2015-2016学年武汉市武昌区九上期中数学试卷【七校联考】
展开一、选择题(共10小题;共50分)
1. 方程 3x2−4x−1=0 的二次项系数和一次项系数分别为
A. 3 和 4B. 3 和 −4C. 3 和 −1D. 3 和 1
2. 抛物线 y=−x+22−3 向右平移了 3 个单位,那么平移后抛物线的顶点坐标是
A. −5,−3B. 1,−3C. −1,−3D. −2,0
3. 将 △ABC 绕 O 点顺时针旋转 50∘ 得 △A1B1C1(A,B,C 分别对应 A1,B1,C1),则直线 AB 与直线 A1B1 的夹角(锐角)为
A. 130∘B. 50∘C. 40∘D. 60∘
4. 用配方法解方程 x2+6x+4=0,下列变形正确的是
A. x+32=−4B. x−32=4
C. x+32=5D. x+32=±5
5. 下列方程中没有实数根的是
A. x2−x−1=0B. x2+3x+2=0
C. 2015x2+11x−20=0D. x2+x+2=0
6. 在平面直角坐标系中,点 P−2,3 关于原点对称的点 Q 的坐标为 .
A. 2,−3B. 2,3C. 3,−2D. −2,−3
7. 如图,⊙O 的直径 CD=10 cm,AB 是 ⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为 M,OM:OC=3:5,则 AB 的长为
A. 91 cmB. 8 cmC. 6 cmD. 4 cm
8. 已知抛物线 C 的解析式为 y=ax2+bx+c,则下列说法中错误的是
A. a 确定抛物线的形状与开口方向
B. 若将抛物线 C 沿 y 轴平移,则 a,b 的值不变
C. 若将抛物线 C 沿 x 轴平移,则 a 的值不变
D. 若将抛物线 C 沿直线 l:y=x+2 平移,则 a,b,c 的值全变
9. 如图,四边形 ABCD 的两条对角线互相垂直,AC+BD=16,则四边形 ABCD 的面积最大值是
A. 64B. 16C. 24D. 32
10. 已知二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0),且 a2+ab+ac<0,下列说法:
① b2−4ac<0;
② ab+ac<0;
③方程 ax2+bx+c=0 有两个不同根 x1,x2,且 x1−11−x2>0;
④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点,
其中正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题(共6小题;共30分)
11. 抛物线 y=−x2−x−1 的对称轴是 .
12. 已知 x=−b+b2−4c2b2−4c>0,则 x2+bx+c 的值为 .
13. ⊙O 的半径为 13 cm,AB,CD 是 ⊙O 的两条弦,AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm.则 AB 和 CD 之间的距离为 .
14. 如图,线段 AB 的长为 1,C 在 AB 上,D 在线段 AC 上,E 在线段 AD 上,且 AC2=BC⋅AB,AD2=CD⋅AC,AE2=DE⋅AD,则 AE 的长为 .
15. 抛物线的部分图象如图所示,则当 y<0 时,x 的取值范围是 .
16. 如图,△ABC 是边长为 a 的等边三角形,将三角板的 30∘ 角的顶点与 A 重合,三角板 30∘ 角的两边与 BC 交于 D,E 两点,则 DE 长度的取值范围是 .
三、解答题(共8小题;共104分)
17. 解方程:x2+x−2=0.
18. 已知抛物线的顶点坐标是 3,−1,与 y 轴的交点是 0,−4,求这个二次函数的解析式.
19. 已知 x1,x2 是方程 x2−3x−5=0 的两实数根.
(1)求 x1+x2,x1x2 的值;
(2)求 2x12+6x2−2015 的值.
20. 如图所示,△ABC 与点 O 在 10×10 的网格中的位置如图所示.
(1)画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 后的图形;
(2)画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 180∘ 后的图形;
(3)若 ⊙M 能盖住 △ABC,则 ⊙M 的半径最小值为 .
21. 如图,在 ⊙O 中,半径 OA 垂直于弦 BC,垂足为 E,点 D 在 CA 的延长线上,若 ∠DAB+∠AOB=60∘.
(1)求 ∠AOB 的度数;
(2)若 AE=1,求 BC 的长.
22. 飞机着陆后滑行的距离 S(单位:m)关于滑行时间 t(单位:s)的函数解析式是:S=60t−1.5t2.
(1)直接指出飞机着陆时的速度;
(2)直接指出 t 的取值范围;
(3)画出函数 S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停下来?
