2015-2016学年杭州市萧山区八上期中数学试卷【四校联考】

这是一份2015-2016学年杭州市萧山区八上期中数学试卷【四校联考】，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在下列长度的四根木棒中，能与 4 cm，9 cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是
A. 4 cmB. 5 cmC. 9 cmD. 13 cm

2. 若 a>b，则下列式子正确的是
A. −2015a>−2015bB. 2015a<2015b
C. 2015−a>2015−bD. a−2015>b−2015

3. 下列三条线段不能构成直角三角形的是
A. 1，3，2B. 13，14，15C. 5，12，13D. 9，40，41

4. 若 x，y 满足 ∣x−3∣+y−6=0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长为
A. 12B. 14C. 15D. 12 或 15

5. 如图，已知 AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABC≌△ADC 的是
A. CB=CDB. ∠BAC=∠DAC
C. ∠BCA=∠DCAD. ∠B=∠D=90∘

6. 下列说法正确的是
A. “邻补角相等吗?”是一个命题
B. “同位角相等”的逆命题是假命题
C. “相等的角是对顶角”是真命题
D. “如果两条直线不相交那么一定平行”是真命题

7. 已知 △ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在 AC，BC 边上，且 AD=CE，AE 与 BD 交于点 F，则 ∠AFD 的度数为
A. 60∘B. 45∘C. 75∘D. 70∘

8. 已知三角形三边长分别为 15，17，8，则此三角形的最长边上的高为
A. 17B. 12017C. 13615D. 15

9. 如图，在 Rt△ACD 和 Rt△BEC 中，若 AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是
A. Rt△ACD 和 Rt△BCE 全等B. OA=OB
C. E 是 AC 的中点D. AE=BD

10. 如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=50∘，∠BAC 的平分线与线段 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则 ∠AOF 的度数是
A. 105∘B. 110∘C. 115∘D. 120∘

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 直角三角形中，两直角边长分别为 12 和 5，则斜边中线长是 ．

12. 等腰三角形的一个外角等于 130∘，则顶角是 ．

13. 如图，△ABC 中，∠BAC=100∘，EF，MN 分别为 AB，AC 的垂直平分线，如果 BC=12 cm，那么 △FAN 的周长为 cm，∠FAN= ．

14. 如图，△ABC 的角平分线 CD，BE 相交于 F，∠A=90∘，EG∥BC，且 CG⊥EG 于 G，下列结论：① ∠CEG=2∠DCB；② CA 平分 ∠BCG；③ ∠ADC=∠GCD；④ ∠DFB=12∠CGE．其中正确的结论是 （填序号）．

15. 如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，那么每个直角三角形的周长为 ．

16. 如图，△ABC 面积为 1，第一次操作：分别延长 AB，BC，CA 至点 A1，B1，C1，使 A1B=AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接 A1，B1，C1，得到 △A1B1C1．第二次操作：分别延长 A1B1，B1C1，C1A1 至点 A2，B2，C2，使 A2B1=A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接 A2，B2，C2，得到 △A2B2C2，⋯ 按此规律，经过 2015 次操作后 △A2015B2015C2015 的面积为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 已知 △ABC，用直尺和圆规作下列图形：（保留作图痕迹并写出结论）
（1）AC 边上的中线；
（2）角平分线 AM．

18. 如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点 D 和点 E，BD 与 CE 相交于点 F，BF=CF．求证：点 F 在 ∠BAC 的平分线上．

19. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AC 是 BD 的中垂线．

20. 请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明．
（1）若 a>b，则 a2>b2；
（2）两个无理数的和仍是无理数；
（3）若三角形三边 a，b，c 满足 a−bb−cc−a=0，则三角形是等边三角形；
（4）若三条线段 a，b，c 满足 a+b>c，则这三条线段 a，b，c 能够组成三角形．

21. 已知一个等腰三角形的三边长分别为 x，2x，5x−3，求这个三角形的周长．

22. 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC．
（1）若 AC=BC，∠B:∠C=2:1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．
（2）若 AB+BD=AC，求 ∠B:∠C 的比值．

