2015-2016学年武汉市黄陂区九上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年武汉市黄陂区九上期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 一元二次方程 3x2−8x−10=0 中的一次项系数为
A. 3B. 8C. −8D. −10

2. 如果 x=−2 是方程 x2−m=0 的一个根，则 m 的值为
A. 2B. −4C. 3D. 4

3. 下列正多边形中，绕其中心旋转 72∘ 后，能和自身重合的是
A. 正方形B. 正五边形C. 正六边形D. 正八边形

4. 将二次函数 y=x2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为
A. y=x2−1B. y=x2+1C. y=x−12D. y=x+12

5. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则下列方程中，正确的是
A. xx+1=81B. 1+x+x2=81
C. 1+x+xx+1=81D. 1+x+12=81

6. 一元二次方程 x2+x−6=0 的根的情况是
A. 有两个相等的实根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实根D. 无法确定

7. 如图，在同一平面内，将 △ABC 绕点 A 旋转到 △AED 的位置，若 AE⊥BC，∠ADC=65∘，则 ∠ABC 的度数为
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

8. 对于抛物线 y=ax2−4ax+3a，有下列说法：
①对称轴为直线 x=2；
②抛物线与 x 轴两交点的坐标分别为 1,0，3,0；
③顶点坐标为 2,−a；
④若 a<0，当 x>2 时，函数 y 随 x 的增大而增大，
其中正确的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

9. 如图，矩形 ABCD 的两边 BC，CD 分别在 x 轴、 y 轴上，点 C 与原点重合，点 A−1,2，将矩形 ABCD 沿 x 轴向右翻滚，经过一次翻滚点 A 对应点记为 A1，经过第二次翻滚点 A 对应点记为 A2⋯ 依此类推，经过 5 次翻滚后点 A 对应点 A5 的坐标为
A. 5,2B. 6,0C. 8,0D. 8,1

10. 如图，等边 △ABC 的边长为 3，F 为 BC 边上的动点，FD⊥AB 于点 D，FE⊥AC 于点 E，则 DE 的长为
A. 随 F 点运动，其值不变
B. 随 F 点运动而变化，最大值为 94
C. 随 F 点运动而变化，最小值为 94
D. 随 F 点运动而变化，最小值为 323

二、填空题（共6小题；共30分）
11. x2−6x+ =x− 2．

12. 二次函数 y=x2−2x−3 的图象的顶点坐标是 ．

13. 若 m，n 是方程 x2+6x−5=0 的两根，则 3m+3n−2mn= ．

14. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A−3,0，该抛物线的对称轴为直线 x=−1，若点 C−52,y1，D−12,y2，E32,y3 均为函数图象上的点，则 y1，y2，y3 的大小关系为 ．

15. 已知点 C 为线段 AB 上一点，且 AC2=BC⋅AB，则 ACAB= ．

16. 在 △ABC 中，AC=BC，∠ACB=90∘，将 △ABC 绕点 A 旋转 60∘ 到 △ADE 的位置，点 C 的对应点为 E，连接 CD，若 AC=BC=1，则 CD 的长为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 选择适当方法解方程：2x2−x−3=0．

18. 已知关于 x 的方程 x2−4x+1−p2=0．
（1）若 p=2，求原方程的根；
（2）求证：无论 p 为何值，方程总有两个不相等的实数根．

19. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A−1,0，B3,0，C2,−32．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当 y<0 时，x 的取值范围是 ．（直接写出结果）

20. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A1,−1，B3,1，将线段 AB 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 到对应线段 CD（点 A 与点 C 对应，点 B 与 D 对应）．
（1）请在图中画出线段 CD；
（2）请直接写出点 A，B 的对应点坐标 C ， ，D ， ；
（3）在 x 轴上求作一点 P，使 △PCD 的周长最小，并直接写出点 P 的坐标 ， ．

21. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D 为 BC 上一点，以 AD 为腰作等腰 △ADE，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接 CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）已知 BC=8，∠BAC=∠DAE=30∘，若 △DCE 的面积为 1，求线段 BD 的长．

22. 某宾馆有 50 个房间可供游客居住，当每个房间每天的定价为 180 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用，设每个房间的定价增加 x 元（x 为 10 的整数倍），此时入住的房间数为 y 间，宾馆每天的利润为 w 元．
（1）直接写出 y（间）与 x（元）之间的函数关系；
（2）如何定价才能使宾馆每天的利润 w（元）最大?
（3）若宾馆每天的利润为 10800 元，则每个房间每天的定价为多少元?

