广东省珠海市2021届高三上学期第一次摸底数学试卷及答案解析

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广东省珠海市2021届高三上学期第一次摸底数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、选择题1.设集合，，则（    ）A. B.C. D.2.（    ）A.1 B.2 C.−i D.−2i3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有（    ）A.280种 B.350种 C.70种 D.80种4.一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与平面所成的角为（    ）A.30° B.45° C.15° D.60°5.现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是（    ）A. B. C. D.6.若定义在上的奇函数在单调递增，且，则满足的解集是（    ）A. B.C. D.7.已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是（    ）A. B.2 C. D.8.直线是曲线和曲线的公切线，则（    ）A. B. C. D.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  二、填空题9.椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线与交于A，B两点，、都与轴垂直，则=________．10.将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为________（用数字作答）．11.已知、为锐角三角形的两个内角，，，则____．12.一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为_____．评卷人得分  三、解答题13.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角△，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14.已知数列是正项等比数列，满足，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．15.如图，三棱锥中，，，平面底面，、分别是、的中点． （1）证明：平面；（2）求二面角的正切值．16.某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在和内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表质量指标值频数  （1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值．（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列．17.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）讨论的零点的个数．18.已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为．（1）求抛物线的方程；（2）若，求直线的方程;（3）若为直线上的动点，求的最小值．评卷人得分  四、新添加的题型19.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）A. B. C. D.20.如图是函数的部分图象，则（    ）A. B.C. D.21.已知，则（    ）A. B.C. D.22.已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为…… 其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则（    ）A. B.C. D.
参考答案1.A 【解析】1.本题首先可以通过对不等式、进行计算得出集合和集合中所包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果.，即或，则集合，，即，解得，则集合，故，故选：A.2.B 【解析】2.利用复数的四则运算，计算结果即可.化简得.故选：B.3.B 【解析】3.对医生a去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果.若医生a去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得；若医生a去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得；所以不同的选派方式共有种.故选：B.4.D 【解析】4.分析得平面与圆锥底面平行，求直线与圆锥底面所成的角，即得结果.如图所示截面为正三角形的三棱锥中，在球上，过作与球相切的平面必然与圆锥底面平行，则直线与平面所成的角，即直线与圆锥底面所成的角，即，故选：D.5.A 【解析】5.根据题意：8位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛即可知有2位同学两种乐器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可；由题意知，8位同学中有2位同学两种乐器都会演奏∴从8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为：两种乐器都会演奏的同学故选：A6.D 【解析】6.分析出函数在单调递增，可得出，然后分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.由于定义在上的奇函数在单调递增，则该函数在单调递增，且，.显然当时，；当时，由可得，解得；当时，由可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.7.C 【解析】7.构建A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设则可用坐标表示，由于是两个相互独立的变量，即可将代数式中含和的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为的最大值构建以A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系，如下图示：由正方形ABCD边长为1，知：，若令，即，；∴，而，，则在上或有最大值为0，在上有最大值为1；∴的最大值为1故选：C8.C 【解析】8.