23. 如图,△ABC 是边长为 6 cm 的等边三角形,点 D 从 B 点出发沿 B→A 方向在线段 BA 上以 a cm/s 速度运动,与此同时,点 E 从线段 BC 的某个端点出发,以 b cm/s 速度在线段 BC 上运动,当 D 到达 A 点后,D,E 运动停止,运动时间为 ts.
(1)如图 2,若 a=b=1,点 E 从 C 出发沿 C→B 方向运动,连接 AE,CD,AE,CD 交于 F,连接 BF,当 0
②求 AF2+FC2−BF2AF⋅FC 的值;
(2)如图 3,若 a=1,b=2,点 E 从 B 点出发沿 B→C 方向运动,E 点到达 C 点后再沿 C→B 方向运动.当 t≥3 时,连接 DE,以 DE 为边作等边 △DEM,使 M,B 在 DE 两侧,求 M 点所经历的路径长.
24. 定义:我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹(满足条件的所有点所组成的图形)叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.
(1)已知抛物线的焦点 F0,14a,准线 l:y=−14a,求抛物线的解析式;
(2)已知抛物线的解析式为:y=x2−n2,点 A0,14−n2n≠0,B1,2−n2,P 为抛物线上一点,求 PA+PB 的最小值及此时 P 点坐标;
(3)若(2)中抛物线的顶点为 C,抛物线与 x 轴的两个交点分别是 D,E,过 C,D,E 三点作 ⊙M,⊙M 上是否存在定点 N?若存在,求出 N 点坐标并指出这样的定点 N 有几个;若不存在,请说明理由.
答案
第一部分
1. B
2. B
3. B
4. C
5. D
6. A
7. B【解析】如图所示,连接 OA.
⊙O 的直径 CD=10 cm,则 ⊙O 的半径为 5 cm,即 OA=OC=5 cm,
又 ∵ OM:OC=3:5,
∴ OM=3 cm,
∵ AB⊥CD,垂足为 M,
∴ AM=BM,
在 Rt△AOM 中,AM=52−32=4 cm,
∴ AB=2AM=2×4=8 cm.
8. D
9. D
10. B
第二部分
11. 直线 x=−12
12. 0
【解析】∵ x=−b+b2−4c2b2−4c>0 是一元二次方程 x2+bx+c=0 的一个根,
∴ x2+bx+c 的值为 0.
13. 7 cm 或 17 cm
14. 5−2
15. x<−1 或 x>3
16. 23−3a≤DE≤12a
第三部分
17. 分解因式得:
x−1x+2=0.
可得
x−1=0 或 x+2=0.
解得:
x1=1,x2=−2.
18. 设抛物线解析式为 y=ax−32−1,
把 0,−4 代入得:−4=9a−1,即 a=−13,
则抛物线解析式为 y=−13x−32−1.
19. (1) ∵x1,x2 是方程 x2−3x−5=0 的两实数根,
∴x1+x2=3,x1x2=−5.
(2) ∵x1,x2 是方程 x2−3x−5=0 的两实数根,
∴x12−3x1−5=0,
∴x12=3x1+5,
∴2x12+6x2−2015=23x1+5+6x2−2015=6x1+x2−2005=−1987.
20. (1) 如图 1,△AʹBʹCʹ 为所求:
(2) 如图 2,△AʺBʺCʺ 为所求;
(3) 322
【解析】如图 3,
当点 M 为 AC 的中点时,此时 ⊙M 是能盖住 △ABC 的最小的圆,⊙M 的半径为 322.
21. (1) 连接 OC,
∵ OA⊥BC,OC=OB,
∴ ∠AOC=∠AOB,∠ACO=∠ABO,
又 ∵ ∠ABO=∠OAB,
∴ ∠ACO=∠OAB,
∵ ∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB,∠ACO=∠OAB,
∴ ∠DAB=∠AOC,
∴ ∠DAB=∠AOB,
又 ∠DAB+∠AOB=60∘,
∴ ∠AOB=30∘;
(2) ∵ ∠AOB=30∘,
∴ BE=12OB,
设 ⊙O 的半径为 r,则 BE=12r,OE=r−1,
由勾股定理得,r2=12r2+r−12,
解得 r1=4+23,r2=4−23(舍去),
∵ OB=OC,∠BOC=2∠AOB=60∘,
∴ BC=r=4+23.