23. 如图，在正方形 ABCD 中，将正方形的边 AD 绕点 A 顺时针旋转到 AE，连接 BE，DE，过点 A 作 AF⊥BE 于点 F，交直线 DE 于点 P．
（1）如图 ①，若 ∠DAE=40∘, 求 ∠P 的度数；
（2）如图 ②，若 90∘<∠DAE<180∘，其它条件不变，试探究线段 AP，DP，EP 之间的数量关系，并说明理由；
（3）继续旋转线段 AD，若旋转角 180∘<∠DAE<270∘，则线段 AP，DP，EP 之间的数量关系为 （直接写出结果）

24. 在平面直角坐标系中，抛物线 C1:y=ax2+4x+4a0（1）当 C1 与 x 轴有唯一一个交点时，求此时 C1 的解析式；
（2）如图 1，若 A1,yA，B0,yB，C−1,yC 三点均在 抛物线 C1 上，连接 BC，作 AE∥BC 交抛物线 C1 于点 E，求点 E 到 y 轴的距离；
（3）若 a=1，将抛物线 C1 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位得到抛物线 C2，如图 2，抛物线 C2 与 x 轴相交于点 M，N（M 点在 N 点的左边），抛物线的对称轴交 x 轴于点 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C2 相交于 P，Q（P 在第四象限）且 S△FMQ=2S△FNP，求直线 l 的解析式．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. A
5. C
6. C
7. B
8. C
9. D
10. C
第二部分
11. 9，3
12. 1,−4
13. −8
14. y315. 5−12
16. 6−22 或 6+22
第三部分
17.
2x2−x−3=0,2x−3x+1=0,2x−3=0或x+1=0,
解得
x1=32,x2=−1.
18. （1） 若 p=2，原方程为 x2−4x−3=0，
x=−−4±−42−4×1×−32=2±7，
解得：x1=2+7，x2=2−7．
（2） Δ=−42−4×1×1−p2=4p2+12，
∵p2≥0，
∴4p2+12>0，
∴ 无论 p 为何值，方程总有两个不相等的实数根．
19. （1） 把 A−1,0，B3,0，C2,−32 代入抛物线解析式，
得 a−b+c=0,9a+3b+c=0,4a+2b+c=−32,
解得 a=12,b=−1,c=−32,
∴ 该抛物线的解析式为：y=12x2−x−32．
（2） −120. （1） 如图 1，CD 为所作：
（2） 1；1；−1；3
（3） 如图 2，点 P 即为所求；
0.5；0
21. （1） ∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠BAD=∠EAC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE．
（2） 过点 D 作 DF⊥EC 交 EC 的延长线于点 F，如图，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B，
∵∠BAC=30∘，
∴∠B+∠ACB=150∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=150∘，
∴∠DCF=30∘，
∴DF=12CD=12BC−BD=128−BD，
∵△DCE 的面积为 1，
∴12DF⋅CE=12×128−BD⋅BD=1，
解得：BD=4−23 或 BD=4+23，
∴ 线段 BD 的长为 4+23 或 4−23．
22. （1） y=50−110x（0≤x≤500，且 x 是 10 的整数倍）．
（2） w=50−110x180+x−20=−110x2+34x+8000=−110x−1702+10890,
∴ 当 x=170 时，此时 x+180=350，w 取得最大值，最大值为 10890，
∴ 当定价为 350 元时利润最大．
（3） 令 w=−110x−1702+10890=10800，
解得：x=200 或 x=140，
