2020-2021学年吉林省长春市高一（上）期末考试数学（文）试卷人教A版（2019）（Word含解析）

这是一份2020-2021学年吉林省长春市高一（上）期末考试数学（文）试卷人教A版（2019）（Word含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合M=x|x≥3,N=x|18−3x≥0，则M∪N=( )
A.x|3≤x≤6B.x|x≥3C.x|x≥6D.R

2. 命题p:∀x∈R,x2−sinx<0的否定是（ ）
A.∀x∈R,x2−sinx≥0B.∃x∈R,x2−sinx≥0
C.∀x∈R,x2−sinx>0D.∃x∈R,x2−sinx>0

3. 已知幂函数y=fx的图象经过点3,33，则（ ）
A.y=x2B.y=x23C.y=x32D.y=x52

4. 若tanθ=3，则tan2θ−π=( )
A.34B.−34C.83D.−38

5. 设a=50.99，b=lg23，c=lg0.94，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a
6. 已知a是函数ℎx=2x−8 的零点，则函数fx=ax+lnx−5的零点所在的区间为（ ）
A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4

7. 已知扇形的圆心角为θ0<θ<2π，其周长是其半径的3倍，则（ ）
A.sin2θ<0B.cs3θ>0C.tan4θ>0D.csθ<0

8. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A.∀x∈R,sinx<1
B.∃x∈N,2x<1
C.若实数a>b>0,m>0，则b+ma+m>ba
D.函数fx=3x+23x+1的最小值为2

9. 已知函数fx=x2⋅lg2|x|，其图象可能是（ ）
A.B.
C.D.

10. 已知函数fx=23sinx2csx2+2cs2x2，则（ ）
A.fx的最小值为−3B.fx的最小正周期为4π
C.fx的图象关于直线x=4π3对称D.fx−π6为奇函数

11. 已知 a=lg2,3b=10，则lg515=( )
A.a+1−aba−abB.b+1−abb−abC.b+1−a1−aD.a+1−b1−b

12. 若4x−4yA.ex−y<1B.ex−y>1C.ey−x−1>1D.ey−x−1<1
二、填空题

已知f(x+1)=x2，则f(x)=_________.

若函数fx=cs3x+φ⋅lnx2+1+x为偶函数，则正数φ的最小值为________.

已知p:x2−2ax+a2<4,q:lg2x+1<3．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.

已知函数f(x)=x2+4x+2,x≤0,3x−1,x>0且方程f(x)=a有三个不同的实数根x1,x2,x3，则x1+x2+x3的取值范围为________.
三、解答题

已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2），将曲线 y=fx上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的曲线向右平移7π4个单位长度，得到曲线y=csx.
(1)求ω和φ的值；

