【中考真题】2021年浙江省金华市婺城区湖海塘中学中考数学模拟试卷（3）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年浙江省金华市婺城区湖海塘中学中考数学模拟试卷（3）（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（ ）
A．2B．﹣2C．D．0
2．已知分式的值等于零，则x的值为（ ）
A．1B．±1C．﹣1D．
3．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1B．x2﹣x+C．x2+xy+y2D．9+x2﹣3x
4．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等
7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
8．如图，⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，点P是上任意一点（不与点E，D重合），则∠EPD＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
9．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有x名工人生产螺钉，则可列方程为（ ）
A．2×2000x＝1200（22﹣x）B．2×1200x＝2000（22﹣x）
C．1200x＝2×2000（22﹣x）D．2000x＝2×1200（22﹣x）
10．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（ ）
A．60B．79C．84D．90
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，已知点A（2﹣a，2a+3）在第四象限．若点A在两坐标轴夹角平分线上，则a的值为 ．
12．已知一组数据：86，85，82，97，73，这组数据的中位数是 ．
13．如图，是一个直棱柱的三视图，这个直棱柱的表面积是 ．
14．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °．
15．我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π≈3.14．
刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长P6＝6R，计算π＝3；圆内接正十二边形的周长P12＝24Rsin15°，计算π＝3.10；请写出圆内接正二十四边形的周长 P24＝ ，计算π≈ ．（参考数据：sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.130）
16．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；
（2）OM﹣ON的值不变；
（3）△OMN的周长不变；
（4）四边形PMON的面积不变，
其中正确的序号为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算：6sin60°﹣+（）0+|﹣2020|．
18．x取何正整数时，代数式的值不小于代数式的值？
19．某中学为了丰富学生校园生活，满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，学校开展了丰富多彩的社团活动，该校开展的社团活动有5个类别，他们分别是A：动漫社团，B：轮滑社团，C：音乐社团，D：诗歌社团，E：书法社团，每个学生必须参加且只能参加一个类别的社团活动．该校七年级某同学在学习完“数据的收集、整理与描述”知识后，想通过所学知识分析全校500名同学参加社团活动的情况，于是他在该校随机抽取40名同学开展了一次调查统计分析，过程如下：
收集数据：记录40名同学参加社团活动的类别情况如下：
B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，
A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，
D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，
C，B，D，C，A，C，C，A，C，E．
整理数据：列统计表、绘扇形图如下：
参加社团活动的人数统计表
请根据上面的统计分析的过程和结果，解答下列问题：
（1）写出m、n、a的值；
（2）求社团“D：诗歌社团”所在的扇形图的圆心角的度数；
（3）估计全校参加“D：诗歌社团”和“E：书法社团”的人数．
20．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若AC＝15cm，则顶点A从开始到结束共走过的路径有多长？（π≈3.14，计算结果保留整数）
21．元旦期间，小黄自驾游去了离家156千米的黄石矿博园，右图是小黄离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求小黄出发0.5小时时，离家的距离；
（2）求出AB段的图象的函数解析式；
（3）小黄出发1.5小时时，离目的地还有多少千米？
22．综合与实践：
操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
23．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．
（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；
（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．
2021年浙江省金华市婺城区湖海塘中学中考数学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（ ）
A．2B．﹣2C．D．0
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴a＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．
2．已知分式的值等于零，则x的值为（ ）
A．1B．±1C．﹣1D．
【分析】根据分式的值为零的条件得到，然后解方程和不等式即可得到满足条件的x的值．
【解答】解：根据题意得，
所以x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
3．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1B．x2﹣x+C．x2+xy+y2D．9+x2﹣3x
【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．
【解答】解：A、x2+2x﹣1不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
B、x2﹣x+＝（x﹣）2，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；
C、x2+xy+y2不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
D、9+x2﹣3x不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
4．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：根据中心对称图形的概念可得：D选项不是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，关键是根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合解答．
5．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．
【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：；
故选：C．
【点评】本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等
【分析】根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可．
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意；
