2020-2021学年24.1 圆的有关性质综合与测试课时训练

这是一份2020-2021学年24.1 圆的有关性质综合与测试课时训练，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版2021年秋季九年级上册24.1 圆的有关性质 同步练习卷一、选择题1．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝66°，则∠C的度数为（　　） A．76° B．38° C．24° D．33°3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝4，OB＝8，则AB的长为（　　）A．4 B．4 C．6 D．84．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝100°，则∠A的度数是（　　） A．80° B．100° C．110° D．120°5．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（    ）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸6．△ABC的顶点都在⊙O上，若∠BOC＝120°，则∠BAC等于（    ）A．60° B．90° C．120° D．60°或120°7．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（　　）A．150° B．75° C．60° D．15°8．如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（    ）A．2个 B．5个 C．4个 D．3个二、填空题9．一条弦分圆为7：5两部分，这条弦所对的圆周角的度数_________．10．AB为⊙O的直径，C为半圆弧AB的中点，点D在⊙O上，且∠BCD＝15°，若AB＝6，则CD的长为 ___．11．如图，量角器上的C、D两点所表示的读数分别是50°、80°，则∠DBC的度数为___．12．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出cm，cm，则轮子的半径为__________ cm．13．如图，点A、B、C在⊙O上，若，则的度数为________．三、解答题14．如图，点A、B、C为⊙O上的点，若∠A＝40°，求∠OCB的度数．  15．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：．  16．如图，CD为的直径，弦于E，如果，，求半径OC的长  17．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝40°，求∠ABD的度数．  18．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M．求证：．  19．如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作．（1）求证：AB是的直径；（2）延长CB交于点E，连接DE，求证：DC=DE．  20．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．   参考答案1．C【分析】根据等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义一一判断即可．【详解】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意；②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意；③长度相等的弧不一定是等弧，故③错误，符合题意；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意，故不正确的有①②③，故选：Ｃ．【点睛】本题考查等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件、弦的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．2．D【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵，∠AOB＝66°，∴∠C＝∠AOB＝33°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．D【分析】先根据垂径定理得出AB=2BE，再由CE=4，OB=8得出OE的长，根据勾股定理求出BE的长即可得出结论．【详解】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，∴AB=2BE．∵CE=4，OB=8，∴OE=8-4=4，∴BE=，∴AB=．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．4．A【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A＋∠C＝180°，再代入求出答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°，∵∠C＝100°，∴∠A＝80°，故选：A．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．5．D【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
∵OA为⊙O的半径，，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．6．D【分析】如图，当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理得到∠BAC＝60°，当点A1在劣弧BC上时，根据圆内接四边形的性质得到∠A1＝120°，由此即可求得答案．【详解】解：如图，当点A在优弧BC上时，∵∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°，当点A1在劣弧BC上时，∵四边形A1BAC是⊙O上的内接四边形，∴∠A+∠A1＝180°，∴∠A1＝180°﹣∠A＝120°，综上所述：∠BAC＝60°或120°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．7．B【分析】根据弧、弦的关系定理，等腰三角形的性质计算即可．【详解】∵，∴∠B=∠C，∵∠A＝30°，∴∠B=∠C=75°，故选B．【点睛】本题考查了弧、弦的关系定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．8．D【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长．