由可求得直线与曲线的切点的坐标，由可求得直线与曲线的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线的方程，可得出关于、的方程组，进而可求得实数的值.设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，，则，由，可得，则，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①，则，由，可得，，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，，②联立①②可得，.故选：C.9. 【解析】9.根据题中所给的椭圆方程，以及椭圆中三者之间的关系，可以求得，设出，由两点间距离公式可以求得，根据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，求得，之后代入求得，得到结果.在已知椭圆中，，因为直线过原点，交椭圆于两点，则与关于原点对称，又、都与轴垂直，设，则，又在椭圆上，则，得，则，故答案为：.10. 【解析】10.本题首先可以根据题意确定数列的前项，然后通过等比数列求和公式即可得出结果.因为数列是由数列与的公共项从小到大排列得到，所以数列的前项为、、、、、，则的前项和为，故答案为：.11. 【解析】11.由条件利用同角三角函数的基本关系式得到、，再用凑角得到，最后利用二倍角公式得到答案.因为、为锐角三角形的两个内角，所以，，因为，，所以，，所以，则，故答案为：.12. 【解析】12.由球体的表面积公式求出半径，根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形，设内接长方体的长、宽、高分别为即有、，最后利用长方体的体积公式有，利用基本不等式即可求其最大值由半径为的球的表面积为，知：，有；由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为，则，；∴，而长方体体积∴当且仅当时等号成立故答案为：13.答案见解析. 【解析】13.利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到，结合题设可知且、，进而利用①或②或③求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求的值；△中，由，得∴；∵△不是直角三角形；∴，则有，即，而，即有；选①：由，及 得；由 得不合理，故△不存在.选②：由得：，故有；∴为直角，不合题设，故△不存在．选③：由 得：．14.（1）；（2）. 【解析】14.（1）本题首先可设数列的公比为，然后根据题意得出，通过计算求出和的值，最后根据等比数列通项公式即可得出结果；（2）本题首先可根据得出，然后根据得出，最后通过裂项相消法求和即可得出结果.（1）设正项等比数列的公比为，因为，，所以，解得，故的通项公式. （2）因为，所以，则，故数列的前项和为：．15.（1）证明见解析；（2）. 【解析】15.（1）利用等腰三角形三线合一可得，由面面垂直的性质定理可得出平面；（2）取中点，连接、，证明出平面，可得出二面角的平面角为，通过解可求得，进而得解.（1）证明：，是中点，，平面底面，平面底面， 平面，平面；（2）如图，取的中点，连接、，则， ，是的中点，，则，，，，，，平面，平面，，，平面，平面，，为二面角的平面角.在中，，因此，二面角的正切值为.16.（1）118元；（2）答案见解析. 【解析】16.（1）根据产品等级得取值，利用频数分布表计算频率，得到分布列并计算期望即可；（2）先列出患者购买一件合格品费用的分布列，再写患者随机购买两件时的分布列即可.解：(1)由题设知，产品等级分为不合格、品二等品，一等品，优等品，则，根据频数分布表得到的分布列为:设备升级前利润的期望值为:∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元． (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元)则，患者购买一件合格品的费用的分布列为故患者随机购买两件时则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为 17.（1）减区间是，增区间是；（2）时，有两个零点；时， 只有一个零点． 【解析】17.（1）利用函数求导，判断导数符号确定的单调性即可；（2）对进行分类讨论，利用零点存在定理确定零点即可.解：（1）∵∴时，故时，时.∴时，的减区间是，增区间是；（2）①时，∵且的减区间是，增区间是∴是的极小值，也是最小值，，取且则∴在和上各一个零点；②时，，只一个零点，综上，时，有两个零点；时，一个零点．18.（1）；（2）；（3）． 【解析】18.（1）利用点到直线的距离公式直接求解的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最小值.(1)由到直线的距离为得得或∵∴∴抛物线(2) 由知∴设切点， 则 即∵，∴即∴．(3)若为直线上的动点，设，则由(2)知∵，∴∴与联立消得…………“＊”      则，是“＊”的二根∴当时，得到最小值为．19.AB 【解析】19.对双曲线的焦点位置进行讨论，得关系，再计算离心率即可.若双曲线焦点在轴上，因为渐近线方程为，故，；若双曲线焦点在轴上，由渐近线方程为，得，.故选：AB.20.BCD 【解析】20.由图象可求得函数的振幅以及最小正周期，可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式可求得的值，结合诱导公式可得出合适的选项.由图象可得，该函数的最小正周期满足，可得，，所以，，又，可得，，，B、D选项合乎要求；对于A选项，，不合乎要求；对于C选项，，C选项合乎要求.故选：BCD.21.ACD 【解析】21.由异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误；即异号；∴成立，故A正确，而B错误；又，故C正确；当且仅当时等号成立，故D正确故选：ACD22.CD 【解析】22.先求出和，并判断，则排除选项A，判断选项C正确；再求出的分布列和的解析式，最后求出，则排除选项B；判断选项D正确.解：因为，则，，令时，，故选项A错误，选项C正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为，则的分布列为：故选项B错误；选项D正确.故选：CD.