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2015-2016学年深圳市南山区育才二中八下期中数学试卷
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这是一份2015-2016学年深圳市南山区育才二中八下期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 aA. a−1b3D. ac
2. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 下列分解因式正确的是
A. x3−x=xx2−1B. x2−x+2=xx−1+2
C. x2+2x−1=x−12D. x2−1=x+1x−1
4. 不等式 2x+1<3x 的解集在数轴上表示出来应为
A. B.
C. D.
5. 如图，将等腰直角三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转 15∘ 后得到 △ABʹCʹ，若 AC=1，则图中阴影部分的面积为
A. 33B. 36C. 3D. 33
6. 如图，AD∥BC，∠ABC 的角平分线 BP 与 ∠BAD 的角平分线 AP 相交于点 P，作 PE⊥AB 于点 E．若 PE=2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 如图，△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 边上，且 BD=BC=AD，则图中等腰三角形的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
8. 若关于 x 的一元一次不等式组 2x−m≤0,−x<4 有解，则 m 的取值范围是
A. m≥−8B. m≤−8C. m>−8D. m<−8
9. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点．
A. 三个内角平分线B. 三边垂直平分线
C. 三条中线D. 三条高
10. 若 x2−mx+4 是完全平方式，则 m 的值为
A. 2B. 4C. ±2D. ±4
11. 如图，△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD 的周长为 18 cm，则 △ABC 的周长为
A. 23 cmB. 28 cmC. 13 cmD. 18 cm
12. 如图，O 是等边 △ABC 内一点，OA=6，OB=8，OC=10，以 B 为旋转中心，将线段 BO 逆时针旋转 60∘ 得到线段 BOʹ，连接 AOʹ．则下列结论：① △BOʹA 可以由 △BOC 绕点 B 逆时针方向旋转 60∘ 得到；②连接 OOʹ，则 OOʹ=8；③ ∠AOB=150∘；④ S四边形AOBOʹ=24+123．其中正确的有
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 多项式 3a2b2−6a3b3−12a2b2c 的公因式是 ．
14. 若 m−n=3，mn=−2，则 4m2n−4mn2+1 的值为 ．
15. 已知函数 y1=k1x+b1 与函数 y2=k2x+b2 的图象如图所示，则不等式 y1
16. 如图，在平面直角坐标系中，将 △ABO 绕点 A 顺时针旋转到 △AB1C1 的位置，点 B，O 分别落在点 B1，C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将 △AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到 △A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将 △A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到 △A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去 ⋯，若点 A3,0，B0,4，则点 B80 的坐标为 ，点 B81 的坐标为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 分解因式：
（1）a3−2a2b+ab2
（2）x2m−n+y2n−m
18. 在平面直角坐标系中，直线 y=kx+3 经过 2,7，求不等式 kx−6≤0 的解集．
19. 解不等式组：3x+2>x+8,x4≥x−13.
20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点 A−2,2，B0,5，C0,2．
（1）将 △ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180∘，得到 △A1B1C，请画出 △A1B1C 的图形；
（2）平移 △ABC，使点 A 的对应点 A2 坐标为 −2,−6，请画出平移后对应的 △A2B2C2 的图形；
（3）若将 △A1B1C 绕某一点旋转可得到 △A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
21. 如图，△ABC 和 △ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，D 为 AB 边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD ；
（2）若 AD=6，BD=8，求 ED 的长．
22. 某校为开展好大课间活动，欲购买单价为 20 元的排球和单价为 80 元的篮球共 100 个．
（1）设购买排球数为 x （个），购买两种球的总费用为 y （元），请你写出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果购买两种球的总费用不超过 6620 元，并且篮球数不少于排球数的 3 倍，那么有哪几种购买方案?
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算?
23. 如图，在 △ABC 中，已知 AB=AC，∠BAC=90∘，BC=6 cm，直线 CM⊥BC，动点 D 从点 C 开始沿射线 CB 方向以每秒 2 厘米的速度运动，动点 E 也同时从点 C 开始在直线 CM 上以每秒 1 厘米的速度运动，连接 AD，AE，设运动时间为 t 秒．
（1）求 AB 的长；
（2）当 t 为多少时，△ABD 的面积为 6 cm2?