(2)求函数fx在0,7π8上的最小值，并求出使函数fx取得最小值时x的值．

设集合A=x|1≤3x<27,B=x|lg4x≤1.
(1)求A∩B；

(2)若集合 C=x|a
某商品30天内的日销量ft（件）与时间t（天）的关系如图1所示，单价gt（万元/件）与时间t（天）的函数关系如图2所示（t为整数）．

(1)试写出ft与gt的解析式；

(2)求这30天内此商品日销售额的最大值．

已知函数fx=lgax(a>0，且a≠1)在1,9上的最大值为2.
(1)求a的值；

(2)若函数gx=f19−x2−m存在零点，求m的取值范围．

已知函数fx=Msinωx+φ+N(M>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．

(1)求fx的解析式及图象的对称中心坐标；

(2)在△ABC中，fA2+π12=35,B−A=π4，求sinC．

已知函数fx=x2+2x+2−x.
(1)判断函数fx的奇偶性以及单调性，并加以证明；

(2)若不等式f4+a⋅2−x参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省长春市高一（上）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ M=x|x≥3，N=x|18−3x≥0=x|x≤6，
∴ M∪N=R．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
无
【解答】
解：∵ 全称命题的否定是特称命题，
∴ 命题p:∀x∈R,x2−sinx<0的否定是∃x∈R,x2−sinx≥0.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
无
【解答】
解：设幂函数的解析式为fx=xa，则33=3a，
所以a=32，
所以该函数的解析式为fx=x32．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
二倍角的正切公式
【解析】
无
【解答】
解：tan2θ−π=tan2θ
=2tanθ1−tan2θ
=61−32=−34．
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：因为a=50.99>50=1，
0c=lg0.94所以c故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
无
【解答】
解：由题可知2a−8=0，则a=3．
∵ fx=3x+lnx−5在0,+∞上是增函数，
且f1=−2<0，f2=1+ln2>0，
∴ f1⋅f2<0，根据零点存在性定理，
可得函数fx=3x+lnx−5的零点所在的区间为1,2．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
三角函数线
任意角的三角函数
【解析】
无
【解答】
解：由题可知l+2r=3r，l=r，θ=1，
则sin2θ>0，cs3θ<0，tan4θ>0，csθ>0．
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
基本不等式
全称命题与特称命题
不等式的基本性质
【解析】
无
【解答】
解：对于A，x=π2，sinx=1，故A是假命题；
对于B，∀x∈N，2x≥1，故B是假命题；
对于C，由于a，b，m均为正实数，
则b+ma+m−ba=ab+m−ba+maa+m=ma−baa+m>0，故C是真命题；
对于D，fx=3x+23x+1=3x+1+13x+1，
因为3x+1>1，所以fx>2，无最小值，故D是假命题．
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
根据题意，函数fx为偶函数，图象关于y轴对称，有两个零点为±1，排除B和C，当x>2时，fx>x2，同时根据二次函数y=x2和对数函数y=lg2x，图象的发展趋势，可知选A．
【解答】
解：根据题意，函数fx为偶函数，图象关于y轴对称，有两个零点为±1，排除B和C，
当x>2时，fx>x2，同时根据二次函数y=x2和对数函数y=lg2x图象的发展趋势，可知选A．
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
三角函数的最值
正弦函数的单调性
三角函数的周期性及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：fx=23sinx2csx2+2cs2x2
=3sinx+csx+1
=2sinx+π6+1，
最小值为−1，最小正周期为2π；
令x+π6=π2+kπk∈Z，即x=π3+kπk∈Z，
当k=1时，fx的图象关于直线x=4π3对称；
fx−π6=2sinx+1不是奇函数．
故选C .
11.
【答案】
B
【考点】
指数式与对数式的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可得b=lg310=1lg3，即lg3=1b，
原式=lg515=lg15lg5=lg3+lg51−lg2
=lg3+1−lg21−lg2=1b+1−a1−a
=b+1−abb−ab .
故选B .
12.
【答案】
A
【考点】
对数函数的图象与性质
指数函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由4x−4y令ft=4t−lg12t，
