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【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（33）（含答案解析）
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这是一份【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（33）（含答案解析），共27页。试卷主要包含了下列是一元二次方程的为，点A，如图，将Rt△ABC等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（33）
一．选择题（共10小题）
1．下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列是一元二次方程的为（ ）
A．x﹣2y+1＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．2x+3＝0 D．x2+2y﹣10＝0
3．将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
4．点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（1，﹣3）
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的大小是（ ）
A．20° B．35° C．130° D．140°
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
7．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2＝36.4
B．10+10（1+x）2＝36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（ ）
A．12cm B． C． D．
9．已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
二．填空题（共10小题）
11．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为 ．
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝ ．
13．已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝ ．
14．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为 ．
15．若一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 ．
16．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若EF＝6，DE＝2，则AB的长为 ．
17．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A＝102°，则∠DCE＝ ．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2cm，则⊙O的半径为 cm．
19．圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ．
20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为 ．
三．解答题（共9小题）
21．解方程：
（1）x2+3x﹣2＝0；
（2）（x﹣3）（x+1）＝x﹣3．
22．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．
23．如图在7×7的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1BC1；
（2）求出旋转过程中，线段BA扫过的图形的面积（结果保留π）．
24．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为尽快减少库存，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，该商店每星期的销售利润为6480元？
25．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
26．某景区商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了提高销售量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．
（1）如果这批旅游纪念品共获利1050元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少时，这批旅游纪念品利润最大？最大利润是多少？
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．
28．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD＝2，BD＝，求AB的长．
29．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（33）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列是一元二次方程的为（ ）
A．x﹣2y+1＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．2x+3＝0 D．x2+2y﹣10＝0
【分析】直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、x﹣2y+1＝0，是二元一次方程，故此选项错误；
B、x2﹣2x﹣3＝0，是一元二次方程，故此选项正确；
C、2x+3＝0，是一元一次方程，故此选项错误；
D、x2+2y﹣10＝0，是二元二次方程，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
3．将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，得：y＝（x﹣5）2；
再向上平移3个单位长度，得：y＝（x﹣5）2+3，
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（1，﹣3）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为：（﹣3，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的大小是（ ）
A．20° B．35° C．130° D．140°
【分析】欲求∠AOC，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°；
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB′＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，
∴旋转角等于125°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确每对对应点与旋转中心连线所成的角为旋转角是解题的关键．
7．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2＝36.4
B．10+10（1+x）2＝36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4
【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2＝36.4，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有
10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4，
故选：D．
【点评】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（ ）
A．12cm B． C． D．
【分析】由题意可得BC的长度，∠CBC'的度数，由弧长公式可求点C经过的路线的长度．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm
∴AC＝3，BC＝AC＝3
∵将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上
∴∠CBC'＝150°
∴则点C经过的路线的长度为＝
故选：C．
【点评】本题考查了点的轨迹，旋转的性质，利用弧长公式求轨迹是本题的关键．
9．已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为6.5cm，圆心O到直线l的距离为8cm，6.5＜8，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为直线x＝＝﹣1可以判定②错误；
由图象与x轴有交点，对称轴为直线x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由x＝﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，③错误．然后即可作出选择．
【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为直线x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a+b＝4a，a≠0，
错误；
③∵x＝﹣1时y有最大值，
由图象可知y≠0，错误；
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，两边相加整理得
5a﹣b＝﹣c＜0，即5a＜b．
故选：B．
【点评】解答本题关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二．填空题（共10小题）
11．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，
∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0，
∴1﹣3+m＝0，
解得，m＝2．
故答案是：2．
【点评】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝ 1 ．
【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：由题意知：，解得n＝1．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝ ﹣1 ．