（3）当 t 为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（可在备用图中画出具体图形）
答案
第一部分
1. A
2. A
3. D
4. D
5. B
6. A【解析】
7. C
8. C
9. B
10. D
11. B
12. B【解析】由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60∘，
∴ ∠1=∠3．
又 ∵ OB=OʹB，AB=BC，
∴ △BOʹA 和 △BOC 中 OB=OʹB,∠1=∠3,AB=CB,
∴ △BOʹA≌△BOCSAS．
又 ∵ ∠OBOʹ=60∘，
∴ △BOʹA 可以由 △BOC 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到．
故结论①正确；
如图所示：连接 OOʹ．
∵ OB=OʹB，且 ∠OBOʹ=60∘，
∴ △OBOʹ 是等边三角形，
∴ OOʹ=OB=8．
故结论②正确；
∵ △BOʹA≌△BOC，
∴ OʹA=10．
在 △AOOʹ 中，三边长为 6，8，10，这是一组勾股数，
∴ △AOOʹ 是直角三角形，∠AOOʹ=90∘，
∴ ∠AOB=∠AOOʹ+∠BOOʹ=90∘+60∘=150∘，
故结论③正确；
S四边形AOBOʹ=S△AOOʹ+S△OBOʹ=12×6×8+12×8×43=24+163,
故结论④错误．
综上所述，正确的结论为：①②③．
第二部分
13. 3a2b2
14. −23
15. x<1
16. 480,4，488,0
【解析】因为 AO=3，BO=4，
所以 AB=5，
所以 OA+AB1+B1C2=3+5+4=12，
所以 B2 的横坐标为：12，且 B2C2=4，
所以 B4 的横坐标为：2×12=24，
所以点 B80 的横坐标为：40×12=480．
所以点 B80 的纵坐标为：4．
点 B81 的横坐标为：480+3+5=488，
点 B81 的纵坐标为：0，
所以点 B81 的坐标为 488,0，
故答案为：480,4；488,0．
第三部分
17. （1） a3−2a2b+ab2=aa2−2ab+b2=aa−b2;
（2） x2m−n+y2n−m=m−nx2−y2=m−nx−yx+y.
18. ∵ 直线 y=kx+3 经过 2,7，
∴ 2k+3=7，
解得：k=2，
∴ 2x−6≤0，
解得：x≤3．
19.
3x+2>x+8, ⋯⋯①x4≥x−13. ⋯⋯②
解 ① 得
x>1.
解 ② 得
x≤4.
则不等式组的解集是
120. （1）
如图所示 △A1B1C 即为所求．
（2）
如图所示 △A2B2C2 即为所求．
（3） 旋转中心坐标 0,−2．
21. （1） ∵ △ABC 和 △ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴ AC=BC，EC=DC，∠B=∠CAB=45∘，∠ACE=∠BCD=90∘−∠ACD，
在 △ACE 和 △BCD 中
AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,
∴ △ACE≌△BCDSAS；
（2） ∵ △ACE≌△BCD，
∴ ∠CAE=∠B，AE=BD=8，
∵ ∠CAB=∠B=45∘ ，
∴ ∠EAD=45∘+45∘=90∘，
在 Rt△EAD 中，由勾股定理得：ED=AE2+AD2=82+62=10．
22. （1） 设购买排球 x 个，购买篮球和排球的总费用 y 元，y=20x+80100−x=8000−60x；
（2） 设购买排球 x 个，则篮球的个数是 100−x，根据题意得：
100−x≥3x,20x+80100−x≤6620,
解得：23≤x≤25，
因为 x 是正整数，
所以 x 只能取 25，24，23，
当买排球 25 个时，篮球的个数是 75 个，
当买排球 24 个时，篮球的个数是 76 个，
当买排球 23 个时，篮球的个数是 77 个，
所以有 3 种购买方案．
（3） 根据（2）得：
当买排球 25 个，篮球的个数是 75 个，总费用是：25×20+75×80=6500 （元），
当买排球 24 个，篮球的个数是 76 个，总费用是：24×20+76×80=6560 （元），
当买排球 23 个，篮球的个数是 77 个，总费用是：23×20+77×80=6620 （元），
所以采用“买排球 25 个，篮球 75 个”这种方案更合算．
23. （1） ∵ 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，
∴ 2AB2=BC2，
∴ AB=BC2=32（cm）．
（2） 过 A 作 AF⊥BC 交 BC 于点 F，
则 AF=12BC=3 cm，
∵ S△ABD=6 cm2，
∴ AF×BD=12，
∴ BD=4 cm．
若 D 在 B 点右侧，则 CD=2 cm，t=1 s；
若 D 在 B 点左侧，则 CD=10 cm，t=5 s．
（3） 动点 E 从点 C 沿射线 CM 方向运动 2 秒或当动点 E 从点 C 沿射线 CM 的反向延长线方向运动 6 秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：（说理过程简要说明即可）
