第三章 函数的概念与性质_________概念及表示方法学案

第三章 函数的概念与性质

考点1 函数的概念

【知识要点】

1. 函数的概念

设A，B是         ，如果对于集合A中的         ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有       和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作          .

注意：判断对应关系是否为函数的2个条件

①A、B必须是非空数集．

②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

2.函数的三要素

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：       、       和       。

3．相同函数

值域是由       和      决定的，如果两个函数的定义域和      相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们     相同的函数．

【例题精讲】

题型1 函数概念的判断

1．下列各图中，一定不是函数图象的是　　

A． B． 

C． D．

2．下列各图中，可表示函数图象的是　　

A． B． 

C． D．

3．函数，的图象与直线的交点个数是　　

A．至多有一个 B．至少有一个 C．有且仅有一个 D．有无数个

4．下列各组函数中，表示同一个函数的是　　

A．与 B．与 

C．与 D．与且

17．下列对应关系，能构成从集合到集合的函数的是　　

A．，1，，，，，， （1）， 

B．， 

C．，2，， 

D．，，，

题型2 相同函数的判断

5．下列各组中的两个函数是同一个函数的为　　

A．， B．， 

C．， D．，

6．下列四组函数中，表示相等函数的是　　

A．与 

B．与 

C．与 

D．与

7．给出下列四组函数：①与；②与；③与；④与，表示同一函数的有　　

A．0组 B．1组 C．2组 D．3组

题型3 函数定义域

8．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　

A．， B．， C．， D．

9．函数的定义域是　　

A．， B．，， 

C． D．，，

10．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　

A．， B．， C．，， D．，，

11．函数的定义域为　　

A．， B． 

C．，， D．，，

题型4 函数值域

12．函数的值域是　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

13．函数的值域为　　

A．， B．， C．， D．，

14．函数的值域是　　

A．， B．， C．， D．

15．函数值域为　　

A． B．， C． D．，

16．函数的值域为　　

A．， B． C． D．，

考点2 函数的表示方法

【知识要点】

4.函数的三种表示方法

注意：同一个函数可以用不同的方法表示．

5.分段函数

（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的        的函数．

（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的     ；各段函数的定义域的交集是      ．

注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．

(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．

【例题精讲】

题型1 函数的表示方法

1．下列图象可以表示以为定义域，以为值域的函数的是　　

A． B． 

C． D．

2．给出函数，如表，则的值域为　　

A．， B．， 

C．，2，3， D．以上情况都有可能

12．已知函数，分别由如表给出：

则当时，　　．

题型2 函数解析式的求法

3．已知，则等于　　

A． B． C． D．

4．已知函数，则　　

A． B． C． D．

5．已知函数满足，则　　

A． B． 

C． D．

6．设函数，则的表达式为　　

A． B． C． D．

7．已知二次函数，，且（3）（2），那么这个函数的解析式是　　

A． B． C． D．

8．已知函数的定义域为，且对任意均满足：，则函数的解析式为　　

A． B． C． D．

9．函数满足，则函数等于　　

A． B． C． D．

题型3 分段函数的解法

10．已知函数，若（1），则实数的值等于　　

A．1 B．2 C．3 D．4

11．设，则（5）的值为　　

A．10 B．11 C．12 D．13

13．若，则（3）　　．

14．函数，满足的的取值范围是　　．

15．已知函数．

（1）去掉绝对值，写出的分段解析式；

（2）画出的图象，并写出值域．

参考答案

考点1

1．【解答】解：由函数的定义可知，一个的值只能对应一个的值，而选项中一个的值可能对应两个的值，故不是函数图象，

故选：．

2．【解答】解：由函数是特殊的映射可得错误，正确，

故选：．

3．【解答】解：根据函数的定义域和性质可得当，，此时函数与没有交点，

当，，此时函数与只有一个交点，

综上函数，的图象与直线的交点个数是至多有一个，

故选：．

4．【解答】解：对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数；

对于，的定义域为，的定义域为，两函数的对应关系不同，不是同一函数；

对于，的定义域为，的定义域为，两函数的对应关系不同，不是同一函数；

对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．

故选：．

5．【解答】解：对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于，的定义域为，，的定义域为或，两函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；

对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一个函数．

故选：．

6．【解答】解：对于，，解析式不同，不是同一函数；

对于：函数的定义域和解析式相同，是同一函数；

对于：函数的解析式不同，不是同一函数；

对于：函数的定义域不同，不是同一函数；

故选：．

7．【解答】解：①与的对应关系不同，不是同一函数；

②与的对应关系不同，不是同一函数；

③的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

④的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．

表示同一函数的有0组．

故选：．

8．【解答】解：由函数的定义域为，，

令，

解得，

所以函数的定义域为，．

故选：．

9．【解答】解：由题意得：

，解得：且，

故函数的定义域是，，，

故选：．

10．【解答】解：由题意得：

，解得：，

故函数的定义域为，，

故选：．

11．【解答】解：要使有意义，则，解得，

的定义域为：，．

故选：．

12．【解答】解：因为，

故选：．

13．【解答】解：设，

即，，

函数转化为，

根据反比例函数的性质，可得．

故选：．

14．【解答】解：由，解得：，

由，

，，故，，

故，，

故选：．

15．【解答】解：设，，则，

，

原函数的值域为：．

故选：．

16．【解答】解：当时，单调递减，，；

当时，，其对称轴方程为，图象是开口向下的抛物线，

函数在，上单调递增，在，上单调递减，又，（1），（3）．

，．

综上所述，函数的值域为，，．

故选：．

二．多选题（共1小题）

17．【解答】解：，1，，，，，

， （1），，

由定义知中的任一个元素，中都有唯一的元素和它相对应，

能构成从集合到集合的函数，故正确；

对于，，，能构成从集合到集合的函数，故正确；

对于，，2，，，

（2），（3），，2，，，2，，

不能构成从集合到集合的函数，故错误；

对于，，，，，

能构成从集合到集合的函数，故正确．

故选：．

考点2

一．选择题（共11小题）

1．【解答】解：选项中的值域不满足条件；选项中的定义域不满足条件；选项不是函数图象．

故选：．

2．【解答】解：当或时，（1）（2），

（1）（2）（1）；

当或时，（3）（4），

（3）（4）（3）．

故的值域为，．

故选：．

3．【解答】解：因为，

所以，

故选：．

4．【解答】解：设，则，

，

．

故选：．

5．【解答】解：令，则，

故；

．

故选：．

6．【解答】解：设，则，

，

．

故选：．

7．【解答】解：二次函数，（3）（2），

设解析式，

，

，

解得，

，

故选：．

8．【解答】解：函数对任意的都满足，①，

则，②，

①②可得：，

可得．

的解析式为．

故选：．

9．【解答】解：因为，

所以，

联立可得，．

故选：．

10．【解答】解：函数，

，（1），

若（1），

，

故选：．

11．【解答】解析：，

（5）

（9）

．

故选：．

二．填空题（共3小题）

12．【解答】解：由表格可知：（1），，，而（3），．

故答案为3．

13．【解答】解：（3）

（3）

故答案为．

14．【解答】解：①时，，得；

②时，，即，得，

综上的取值范围是或．

故答案为：或

三．解答题（共1小题）

15．【解答】解：（1）当时，，

当时，，

所以；

（2）当时，为以为对称轴，开口向上的抛物线，

当时，为以为对称轴的抛物线，

所以的图象如图所示：

所以函数的值域为，．

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