第四章 指数函数与对数函数_______指数运算与指数函数学案

第四章 指数函数与对数函数

考点1 指数运算

【知识要点】

1. n次方根与n次根式

(1)a的n次方根的定义

一般地，如果     ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(2)a的n次方根的表示

(3)根式：式子叫做根式，这里n叫做      ，a叫做被开方数．

2. 根式的性质

(1)＝   (n∈N*，且n>1)；

(2)＝    (n∈N*，且n>1)；

(3)＝a(n为大于1的奇数)；

(4)＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0，)(n为大于1的偶数)．

3. 分数指数幂

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(3)0的正分数指数幂等于  ,0的负分数指数幂     ．

4.实数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

(1)aras＝    (a>0，r，s∈Q)；     (2)(ar)s＝    (a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝    (a>0，b>0，r∈Q)．

【例题精讲】

1．已知，则　　

A． B． C． D．

2．下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

3．已知，则的值是　　

A．15 B．12 C．16 D．25

4．已知，则　　

A． B． C． D．

5．化简，得　　

A． B． C． D．

6．计算　　．

考点2 指数函数

【知识要点】

1.指数函数的定义

一般地，函数       (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

2.指数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

【例题精讲】

1．若函数是自变量）是指数函数，则的取值范围是　　

A．且 B．且 C．且 D．

2．已知，，，则，，的大小关系正确的是　　

A． B． C． D．

3．设，，，则　　

A． B． C． D．

4．已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

5．函数的值域是　　

A． B． C．， D．，

6．若函数，满足（1），则的单调递减区间是　　

A．， B．， C．， D．，

7．函数的图象是　　

A． B． 

C． D．

8．已知函数且的图象恒过定点，则　　．

9．已知函数的图象经过点，则的最小值为　 　．

10．方程：的解为　　．

11．函数的单调递增区间是　　．

12．已知，，．

（1）设，，，求的最大值与最小值；

（2）求的最大值与最小值．

13．已知函数，若，求的定义域、单调区间，以及函数的值域．

归纳总结：

1.图象位置关系

一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，

图象的相对位置与底数大小有如下关系：

(1)“底大幂大”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数      ；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数       .即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.

(2)指数函数y＝ax与y＝\a\vs4\al\co1(\f(1a))x(a＞0且a≠1)的图象关于    对称.

2.比较大小

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的         来判断；

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的       的变化规律来判断；

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过       来判断.

3.解指数方程、不等式

(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的     求解；

(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的     求解；

(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.

4.指数型函数的单调性

一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有       的定义域.

(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有      的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性      .

(3)复合函数的单调性：同增异减

5.指数型函数的值域

①换元，t＝f(x). 

②求t＝f(x)的定义域为x∈D.

③求t＝f(x)的值域为t∈M.  ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.

参考答案

考点1

1．【解答】解：因为，所以，

所以，

故选：．

2．【解答】解：对于，故错误；

对于，故错误；

对于，故错误；

对于，故正确．

故选：．

3．【解答】解：，

，

．

故选：．

4．【解答】解：，

故选：．

5．【解答】解：．

故选：．

6．【解答】解：原式，

故答案为：．

考点2

1．【解答】解：函数是自变量）是指数函数，

则，

解得且；

所以的取值范围是且．

故选：．

2．【解答】解：因为，而，

即，，

所以．

故选：．

3．【解答】解：指数函数在上单调递增，且，

，即，

幂函数在上单调递增，且，

，即，

，

故选：．

4．【解答】解：幂函数在上单调递增，且，

，即，

指数函数在上单调递减，且，

，即，

，

故选：．

5．【解答】解：由题意令

故选：．

6．【解答】解：由（1），得，于是，因此．

因为在，上单调递增，

所以的单调递减区间是，．

故选：．

7．【解答】解：，

当时，函数为单调递增函数，当时，函数为单调递减函数，

故选：．

8．【解答】解：令解得，，代入得，，

函数图象过定点，

又函数且的图象恒过定点，

，，，

则

故答案为：3．

9．【解答】解：函数的图象经过点，

，，．

．

，

当且仅当时取等号．

故答案为：．

10．【解答】解：令，则方程即，解得或（舍去），

即，解得．

故方程的解集为，

故答案为：．

11．【解答】解：设，对称轴为，

则在单调递减，在单调递增，

而，底，

所以，的单调性与的单调性相反，

即在单调递增，在单调递减，

故填：（区间右端点可闭）．

12．【解答】解：（1）设，，，函数在，上是增函数，故有，故的最大值为9，的最小值为．

（2）由，可得此二次函数的对称轴为，且，

故当时，函数有最小值为3，

当时，函数有最大值为 67．

13．【解答】解：当时，，

设，

则，则函数，转化为，

则函数的定义域为，

，在定义域上为增函数，当时，函数，单调递增，

此时函数，为增函数，

当时，函数，单调递减，此时函数为减函数，

故函数的增区间为，减区间为，

，

，

即函数的值域为，

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日期：2020/12/13 8:42:20；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.com；学号：26222372