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点可得a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，解出a、b的值，然后可得答案．
【解答】解：∵点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，
∴a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，
解得：a＝﹣1，b＝1，
∴2a+b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
14．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为 1 ．
【分析】根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽；根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为144cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm．
依题意，得：（20﹣2x）（10﹣2x）＝144，
整理，得：x2﹣15x+14＝0，
解得：x1＝1，x2＝14（不合题意，舍去）．
答：x的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．若一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 4 ．
【分析】由根与系数的关系可分别求得x1+x2和x1•x2的值，代入求值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2，
∴x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝2﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
16．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若EF＝6，DE＝2，则AB的长为 ．
【分析】由旋转的性质可得DE＝BF＝2，由勾股定理可得EF2＝CF2+CE2，即可求解．
【解答】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴DE＝BF＝2，
设正方形的边长为a，
则AB＝CD＝BC＝a，
∴CF＝a+2，CE＝a﹣2，
∵EF2＝CF2+CE2，
∴36＝a2+4+4a+a2+4﹣4a，
∴a＝，
∴AB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是本题的关键．
17．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A＝102°，则∠DCE＝ 102° ．
【分析】连接OB，OD，利用圆周角定理得到∠DOB＝2∠A，∠DOB（大于平角的角）＝2∠BCD，再由周角定义及等式的性质得到∠A与∠BCD互补，利用邻补角性质及同角的补角相等即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接OB，OD，
∵∠DOB与∠A都对，∠DOB（大于平角的角）与∠BCD都对，
∴∠DOB＝2∠A，∠DOB（大于平角的角）＝2∠BCD，
∵∠DOB+∠DOB（大于平角的角）＝360°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝102°，
故答案为：102°
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2cm，则⊙O的半径为 2 cm．
【分析】作直径AD，连接BD，得∠ABD＝90°，∠D＝∠C＝30°，则AD＝4．即圆的半径是2．（或连接OA，OB，发现等边△AOB．）
【解答】解：作直径AD，连接BD，得
∠ABD＝90°，∠D＝∠C＝30°，
∴AD＝4，
即圆的半径是2．
【点评】能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．
19．圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 180° ．
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为2，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝＝＝2，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
根据题意得2π•1＝，解得n＝180，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°．
故答案为180°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为 36° ．
【分析】连接OA、OE，求出∠AOE的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：连接OA、OE，如图所示：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOE＝＝72°，
∴∠APE＝∠AOE＝×72°＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
三．解答题（共9小题）
21．解方程：
（1）x2+3x﹣2＝0；
（2）（x﹣3）（x+1）＝x﹣3．
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）先移项得到（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△＝32﹣4×（﹣2）＝17，
x＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+1﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x+1﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
22．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．
【分析】（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，
∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为＝．
【点评】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
23．如图在7×7的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1BC1；
（2）求出旋转过程中，线段BA扫过的图形的面积（结果保留π）．
【分析】（1）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°所得对应点，再顺次连接可得；
（2）根据扇形的面积公式计算可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；
（2）在旋转过程中，线段BA扫过的图形的扇形ABA1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
则AB＝＝，
所以扇形ABA1的面积为＝π．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式．
24．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为尽快减少库存，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，该商店每星期的销售利润为6480元？
【分析】（1）根据销售数量＝300+30×降价的钱数，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每星期的销售利润＝每件的利润×每星期的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，得：y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+2100．
（2）依题意，得：（x﹣40）（﹣30x+2100）＝6480，
整理，得：x2﹣110x+3016＝0，
解得：x1＝52，x2＝58，
∵为尽快减少库存，
∴x＝52．
答：当每件售价定为52元时，该商店每星期的销售利润为6480元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）∠EBC的度数等于∠ABC﹣∠ABE，因而求∠EBC的度数就可以转化为求∠ABC和∠ABE，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出；
（2）利用扇形的面积减去等腰直角三角形的面积即可求得．
【解答】解；（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°．
∴∠EBC＝22.5°；
（2）连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
∴AE＝BE，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OB＝OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△OBE＝﹣＝﹣＝π﹣2．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，扇形的面积，熟练应用圆周角定理是解题关键．
26．某景区商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了提高销售量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．
（1）如果这批旅游纪念品共获利1050元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少时，这批旅游纪念品利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可；
（2）根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出函数关系式求出即可．
【解答】解：（1）由题意得：
200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[600﹣200﹣（200+50x）]＝1050，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）＝1050，