D、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行线公理及推论等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】作CE⊥x轴于E，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE＝OA＝2，通过证得△AOB∽△BEC，求得BE＝4，进而得到D点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
【解答】解：作CE⊥x轴于E，
∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，
∴OA＝CE＝2，
∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝4，
∴OE＝5，
∵点D是AC的中点，
∴D（，2）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝×2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，线段中点坐标公式等知识，求出D点坐标是解题的关键．
8．如图，⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，点P是上任意一点（不与点E，D重合），则∠EPD＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】连接OE，OD，由切线的性质易证四边形OECD是矩形，则可得到∠O的度数，由圆周角定理进而可求出∠EPD的度数．
【解答】解：连接OE，OD，
∵⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠C＝∠OEC＝∠ODC＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∴∠O＝90°，
∴∠EPD＝∠O＝45°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出∠O＝90°是解题关键．
9．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有x名工人生产螺钉，则可列方程为（ ）
A．2×2000x＝1200（22﹣x）B．2×1200x＝2000（22﹣x）
C．1200x＝2×2000（22﹣x）D．2000x＝2×1200（22﹣x）
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，2×1200x＝2000（22﹣x），
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（ ）
A．60B．79C．84D．90
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝6，
4×ab＝48﹣6＝42，
∴2ab＝42，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝6+2×42＝90．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，已知点A（2﹣a，2a+3）在第四象限．若点A在两坐标轴夹角平分线上，则a的值为 ﹣5 ．
【分析】直接利用点A在两坐标轴夹角平分线上，得出横纵坐标的关系进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2﹣a，2a+3）在第四象限，点A在两坐标轴夹角平分线上，
∴2﹣a+2a+3＝0，
解得：a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
12．已知一组数据：86，85，82，97，73，这组数据的中位数是 85 ．
【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数．
【解答】解：将数据86，85，82，97，73按照从小到大排列是：73，82，85，86，97，
故这组数据的中位数是85，
故答案为：85．
【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，求出题目中数据的中位数．
13．如图，是一个直棱柱的三视图，这个直棱柱的表面积是 36 ．
【分析】由三视图可得这是一个直三棱柱，再把各个面的面积相加即可．
【解答】解：由三视图可得这是一个直三棱柱，它的高为2，
∵32+42＝52，
∴这个直三棱柱的底面的直角三角形，
∴这个直三棱柱的表面积为：＝36．
故答案为：36．
【点评】此题考查由三视图判断几何体，掌握几何体的特征以及面积的计算方法是解决问题的关键．
14．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 20 °．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣60°﹣140°﹣180°）＝20°，
故答案为：20．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
15．我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π≈3.14．
刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长P6＝6R，计算π＝3；圆内接正十二边形的周长P12＝24Rsin15°，计算π＝3.10；请写出圆内接正二十四边形的周长 P24＝ 48Rsin7.5° ，计算π≈ 3.12 ．（参考数据：sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.130）
【分析】求出正24边形的周长，再根据π≈计算即可解决问题．
【解答】解：圆内接正二十四边形的周长 P24＝48•R•sin7.5°，π≈≈3.12，
故答案为48Rsin7.5°，3.12．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；
（2）OM﹣ON的值不变；
（3）△OMN的周长不变；
（4）四边形PMON的面积不变，
其中正确的序号为 （1）（4） ．
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确，
∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，
故答案为（1）（4）．
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算：6sin60°﹣+（）0+|﹣2020|．
【分析】直接利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝6×﹣2+1+2020﹣
＝3﹣2+1+2020﹣
＝2021．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．x取何正整数时，代数式的值不小于代数式的值？
【分析】根据题意两个代数式建立不等式，求得不等式的解集，求得x的正整数解即可．
【解答】解：由题意得≥
4x+4﹣6x+3≥2x﹣6
4x﹣6x﹣2x≥﹣6﹣4﹣3
﹣4x≥﹣13
解得x≤，
x是正整数，可以取1、2、3．
【点评】此题考查一元一次不等式的正整数解，求得不等式的解集是解决问题的关键．
19．某中学为了丰富学生校园生活，满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，学校开展了丰富多彩的社团活动，该校开展的社团活动有5个类别，他们分别是A：动漫社团，B：轮滑社团，C：音乐社团，D：诗歌社团，E：书法社团，每个学生必须参加且只能参加一个类别的社团活动．该校七年级某同学在学习完“数据的收集、整理与描述”知识后，想通过所学知识分析全校500名同学参加社团活动的情况，于是他在该校随机抽取40名同学开展了一次调查统计分析，过程如下：
收集数据：记录40名同学参加社团活动的类别情况如下：
B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，
A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，
D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，
C，B，D，C，A，C，C，A，C，E．
整理数据：列统计表、绘扇形图如下：
参加社团活动的人数统计表
请根据上面的统计分析的过程和结果，解答下列问题：
（1）写出m、n、a的值；
（2）求社团“D：诗歌社团”所在的扇形图的圆心角的度数；
（3）估计全校参加“D：诗歌社团”和“E：书法社团”的人数．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）用360°乘以“D：诗歌社团”所对应的百分比即可得到结论；