23. （1）如图 1，已知 △ABC，以 AB，AC 为边向 △ABC 外作等边 △ABD 和等边 △ACE，连接 BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图 2，已知 △ABC，以 AB，AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE，连接 BE，CD，BE 与 CD 有什么数量关系?简单说明理由；
（3）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B，E 的距离，已经测得 ∠ABC=45∘，∠CAE=90∘，AB=BC=100 米，AC=AE，求 BE 的长．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. C
5. C
6. B
7. A
8. B
9. C
10. A
第二部分
11. 132
12. 80∘ 或 50∘
13. 12，20
14. ①③④
15. 5+13
16. 142015
第三部分
17. （1） 如下图，
BD 为所作；
（2） 如下图，
AM 为所作．
18. ∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDF=∠BEF=90∘，
在 △CDF 和 △BEF 中，
∠DFC=∠EFB,∠CDF=∠BEF,CF=BF,
∴△CDF≌△BEF，
∴DF=EF，
又 ∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴ 点 F 在 ∠BAC 的平分线上．
19. 在 △ABC 和 △ADC 中，
∠1=∠2,AC=AC,∠3=∠4,
∴△ABC≌△ADC，
∴CB=CD，AB=AC，
∴ 点 C，A 在线段 BD 的垂直平分线上，
∴AC 垂直平分 BD．
20. （1） 若 a>b，则 a2>b2，是假命题，例如：0>−1，但 02<−12；
（2） 两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如：−2+2=0，和是有理数；
（3） 若三角形三边 a，b，c 满足 a−bb−cc−a=0，则三角形是等边三角形，是假命题，例如：a=b，b≠c 时，a−bb−cc−a=0，三角形是等腰三角形；
（4） 若三条线段 a，b，c 满足 a+b>c，则这三条线段 a，b，c 能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段 a=3，b=2，c=1 满足 a+b>c，但这三条线段不能够组成三角形．
21. 显然 x≠2x，又若 x=5x−3，则 x+5x−3=2x，不合题意．
∴2x=5x−3，解得 x=1，
∴ 三角形周长为 1+2+2=5．
22. （1） 等腰三角形有 3 个：△ABC，△ABD，△ADC．
证明：∵AC=BC，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠B=∠BAC，
设 ∠C=x，则 ∠B=∠BAC=2x，
∵∠B+∠BAC+∠C=180∘，
∴5x=180∘，
∴x=36∘，
∴∠C=36∘，∠B=∠BAC=72∘，
∵∠BAD=∠DAC=12∠BAC=36∘，
∴∠DAC=∠C，∠ADB=∠C+∠DAC=72∘，
∴∠B=∠ADB=72∘，
∴△ABD 和 △ADC 是等腰三角形．
（2） 在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，
在 △ABD 和 △AED 中，
AB=AE,∠BAD=∠DAE,AD=AD,
∴△ABD≌△AED，
∴∠AED=∠B，BD=DE，
∵AB+BD=AC，
∴BD=EC，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠C，
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C，
即 ∠B:∠C=2:1．
23. （1） 完成图形，如图 1 所示：
证明：∵△ABD 和 △ACE 都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60∘，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即 ∠CAD=∠EAB，
在 △CAD 和 △EAB 中，
AD=AB,∠CAD=∠EAB,AC=AE,
∴△CAD≌△EAB，
∴BE=CD；
（2） BE=CD，理由同（1），
∵ 四边形 ABFD 和 ACGE 均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90∘，
∴∠CAD=∠EAB，
在 △CAD 和 △EAB 中，
AD=AB,∠CAD=∠EAB,AC=AE,
∴△CAD≌△EAB，
∴BE=CD；
（3） 如图 3，
由（1），（2）的解题经验可知，过 A 作等腰直角 △ABD，∠BAD=90∘，
则 AD=AB=100，∠ABD=45∘，
∴BD=1002，
连接 CD，BD，则由（2）可得 BE=CD，
∵∠ABC=45∘，
∴∠DBC=90∘，
在 Rt△DBC 中，BC=100，BD=1002，
根据勾股定理得：CD=1002+10022=1003，
则 BE=CD=1003 米．