整理得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1
依题意，0≤x≤4，∴x＝3
10﹣x＝10﹣3＝7．
答：第二周的销售价格为7元．
（2）设这批旅游纪念品的利润为y元，则
y＝200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[600﹣200﹣（200+50x）]
＝﹣50x2+100x+1200 （0≤x≤4）
∵a＝﹣50＜0，
∴当x＝1（满足0≤x≤4）时，y有最大值，最大值是：y＝1250．
这时，10﹣x＝10﹣1＝9
答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元时，这批旅游纪念品利润最大，最大利润是1250元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理可知AE是△ADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点O，以O为圆心以OA为半径画圆即可；
（2）根据连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO＝∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD＝∠DAO＝∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C＝90°即可得出∠ODB＝90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；
（2）设OD＝r，根据勾股定理列方程可得r值．
【解答】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；
（2）证明：如图2，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：设⊙O的半径为r，
∵DF⊥AE，
∴DF＝GF＝DG＝4，
在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，
OD＝r，OF＝r﹣2，DF＝4，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
r＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用平行线的性质找出OD⊥BC；（2）利用垂径定理求DF的长，构建方程求出⊙O的半径．
28．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD＝2，BD＝，求AB的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD＝90°，根据垂径定理得出即可；
（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠D＝90°，
∴∠BHD＝180°﹣90°＝90°，
即AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CH＝DH，
即H是CD的中点；
（2）解：
连接OD，
∵H为CD的中点，CD＝2，AB过O，
∴DH＝CH＝CD＝，AB⊥CD，
∴∠BHD＝90°，
由勾股定理得：BH＝＝＝1，
设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OB＝OD＝R，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2＝OD2，
即（R﹣1）2+（）2＝R2，
解得：R＝，
∴AB＝2×＝3．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．
29．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG，即可求解；
（3）分AM是斜边、AN是斜边、MN是斜边三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
解得，
故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），则，
解得，
故直线AC为y＝x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG＝（﹣x2+x+2）×3＝﹣（x﹣）2+，
∴面积的最大值为；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点M（1，m），
由点A、M、N的坐标知，AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2，
当AM是斜边时，则4+m2＝10+1+（m﹣3）2，解得m＝；
当AN是斜边时，同理可得：m＝1或2；
当MN是斜边时，同理可得：m＝﹣；
故点M的坐标为（1，）或（1，1）或（1，2）或（1，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（33）
一．选择题（共10小题）
1．下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列是一元二次方程的为（ ）
A．x﹣2y+1＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．2x+3＝0 D．x2+2y﹣10＝0
3．将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
4．点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（1，﹣3）
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的大小是（ ）
A．20° B．35° C．130° D．140°
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
7．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2＝36.4
B．10+10（1+x）2＝36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（ ）
A．12cm B． C． D．
9．已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
二．填空题（共10小题）
11．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为 ．
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝ ．
13．已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝ ．
14．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为 ．
15．若一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 ．
16．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若EF＝6，DE＝2，则AB的长为 ．
17．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A＝102°，则∠DCE＝ ．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2cm，则⊙O的半径为 cm．
19．圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ．
20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为 ．
三．解答题（共9小题）
21．解方程：
（1）x2+3x﹣2＝0；
（2）（x﹣3）（x+1）＝x﹣3．
22．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．
23．如图在7×7的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1BC1；
（2）求出旋转过程中，线段BA扫过的图形的面积（结果保留π）．
24．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为尽快减少库存，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，该商店每星期的销售利润为6480元？
25．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
26．某景区商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了提高销售量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．
（1）如果这批旅游纪念品共获利1050元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少时，这批旅游纪念品利润最大？最大利润是多少？
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．
28．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD＝2，BD＝，求AB的长．
29．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（33）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列是一元二次方程的为（ ）
A．x﹣2y+1＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．2x+3＝0 D．x2+2y﹣10＝0
【分析】直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、x﹣2y+1＝0，是二元一次方程，故此选项错误；
B、x2﹣2x﹣3＝0，是一元二次方程，故此选项正确；
C、2x+3＝0，是一元一次方程，故此选项错误；
D、x2+2y﹣10＝0，是二元二次方程，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
3．将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移5个单位长度，得：y＝（x﹣5）2；
再向上平移3个单位长度，得：y＝（x﹣5）2+3，
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（1，﹣3）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点A（3，﹣1）关于原点对称的点的坐标为：（﹣3，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的大小是（ ）