∵ y=4t为R上的增函数，y=lg12t为0,+∞上的减函数，
∴ ft为0,+∞上的增函数，
∴ 0∵ y−x>0，∴ ex−y<1，则A正确，B错误；
∵ y−x与1的大小不确定，故C,D无法确定．
故选A．
二、填空题
【答案】
x2−2x+1
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
解答此题的关键在于理解函数的表示方法的相关知识，掌握函数的三种表示方法解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系;图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
【解答】
解：令x+1=t，则x=t−1,ft=t−12=t2−2t+1，
所以fx的解析式为fx=x2−2x+1.
故答案为：x2−2x+1.
【答案】
π2
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
无
【解答】
解：由题可知f(−x)=f(x)，y=ln(x2+1+x)为奇函数，
所以y=cs3x+φ为奇函数，则φ=π2+kπ，k∈Z，
则正数φ的最小值为π2．
故答案为：π2.
【答案】
1,5
【考点】
一元二次不等式的解法
根据充分必要条件求参数取值问题
指、对数不等式的解法
【解析】
无
【解答】
解：p：a−2因为p是q的充分不必要条件，
所以a+2≤7,a−2≥−1,即1≤a≤5．
故答案为：1,5.
【答案】
−4,−3
【考点】
根的存在性及根的个数判断
分段函数的应用
【解析】
无
【解答】
解：作出函数fx的图象，如图，
方程fx=a有三个不同的实数根，
即等价于函数y=fx的图象与直线y=a有三个交点A，B，C，
故有0不妨设x1因为点A，B关于直线x=−2对称，
所以x1+x2=−4，0<3x3−1≤2，即0故x1+x2+x3的取值范围为−4,−3．
故答案为：−4,−3.
三、解答题
【答案】
解：(1)将曲线y=csx向左平移7π4个单位长度，再将曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，
纵坐标不变，可得f(x)=cs(ωx+φ)=cs2x+7π4，
又因为ω>0,|φ|<π2，
所以ω=2,φ=−π4 .
(2)fx=cs2x−π4，
因为x∈0,7π8，所以2x−π4∈−π4,3π2，
当2x−π4=π，即x=5π8时，fx取得最小值，
f(x)min=f5π8=−1 .
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)将曲线y=csx向左平移7π4个单位长度，再将曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，
纵坐标不变，可得f(x)=cs(ωx+φ)=cs2x+7π4，
又因为ω>0,|φ|<π2，
所以ω=2,φ=−π4 .
(2)fx=cs2x−π4，
因为x∈0,7π8，所以2x−π4∈−π4,3π2，
当2x−π4=π，即x=5π8时，fx取得最小值，
f(x)min=f5π8=−1 .
【答案】
解：(1)由题意，A=x|1≤3x<27={x|0≤x<3}，
B=x|lg4x≤1=x|0所以A∩B=x|0(2)∁RB=(−∞,0]∪(4,+∞)，
因为∁RB∩C=⌀，所以a≥0,a+1≤4,
解得0≤a≤3，即a的取值范围为0,3．
【考点】
指、对数不等式的解法
交集及其运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，A=x|1≤3x<27={x|0≤x<3}，
B=x|lg4x≤1=x|0所以A∩B=x|0(2)∁RB=(−∞,0]∪(4,+∞)，
因为∁RB∩C=⌀，所以a≥0,a+1≤4,
解得0≤a≤3，即a的取值范围为0,3．
【答案】
解：(1)由图象可知，f(t)=40−t(0≤t≤30,t∈Z);
g(t)=12t+4,0≤t≤20,38−65t,20(2)设日销售额L(t)是天数t的函数，则
L(t)=f(t)⋅g(t)=(40−t)12t+4,0≤t≤20,(40−t)38−65t,20当0≤t≤20时，Lt=12[576−(t−16)2]，
当t=16时，L(t)取得最大值288万元 .
当20故Lt故当t=16时，L(t)取得最大值288万元，即日销售额的最大值为288万元．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
分段函数的应用
根据实际问题选择函数类型
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由图象可知，f(t)=40−t(0≤t≤30,t∈Z);
g(t)=12t+4,0≤t≤20,38−65t,20(2)设日销售额L(t)是天数t的函数，则
L(t)=f(t)⋅g(t)=(40−t)12t+4,0≤t≤20,(40−t)38−65t,20当0≤t≤20时，Lt=12[576−(t−16)2]，
当t=16时，L(t)取得最大值288万元 .
当20故Lt故当t=16时，L(t)取得最大值288万元，即日销售额的最大值为288万元．
【答案】
解：(1)由题意，当a>1时，函数fx=lgax在1,9上单调递增，
因此fxmax=f9=lga9=2，解得a=3；
当0因此fxmax=f1=lga1=2，无解．
综上，a=3．
(2)由函数gx=f19−x2−m存在零点，