当 x=200 时，x+180=380，
当 x=140 时，x+180=320，
答：若宾馆每天的利润为 10800 元，则每个房间每天的定价为 380 元，或者 320 元．
23. （1） 因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AD=AB，∠BAD=90∘，
因为 AD 绕点 A 顺时针旋转到 AE，
所以 AD=AE，
因为 ∠DAE=40∘，
所以 ∠ADE=∠AED=70∘，∠BAE=50∘，
因为 AF⊥BE，
所以 ∠FAE=∠FAB=25∘，
所以 ∠P=∠AED−∠PAE=45∘；
（2） PD=2AP+PE，理由如下：
如图，过点 A 作 AQ⊥DE 于点 Q，
则 ∠PAQ=∠BAQ+∠FAB，
因为 AE=AB，AF⊥BE，
所以 ∠FAE=∠BAF，
所以 ∠APQ=∠EAF+∠AEP，
因为 ∠BAD=∠AQP=90∘，
所以 ∠BAQ+∠DAQ=∠ADQ+∠DAQ=90∘，
所以 ∠BAQ=∠ADQ，
因为 AE=AD，
所以 ∠ADQ=∠AEP，
所以 ∠BAQ=∠AEP，
因为 AB=AE，AF⊥BE，
所以 ∠EAF=∠BAF，
所以 ∠BAQ+∠BAF=∠EAF+∠AED，
即 ∠APQ=∠QAP，
因为 ∠AQP=90∘，
所以 ∠APQ=∠PAQ=45∘，
所以 PQ=22AP，
所以 PE+PQ=PD−PQ，即 PE+22AP=PD−22AP，
所以 PD=2AP+PE；
（3） PE=PD+2PA
24. （1） 根据题意得 Δ=42−4⋅a⋅4a=0，
解得 a1=1，a2=−1，
∵0 ∴a=1，
∴ 此时 C1 的解析式为 y=x2+4x+4．
（2） 根据题意得 A1,5a+4，B0,4a，C−1,5a−4，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+4a，
把 C−1,5a−4 代入得 −k+4a=5a−4，解得 k=4−a，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=4−ax+4a，
∵BC∥AE，
∴ 直线 AE 的解析式可设为 y=4−ax+n，
把 A1,5a+4 代入得 4−a+n=5a+4，解得 n=6a，
∴ 直线 AE 的解析式为 y=4−ax+6a，
联立抛物线和直线 AE 的解析式可得方程组 y=4−ax+6a,y=ax2+4x+4a,
消去 y 得 x2+x−2=0，
解得 x1=1，x2=−2，
∴E 点的横坐标为 −2，
∴ 点 E 到 y 轴的距离为 2．
（3） 作 QA⊥x 轴于点 A，PB⊥x 轴于点 B，如图，
当 a=1 时，y=x2+4x+4=x+22，抛物线 C1 的顶点坐标为 −2,0，
把点 −2,0 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位得到对应点的坐标为 1,−2，
∴ 抛物线 C2 的解析式为 y=x−12−2，即 y=x2−2x−1，
则抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴F1,0，
∵ 抛物线 C2 与 x 轴相交于点 M，N（M 点在 N 点的左边），
∴FM=FN，
∵S△FMQ=2S△FNP，
∴QA=2PB，
∵QA⊥x 轴，PB⊥x 轴，
∴AQ∥PB，
∴∠FAQ=∠FBP，∠FQA=∠FPB，
∴△FQA∽△FPB，
∴FAFB=QAPB=2，即 FA=2BF，
设 Pt,t2−2t−1，则 BF=t−1，
∴AF=2t−1，
∴OA=2t−1−1=2t−3，
∴ 点 Q 的坐标为 3−2t,3−2t2−23−2t−1，
∴3−2t2−23−2t−1=−2t2−2t−1，
整理得 t2−2t=0，解得 t1=0（舍去），t2=2，
∴P2,−1，Q−1,2，
设直线 PQ 的解析式为 y=px+q，
把 P2,−1，Q−1,2 代入得 2p+q=−1,−p+q=2,
解得 p=−1,q=1,
∴ 直线 l 的解析式为 y=−x+1．