣2）
（2，0）
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