①当 E 在射线 CM 上时，D 必在 CB 上，则需 BD=CE，
∵ CE=t，BD=6−2t，
∴ t=6−2t，
∴ t=2．
证明：在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠B=∠ACE,BD=CE,
∴ △ABD≌△ACESAS．
②当 E 在 CM 的反向延长线上时，D 必在 CB 延长线上，则需 BD=CE．
∵ CE=t，BD=2t−6，
∴ t=2t−6，
∴ t=6．
证明：在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠ABD=∠ACE,BD=CE,
∴ △ABD≌△ACESAS．
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 a
2. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 下列分解因式正确的是
A. x3−x=xx2−1B. x2−x+2=xx−1+2
C. x2+2x−1=x−12D. x2−1=x+1x−1
4. 不等式 2x+1<3x 的解集在数轴上表示出来应为
A. B.
C. D.
5. 如图，将等腰直角三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转 15∘ 后得到 △ABʹCʹ，若 AC=1，则图中阴影部分的面积为
A. 33B. 36C. 3D. 33
6. 如图，AD∥BC，∠ABC 的角平分线 BP 与 ∠BAD 的角平分线 AP 相交于点 P，作 PE⊥AB 于点 E．若 PE=2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 如图，△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 边上，且 BD=BC=AD，则图中等腰三角形的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
8. 若关于 x 的一元一次不等式组 2x−m≤0,−x<4 有解，则 m 的取值范围是
A. m≥−8B. m≤−8C. m>−8D. m<−8
9. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点．
A. 三个内角平分线B. 三边垂直平分线
C. 三条中线D. 三条高
10. 若 x2−mx+4 是完全平方式，则 m 的值为
A. 2B. 4C. ±2D. ±4
11. 如图，△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD 的周长为 18 cm，则 △ABC 的周长为
A. 23 cmB. 28 cmC. 13 cmD. 18 cm
12. 如图，O 是等边 △ABC 内一点，OA=6，OB=8，OC=10，以 B 为旋转中心，将线段 BO 逆时针旋转 60∘ 得到线段 BOʹ，连接 AOʹ．则下列结论：① △BOʹA 可以由 △BOC 绕点 B 逆时针方向旋转 60∘ 得到；②连接 OOʹ，则 OOʹ=8；③ ∠AOB=150∘；④ S四边形AOBOʹ=24+123．其中正确的有
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 多项式 3a2b2−6a3b3−12a2b2c 的公因式是 ．
14. 若 m−n=3，mn=−2，则 4m2n−4mn2+1 的值为 ．
15. 已知函数 y1=k1x+b1 与函数 y2=k2x+b2 的图象如图所示，则不等式 y1
16. 如图，在平面直角坐标系中，将 △ABO 绕点 A 顺时针旋转到 △AB1C1 的位置，点 B，O 分别落在点 B1，C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将 △AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到 △A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将 △A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到 △A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去 ⋯，若点 A3,0，B0,4，则点 B80 的坐标为 ，点 B81 的坐标为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 分解因式：
（1）a3−2a2b+ab2
（2）x2m−n+y2n−m
18. 在平面直角坐标系中，直线 y=kx+3 经过 2,7，求不等式 kx−6≤0 的解集．
19. 解不等式组：3x+2>x+8,x4≥x−13.
20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点 A−2,2，B0,5，C0,2．
（1）将 △ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180∘，得到 △A1B1C，请画出 △A1B1C 的图形；
（2）平移 △ABC，使点 A 的对应点 A2 坐标为 −2,−6，请画出平移后对应的 △A2B2C2 的图形；
（3）若将 △A1B1C 绕某一点旋转可得到 △A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
21. 如图，△ABC 和 △ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，D 为 AB 边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD ；
（2）若 AD=6，BD=8，求 ED 的长．
22. 某校为开展好大课间活动，欲购买单价为 20 元的排球和单价为 80 元的篮球共 100 个．
（1）设购买排球数为 x （个），购买两种球的总费用为 y （元），请你写出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果购买两种球的总费用不超过 6620 元，并且篮球数不少于排球数的 3 倍，那么有哪几种购买方案?
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算?
23. 如图，在 △ABC 中，已知 AB=AC，∠BAC=90∘，BC=6 cm，直线 CM⊥BC，动点 D 从点 C 开始沿射线 CB 方向以每秒 2 厘米的速度运动，动点 E 也同时从点 C 开始在直线 CM 上以每秒 1 厘米的速度运动，连接 AD，AE，设运动时间为 t 秒．
（1）求 AB 的长；
（2）当 t 为多少时，△ABD 的面积为 6 cm2?