【详解】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，根据勾股定理得：OP＝＝，即OP的最小值为3；当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，∴3≤OP＜5，则使线段OP的长度为整数，∴OP＝3，4根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个故选：D．【点睛】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，以及勾股定理是解本题的关键．9．75°或105°【分析】先根据弦把圆分成的两部分求出的度数，再利用圆周角定理即可求得答案．【详解】解：如图所示，弦把分成的两部分，，∴，∴，∴弦所对的圆周角为75°或105°，故答案为：75°或105°．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．10．3【分析】连接OC、OD，利用垂径定理得到∠BOC=90°，则∠OCB=45°，当D点与C点在AB同侧，如图1，利用∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°可判断△OCD为等边三角形，所以CD=OC=3，当D点与C点在AB异侧，如图2，先计算出∠OCD=30°，再过O点作OH⊥CD，如图2，根据垂径定理得到CH=DH，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CH，从而得到CD的长．【详解】解：连接OC、OD，∵C为半圆弧AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠BOC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=45°，当D点与C点在AB同侧，如图1，∵∠BCD=15°，∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=45°+15°=60°，∵OC=OD，∴△OCD为等边三角形，∴CD=OC=AB=3，当D点与C点在AB异侧，如图2，∵∠BCD=15°，∴∠OCD=∠OCB-∠BCD=45°-15°=30°，过O点作OH⊥CD，如图2，则CH=DH，在Rt△OCH中，OH=OC=，∴CH=OH=，∴CD=2CH=，综上所述，CD的长为3或，故答案为：3或．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；也考查了垂径定理．分类画出几何图形是解决问题的关键．11．15º【分析】由量角器的读数得到∠AOC＝50°，∠AOD＝80°，则∠COD＝30°，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：∵量角器上C、D两点所表示的读数分别是50°、80°，∴∠AOC＝50°，∠AOD＝80°，∴∠COD＝80°﹣50°＝30°，∴∠DBC＝∠COD＝15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．12．【分析】连接OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可求得半径．【详解】垂直平分，的圆心在上，设的圆心为，连接，设，在中，解得故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．13．110°【分析】利用圆周角作为桥梁间接求出∠ABC的度数．【详解】如图，在圆上取一点D，连接AD、CD
 ∵∠AOC=140°∴∠ADC=∠AOC÷2=70°∵四边形ABCD为圆O内接四边形∴∠ADC与∠ABC互补∴∠ABC=180°-70°=110°故答案为：110°【点睛】本题考查圆周角与圆心角的关系、圆内接四边形性质，掌握这些是本题解题关键．14．【分析】根据圆周角定理和等腰三角形的性质计算即可；【详解】解：∵∠A＝40°，∴，又∵，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．15．证明见详解【分析】由知，得到，即可得出．【详解】解：，，即，．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键．16．13【分析】连接OA，设OA=r，则OE=r-1，根据垂径定理得AE=5，在中，根据勾股定理即可得．【详解】解：如图所示，连接OA，设OA=r，则OE=r-1，∵弦与E，AB=10，∴AE=5，在中，根据勾股定理，，解得，故半径OC的长为13．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．17．50°【分析】根据圆周角定理可求∠ADB＝90°，即可求∠ABD的度数．【详解】解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BCD＝40°，∴∠BAD＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°-40°=50°．【点睛】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可求∠ADB＝90°是本题的关键．18．证明见解析【分析】连接，，则，先得到，再利用垂径定理即可求解．【详解】证明：连接，，则．在和中，∵，∴．∴．∴．∴，，∴∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及垂径定理是解题关键．19．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理判断即可；（2）根据圆周角定理证明即可；【详解】（1）连接BD，∵，，∴，∴，∴AB是的直径；（2）∵，∴，由圆周角定理可得：，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，准确分析证明是解题的关键．20．（1）见解析；（2）．【分析】（1）连接OD，证明△BOD和△COD是等边三角形，得到OB=BD=DC=OC，根据菱形的判定定理证明即可；（2）求出∠AOC=90°，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）证明：连接OD，由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=120°，∵AD平分∠BAC，∴，∴∠BOD=∠COD=60°，∵OB=OD，OC=OD，∴△BOD和△COD是等边三角形，∴OB=BD=DC=OC，∴四边形OBDC是菱形；（2）解:连接OA，∵OB=OA，∠ABO=15°，∴∠AOB=150°，∴∠AOC=360°-150°-60°-60°=90°，∴AC=．【点睛】本题考查的是菱形的判定、圆周角定理、勾股定理，掌握圆周角定理、菱形的判定定理是解题的关键．