（3）用总人数乘以参加“D：诗歌社团”和“E：书法社团”对应百分比可得．
【解答】解：（1）m＝40×30%＝12，n＝40﹣（8+10+12+6）＝4，a＝×100＝25；
（2）社团“D：诗歌社团”所在的扇形图的圆心角的度数为360°×＝36°；
（3）500×＝125（人），
答：估计全校参加“D：诗歌社团”和“E：书法社团”的人数为125人．
【点评】本题主要考查数据的收集、整理及应用，在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况．
20．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若AC＝15cm，则顶点A从开始到结束共走过的路径有多长？（π≈3.14，计算结果保留整数）
【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径，旋转的角度是180﹣60＝120，所以根据弧长公式l＝可得．
【解答】解：l＝
＝
＝10π
≈31（cm）．
答：顶点A从开始到结束共走过的路径大约是31cm．
【点评】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质，解本题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．
21．元旦期间，小黄自驾游去了离家156千米的黄石矿博园，右图是小黄离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求小黄出发0.5小时时，离家的距离；
（2）求出AB段的图象的函数解析式；
（3）小黄出发1.5小时时，离目的地还有多少千米？
【分析】（1）先运用待定系数法求出OA的解析式，再将x＝0.5代入，求出y的值即可；
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝k′x+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（3）先将x＝1.5代入AB段图象的函数表达式，求出对应的y值，再用156减去y即可求解．
【解答】解：（1）设OA段图象的函数表达式为y＝kx．
∵当x＝0.8时，y＝48，
∴0.8k＝48，
∴k＝60．
∴y＝60x（0≤x≤0.8），
∴当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30．
故小黄出发0.5小时时，离家30千米；
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝k′x+b．
∵A（0.8，48），B（2，156）在AB上，
，
解得，
∴y＝90x﹣24（0.8≤x≤2）；
（3）∵当x＝1.5时，y＝90×1.5﹣24＝111，
∴156﹣111＝45．
故小黄出发1.5小时时，离目的地还有45千米．
【点评】本题考查了一次函数的应用及一次函数解析式的确定，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，本题较简单．
22．综合与实践：
操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC＝BD＝4，由∠BEC＝∠BAC＝120°，推出∠FCE＝30°即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC＝70°．
（3）解：设AC交BF于点O，如图2中，
∵∠CAB＝∠EAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝EC＝4，
∵∠AOB＝∠COE，
∴∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∵CF⊥EF，
∴∠F＝90°，
∴∠FCE＝30°，
∴EF＝EC＝2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．
（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，
∴当m＝﹣时，MN有最大值．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得m＝﹣3+或0（舍弃）
∴MN＝3﹣2，
∴CQ＝MN＝3﹣2，
∴OQ＝3+1，
∴Q（0，﹣3﹣1）．
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，m2+3m＝﹣m，
解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝3+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，
∴Q（0，3﹣1）．
当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．
（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；
（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．
【分析】（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，理由勾股定理即可解决问题．
（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，推出PQ＝CQ＝y，推出PC＝y，在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，根据PC2＝PH2+CH2，可得结论．
（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠PBH＝60°，
∵PB＝3，∠PHB＝90°，
∴BH＝PB•cs60°＝，PH＝PB•sin60°＝，
∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，
∴PC＝＝＝．
（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠PCQ＝30°，
∴∠PBO＝∠QCO，
∵∠POB＝∠QOC，
∴△POB∽△QOC，
∴＝，
∴＝，
∵∠POQ＝∠BOC，
∴△POQ∽△BOC，
∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，
∴PQ＝CQ＝y，
∴PC＝y，
在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，
∵PC2＝PH2+CH2，
∴3y2＝（x）2+（4﹣x）2，
∴y＝（0≤x＜8）．
（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．
此时∠CQE＝120°，
∵∠PBC＝60°，
∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，
此时△QCE与△BCP不可能相似．
②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．
则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，
∵∠PCB＞∠E，
∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，
作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，
∴PF＝CF＝2，
此时PB＝2+2，
③如图4中，当点P在AB的延长线上时，
∵△QCE与△BCP相似，
∴∠CQE＝∠CBP＝120°，
∴∠QCE＝∠PCB＝15°，
作CF⊥AB于F．
∵∠FCB＝30°，
∴∠FCP＝45°，
∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，
∴PB＝2﹣2．
综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2﹣2．
【点评】本题考查相似形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/11/14 23:16:59；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.cm；学号：41479226

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