（3）当 t 为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（可在备用图中画出具体图形）
答案
第一部分
1. A
2. A
3. D
4. D
5. B
6. A【解析】
7. C
8. C
9. B
10. D
11. B
12. B【解析】由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60∘，
∴ ∠1=∠3．
又 ∵ OB=OʹB，AB=BC，
∴ △BOʹA 和 △BOC 中 OB=OʹB,∠1=∠3,AB=CB,
∴ △BOʹA≌△BOCSAS．
又 ∵ ∠OBOʹ=60∘，
∴ △BOʹA 可以由 △BOC 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到．
故结论①正确；
如图所示：连接 OOʹ．
∵ OB=OʹB，且 ∠OBOʹ=60∘，
∴ △OBOʹ 是等边三角形，
∴ OOʹ=OB=8．
故结论②正确；
∵ △BOʹA≌△BOC，
∴ OʹA=10．
在 △AOOʹ 中，三边长为 6，8，10，这是一组勾股数，
∴ △AOOʹ 是直角三角形，∠AOOʹ=90∘，
∴ ∠AOB=∠AOOʹ+∠BOOʹ=90∘+60∘=150∘，
故结论③正确；
S四边形AOBOʹ=S△AOOʹ+S△OBOʹ=12×6×8+12×8×43=24+163,
故结论④错误．
综上所述，正确的结论为：①②③．
第二部分
13. 3a2b2
14. −23
15. x<1
16. 480,4，488,0
【解析】因为 AO=3，BO=4，
所以 AB=5，
所以 OA+AB1+B1C2=3+5+4=12，
所以 B2 的横坐标为：12，且 B2C2=4，
所以 B4 的横坐标为：2×12=24，
所以点 B80 的横坐标为：40×12=480．
所以点 B80 的纵坐标为：4．
点 B81 的横坐标为：480+3+5=488，
点 B81 的纵坐标为：0，
所以点 B81 的坐标为 488,0，
故答案为：480,4；488,0．
第三部分
17. （1） a3−2a2b+ab2=aa2−2ab+b2=aa−b2;
（2） x2m−n+y2n−m=m−nx2−y2=m−nx−yx+y.
18. ∵ 直线 y=kx+3 经过 2,7，
∴ 2k+3=7，
解得：k=2，
∴ 2x−6≤0，
解得：x≤3．
19.
3x+2>x+8, ⋯⋯①x4≥x−13. ⋯⋯②
解 ① 得
x>1.
解 ② 得
x≤4.
则不等式组的解集是
1
如图所示 △A1B1C 即为所求．
（2）
如图所示 △A2B2C2 即为所求．
（3） 旋转中心坐标 0,−2．
21. （1） ∵ △ABC 和 △ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴ AC=BC，EC=DC，∠B=∠CAB=45∘，∠ACE=∠BCD=90∘−∠ACD，
在 △ACE 和 △BCD 中
AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,
∴ △ACE≌△BCDSAS；
（2） ∵ △ACE≌△BCD，
∴ ∠CAE=∠B，AE=BD=8，
∵ ∠CAB=∠B=45∘ ，
∴ ∠EAD=45∘+45∘=90∘，
在 Rt△EAD 中，由勾股定理得：ED=AE2+AD2=82+62=10．
22. （1） 设购买排球 x 个，购买篮球和排球的总费用 y 元，y=20x+80100−x=8000−60x；
（2） 设购买排球 x 个，则篮球的个数是 100−x，根据题意得：
100−x≥3x,20x+80100−x≤6620,
解得：23≤x≤25，
因为 x 是正整数，
所以 x 只能取 25，24，23，
当买排球 25 个时，篮球的个数是 75 个，
当买排球 24 个时，篮球的个数是 76 个，
当买排球 23 个时，篮球的个数是 77 个，
所以有 3 种购买方案．
（3） 根据（2）得：
当买排球 25 个，篮球的个数是 75 个，总费用是：25×20+75×80=6500 （元），
当买排球 24 个，篮球的个数是 76 个，总费用是：24×20+76×80=6560 （元），
当买排球 23 个，篮球的个数是 77 个，总费用是：23×20+77×80=6620 （元），
所以采用“买排球 25 个，篮球 75 个”这种方案更合算．
23. （1） ∵ 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，
∴ 2AB2=BC2，
∴ AB=BC2=32（cm）．
（2） 过 A 作 AF⊥BC 交 BC 于点 F，
则 AF=12BC=3 cm，
∵ S△ABD=6 cm2，
∴ AF×BD=12，
∴ BD=4 cm．
若 D 在 B 点右侧，则 CD=2 cm，t=1 s；
若 D 在 B 点左侧，则 CD=10 cm，t=5 s．
（3） 动点 E 从点 C 沿射线 CM 方向运动 2 秒或当动点 E 从点 C 沿射线 CM 的反向延长线方向运动 6 秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：（说理过程简要说明即可）
①当 E 在射线 CM 上时，D 必在 CB 上，则需 BD=CE，
∵ CE=t，BD=6−2t，
∴ t=6−2t，
∴ t=2．
证明：在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠B=∠ACE,BD=CE,
∴ △ABD≌△ACESAS．
②当 E 在 CM 的反向延长线上时，D 必在 CB 延长线上，则需 BD=CE．
∵ CE=t，BD=2t−6，
∴ t=2t−6，
∴ t=6．
证明：在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠ABD=∠ACE,BD=CE,
∴ △ABD≌△ACESAS．
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