初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索教学课件ppt

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利用二次函数的图象解一元二次方程利用二次函数的图象解一元二次不等式
育才中学九年级(3)班的学生在上节课的练习中出 现了争论：解方程 时，几乎所有学生都是将方程化为 画出函数 的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的根.唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y=x2和y = 的图象，如图26. 3. 3，认为它们的交点A、B的横坐标 和2就是原方程的根. 对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论.
利用二次函数的图象解一元二次方程
例1 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3 ＝－8的近似解．(结果精确到0.1) 当y＝－x2＋2x－3的函数值为 －8时，在其图象中对应点的 横坐标即为一元二次方程 －x2＋2x－3＝－8的解，如图.
在平面直角坐标系内作函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图，由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的解是二次函数y＝－x2＋2x－3的图象与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间．(1)选求在－1和－2之间的解，利用计算器进行探索： 因此x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似解.
(2)另一解可以类似地求出： 因此x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似解． 故一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解为 x1＝－1.4，x2＝3.4.
(1)二分法是求解方程实数根的方法之一．这种方法一般计 算量较大，不适合手工计算，但因为其解法单一，具有 可操作性，因此被广泛应用于计算机领域．(2)解此类题的基本步骤是：①作出函数的图象，并由图象 确定方程的解的个数；②由图象与直线y＝h的公共点的 位置确定公共点的横坐标的范围；③利用计算器估计方 程的近似解．
例2 利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的近似解． (1)先把方程化成x2＝－2x＋3.如图：在同一直角坐标 系中分别画出函数y＝x2和 y＝－2x＋3的图象，得到 它们的交点为(－3，9)和 (1，1)，则方程x2＋2x－3＝0 的解为x＝－3或x＝1.
利用函数图象求一元二次方程近似解的步骤：(1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式；(2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图象；(3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情 况，如有公共点，则公共点的横坐标即为 ax2＋bx＋c＝0的根．
利用函数的图象求下列方程的根： (1)x2+x - 12 = 0; (2)2x2-x- 3 =0.
2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二 次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为(　　) A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝x2＝－1 C．x1＝x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点 分别为A(2.18，－0.61)，B(2.68，0.44)，则方程ax2＋ bx＋c＝0的一个解只可能是(　　) A．2.18 B．2.68　 C．－0.51　 　 D．2.55
4 根据下面表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是(　　) A.3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
利用二次函数的图像解一元二次不等式
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次不等式的关系． (1)当y＞0时，ax2＋bx＋c＞0的解集就是抛物线y＝ax2＋ bx＋c在__________________所对应的x的取值范围； (2)当y＜0时，ax2＋bx＋c＜0的解集就是抛物线y＝ax2＋ bx＋c在__________________所对应的x的取值范围．
2. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点坐 标为(x1，0)和(x2，0)，其中x1＜x2，则一元二次不等 式的解集可归纳如下： (1)当a＞0时，ax2＋bx＋c＞0的解集是____________， ax2＋bx＋c＜0的解集是________________； (2)当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0的解集是____________， ax2＋bx＋c＜0的解集是______________．
3. 易错警示： 在判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与不等式ax2＋bx＋c＞0 或ax2＋bx＋c＜0的关系时，必须先要求出二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点坐标，然后结合二 次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向及位置确定不等 式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集．应牢记的是： 当图象在x轴上方时，y＞0，即ax2＋bx＋c＞0；当图象 在x轴下方时，y＜0，即ax2＋bx＋c＜0.反之亦成立．
例3 利用二次函数的图象求一元二次方程 -x2+2x-3=-8 的近似解（结果精确到 0.1） .
画出二次函数 y=-x2+2x+5 的图象，利用二次函数的图象与 x 轴的公共点计算方程的近似解 .
整理方程，得 -x2+2x+5=0.作函数 y=-x2+2x+5 的图象如图 26.3-9.由图象可知，抛物线与 x 轴公共点的横坐标分别在 -2 和 -1， 3 和 4之间，即方程 -x2+2x-3=-8 的两个实数解分别在 -2 和 -1， 3 和 4 之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解 .由图象可知，当 x=3 时， y>0；当 x=4 时， y<0，取3 和4 的平均数3.5，当x=3.5 时， y=-0.25，与x=3 时的函数值异号，所以方程的这个解在 3 和 3.5 之间 .
取 3 和 3.5 的平均数 3.25，当 x=3.25 时， y=0.9375，与 x=3.5 时的函数值异号，所以方程的这个解在 3.25 和 3.5 之间 .取 3.25 和 3.5 的 平 均 数 3.375， 当 x=3.375 时， y=0.359375， 与x=3.5 时的函数值异号，所以方程的这个解在 3.375 和 3.5 之间 .由此方法可得到原方程的一个近似解为 3.4.用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为 -1.4.所以方程 -x2+2x-3=-8 的解为 x1 ≈ -1.4， x2 ≈ 3.4.
画 出 二 次 函 数 y=-x2+2x-3 的 图 象， 再 画 出 直 线y=-8，利用两图象的公共点求方程的近似解 .
作出函数 y=-x2+2x-3 的图象，再画出直线 y=-8，如图26.3-10.由图象知，方程 -x2+2x-3=-8 的解是抛物线 y=-x2+2x-3 与直线y=-8 的公共点的横坐标，一个公共点的横坐标在 -2 与 -1 之间，另一个公共点的横坐标在 3 与 4 之间 .同 样 用 取 平 均 数 的 方 法， 可 得 方 程 -x2+2x-3=-8 的 解 为 x1 ≈-1.4， x2 ≈ 3.4.
运用图象法解一元二次不等式时，要先用描点法画出二次函数的图象，找到图象与x轴的两个交点坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
(中考·牡丹江)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)如图，则关 于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　　) A．x<2 B．x>－3 C．－31
2 (2015·咸宁)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．下 列结论：①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a ＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和 为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的 有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
根据图象可直观地回答使得函数值y大于、等于或小于零时x的取值(范围)，具体如下表所述：