得关于x的方程m=f19−x2有解．
由(1)知fx=lg3 x，
令Fx=f19−x2=lg3 19−x2，
令t=19−x2∈0,19，
所以Fx=lg3 t≤lg3 19=−2，即Fx的值域为(−∞,−2]．
所以m的取值范围为(−∞,−2]．
【考点】
函数的最值及其几何意义
对数函数的单调性与特殊点
函数的零点与方程根的关系
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，当a>1时，函数fx=lgax在1,9上单调递增，
因此fxmax=f9=lga9=2，解得a=3；
当0因此fxmax=f1=lga1=2，无解．
综上，a=3．
(2)由函数gx=f19−x2−m存在零点，
得关于x的方程m=f19−x2有解．
由(1)知fx=lg3 x，
令Fx=f19−x2=lg3 19−x2，
令t=19−x2∈0,19，
所以Fx=lg3 t≤lg3 19=−2，即Fx的值域为(−∞,−2]．
所以m的取值范围为(−∞,−2]．
【答案】
解：(1)由图象可知M+N=1,−M+N=−3,
解得M=2，N=−1．
又由于T2=7π12−π12=π2，
所以T=π，所以ω=2πT=2．
由图象知fπ12=1，
所以2sin2×π12+φ−1=1，sin2×π12+φ=1．
又因为−π3<π6+φ<2π3，
所以2×π12+φ=π2，φ=π3．
所以fx=2sin2x+π3−1，
令2x+π3=kπ（k∈Z），
得x=kπ2−π6（k∈Z），
所以fx图象对称中心的坐标为kπ2−π6,−1（k∈Z）．
(2)由fA2+π12=35，可得csA=45．
所以sinA=35，所以sin2A=2425，cs2A=725．
故sinC=sinB+A=sinB−A+2A
=sinB−Acs2A+csB−Asin2A
=31250．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的对称性
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由图象可知M+N=1,−M+N=−3,
解得M=2，N=−1．
又由于T2=7π12−π12=π2，
所以T=π，所以ω=2πT=2．
由图象知fπ12=1，
所以2sin2×π12+φ−1=1，sin2×π12+φ=1．
又因为−π3<π6+φ<2π3，
所以2×π12+φ=π2，φ=π3．
所以fx=2sin2x+π3−1，
令2x+π3=kπ（k∈Z），
得x=kπ2−π6（k∈Z），
所以fx图象对称中心的坐标为kπ2−π6,−1（k∈Z）．
(2)由fA2+π12=35，可得csA=45．
所以sinA=35，所以sin2A=2425，cs2A=725．
故sinC=sinB+A=sinB−A+2A
=sinB−Acs2A+csB−Asin2A
=31250．
【答案】
解：(1)函数f(x)为偶函数，f(x)在0，+∞上是增函数，在−∞，0上是减函数.
函数f(x)=x2+2x+2−x的定义域为R，且f(−x)=x2+2−x+2x=f(x)，
所以f(x)为偶函数.
又当x≥0时，g(x)=x2是增函数，令ℎ(x)=2x+2−x，
任取x1，x2∈0，+∞，且x1>x2，则
ℎ(x1)−ℎ(x2)=2x1+2−x1−2x2+2−x2
=2x1−2x2+12x1−12x2
=2x1−2x21−12x1+x2
=2x1−2x2⋅2x1+x2−12x1+x2.
因为x1>x2>0，
所以2x1−2x2>0，2x1+x2−1>0，
所以ℎ(x1)−ℎ(x2)>0，
所以ℎ(x)=2x+2−x在0，+∞上是增函数，
可知y=f(x)在0，+∞上是增函数.
结合函数f(x)为偶函数，可知f(x)在−∞，0上是减函数.
(2)若不等式f(4+a⋅2−x)化简为−(2x)2−4⋅2x+1令t=2x∈32，+∞，
①(2x)2−4⋅2x−1=t2−4t−1=(t−2)2−5，则a<−5；
②−(2x)2−4⋅2x+1=−t2−4t+1=−(t+2)2+5，则a≥−294.
综上所述，a的取值范围是−294，−5.
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
函数恒成立问题
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数f(x)为偶函数，f(x)在0，+∞上是增函数，在−∞，0上是减函数.
函数f(x)=x2+2x+2−x的定义域为R，且f(−x)=x2+2−x+2x=f(x)，
所以f(x)为偶函数.
又当x≥0时，g(x)=x2是增函数，令ℎ(x)=2x+2−x，
任取x1，x2∈0，+∞，且x1>x2，则
ℎ(x1)−ℎ(x2)=2x1+2−x1−2x2+2−x2
=2x1−2x2+12x1−12x2
=2x1−2x21−12x1+x2
=2x1−2x2⋅2x1+x2−12x1+x2.
因为x1>x2>0，
所以2x1−2x2>0，2x1+x2−1>0，
所以ℎ(x1)−ℎ(x2)>0，
所以ℎ(x)=2x+2−x在0，+∞上是增函数，
可知y=f(x)在0，+∞上是增函数.
结合函数f(x)为偶函数，可知f(x)在−∞，0上是减函数.
(2)若不等式f(4+a⋅2−x)化简为−(2x)2−4⋅2x+1令t=2x∈32，+∞，
①(2x)2−4⋅2x−1=t2−4t−1=(t−2)2−5，则a<−5；
②−(2x)2−4⋅2x+1=−t2−4t+1=−(t+2)2+5，则a≥−294.
综上所述，a的取值范围是−294，−5.