22. (1) 60 m/s;
(2) 0≤t≤20;
【解析】当 S 取得最大值时,飞机停下来,则
S=60t−1.5t2=−1.5x−202+600,
此时 t=20,
因此 t 的取值范围是 0≤t≤20;
(3) 如图,
S=60t−1.5t2=−1.5x−202+600.
飞机着陆后滑行 600 米才能停下来.
23. (1) ①如图 1,
由题可得 BD=CE=t.
∵△ABC 是等边三角形,
∴BC=AC,∠B=∠ECA=60∘.
在 △BDC 和 △CEA 中,
BD=CE,∠B=∠ECA,BC=AC,
∴ △BDC≌△CEA,
∴ ∠BCD=∠CAE,
∴ ∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60∘,
∴ ∠AFC=120∘.
②延长 FD 到 G,使得 FG=FA,连接 GA,GB,过点 B 作 BH⊥FG 于 H,如图 2,
∵ ∠AFG=180∘−120∘=60∘,FG=FA,
∴ △FAG 是等边三角形,
∴ AG=AF=FG,∠AGF=∠GAF=60∘.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AB=AC,∠BAC=60∘,
∴ ∠GAF=∠BAC,
∴ ∠GAB=∠FAC.
在 △AGB 和 △AFC 中,
AG=AF,∠GAB=∠FAC,AB=AC,
∴ △AGB≌△AFC,
∴ GB=FC,∠AGB=∠AFC=120∘,
∴ ∠BGF=60∘.
设 AF=x,FC=y,
则有 FG=AF=x,BG=CF=y.
在 Rt△BHG 中,BH=BG⋅sin∠BGH=BG⋅sin60∘=32y,GH=BG⋅cs∠BGH=BG⋅cs60∘=12y,
∴ FH=FG−GH=x−12y.
在 Rt△BHF 中,BF2=BH2+FH2=32y2+x−12y2=x2−xy+y2,
∴ AF2+FC2−BF2AF⋅FC=x2+y2−x2−xy+y2xy=1.
(2) 过点 E 作 EN⊥AB 于 N,连接 MC,如图 3,
由题可得:∠BEN=30∘,BD=1×t=t,CE=2t−3=2t−6.
∴ BE=6−2t−6=12−2t,BN=BE⋅csB=12BE=6−t,
∴ DN=t−6−t=2t−6,
∴ DN=EC.
∵ △DEM 是等边三角形,
∴ DE=EM,∠DEM=60∘.
∵ ∠NDE+∠NED=90∘,∠NED+∠MEC=180∘−30∘−60∘=90∘,
∴ ∠NDE=∠MEC.
在 △DNE 和 △ECM 中,
DN=EC,∠NDE=∠CEM,DE=EM,
∴ △DNE≌△ECM,
∴ ∠DNE=∠ECM=90∘,
∴ M 点运动的路径为过点 C 垂直于 BC 的一条线段.
当 t=3 时,点 E 与点 C 重合,D 在 AB 的中点,此时 CM=EN=CD=BC⋅sinB=6×32=33;
当 t=6 时,E 在点 B,D 在点 A,此时点 M 在点 C.
∴ 当 3≤t≤6 时,M 点所经历的路径长为 33 cm.
24. (1) 设抛物线上有一点 x,y,
由定义知:x2+y−14a2=y+14a2,
解得 y=ax2;
(2) 如图 1,由(1)得抛物线 y=x2 的焦点为 0,14,准线为 y=−14,
所以 y=x2−n2 由 y=x2 向下平移 n2 个单位所得,
所以其焦点为 A0,14−n2,准线为 y=−14−n2,
因为 P 为抛物线上的点,则 PA=PH,
所以 PA+PH 最短为 P,B,H 共线,此时 P 在 Pʹ 处,
因为 xP=1,
所以 yP=1−n2<2−n2,
所以点 B 在抛物线内,
所以 BI=yB−yI=2−n2−−14−n2=94,
所以 PA+PB 的最小值为 94,此时 P 点坐标为 1,1−n2;
(3) ⊙M 上存在 1 个定点 N,理由如下,如图 2,
由(2)知 E∣n∣,0,C0,−n2,
设 OM=mm>0,则 CM=ME=n2−m,
在 Rt△OME 中,由勾股定理得 ∣n∣2+m2=n2−m2,
解得 m=n22−12,
则 MC=n22+12=MN,
所以 ON=MN−OM=n22+12−n22−12=1,
即点 N 坐标为 0,1,
故 ⊙M 过定点 N0,1.
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