A．20° B．35° C．130° D．140°
【分析】欲求∠AOC，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°；
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB′＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，
∴旋转角等于125°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确每对对应点与旋转中心连线所成的角为旋转角是解题的关键．
7．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2＝36.4
B．10+10（1+x）2＝36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4
【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2＝36.4，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有
10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4，
故选：D．
【点评】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（ ）
A．12cm B． C． D．
【分析】由题意可得BC的长度，∠CBC'的度数，由弧长公式可求点C经过的路线的长度．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm
∴AC＝3，BC＝AC＝3
∵将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上
∴∠CBC'＝150°
∴则点C经过的路线的长度为＝
故选：C．
【点评】本题考查了点的轨迹，旋转的性质，利用弧长公式求轨迹是本题的关键．
9．已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为6.5cm，圆心O到直线l的距离为8cm，6.5＜8，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为直线x＝＝﹣1可以判定②错误；
由图象与x轴有交点，对称轴为直线x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由x＝﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，③错误．然后即可作出选择．
【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为直线x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a+b＝4a，a≠0，
错误；
③∵x＝﹣1时y有最大值，
由图象可知y≠0，错误；
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，两边相加整理得
5a﹣b＝﹣c＜0，即5a＜b．
故选：B．
【点评】解答本题关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二．填空题（共10小题）
11．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，
∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0，
∴1﹣3+m＝0，
解得，m＝2．
故答案是：2．
【点评】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝ 1 ．
【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：由题意知：，解得n＝1．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝ ﹣1 ．
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点可得a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，解出a、b的值，然后可得答案．
【解答】解：∵点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，
∴a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，
解得：a＝﹣1，b＝1，
∴2a+b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
14．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为 1 ．
【分析】根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽；根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为144cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm．
依题意，得：（20﹣2x）（10﹣2x）＝144，
整理，得：x2﹣15x+14＝0，
解得：x1＝1，x2＝14（不合题意，舍去）．
答：x的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．若一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 4 ．
【分析】由根与系数的关系可分别求得x1+x2和x1•x2的值，代入求值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2，
∴x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝2﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
16．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若EF＝6，DE＝2，则AB的长为 ．
【分析】由旋转的性质可得DE＝BF＝2，由勾股定理可得EF2＝CF2+CE2，即可求解．
【解答】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴DE＝BF＝2，
设正方形的边长为a，
则AB＝CD＝BC＝a，
∴CF＝a+2，CE＝a﹣2，
∵EF2＝CF2+CE2，
∴36＝a2+4+4a+a2+4﹣4a，
∴a＝，
∴AB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是本题的关键．
17．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A＝102°，则∠DCE＝ 102° ．
【分析】连接OB，OD，利用圆周角定理得到∠DOB＝2∠A，∠DOB（大于平角的角）＝2∠BCD，再由周角定义及等式的性质得到∠A与∠BCD互补，利用邻补角性质及同角的补角相等即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接OB，OD，
∵∠DOB与∠A都对，∠DOB（大于平角的角）与∠BCD都对，
∴∠DOB＝2∠A，∠DOB（大于平角的角）＝2∠BCD，
∵∠DOB+∠DOB（大于平角的角）＝360°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝102°，
故答案为：102°
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2cm，则⊙O的半径为 2 cm．
【分析】作直径AD，连接BD，得∠ABD＝90°，∠D＝∠C＝30°，则AD＝4．即圆的半径是2．（或连接OA，OB，发现等边△AOB．）
【解答】解：作直径AD，连接BD，得
∠ABD＝90°，∠D＝∠C＝30°，
∴AD＝4，
即圆的半径是2．
【点评】能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．
19．圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 180° ．
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为2，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝＝＝2，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
根据题意得2π•1＝，解得n＝180，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°．
故答案为180°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为 36° ．
【分析】连接OA、OE，求出∠AOE的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：连接OA、OE，如图所示：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOE＝＝72°，
∴∠APE＝∠AOE＝×72°＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
三．解答题（共9小题）
21．解方程：
（1）x2+3x﹣2＝0；
（2）（x﹣3）（x+1）＝x﹣3．
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）先移项得到（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△＝32﹣4×（﹣2）＝17，
x＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+1﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x+1﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
22．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．
【分析】（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，
∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为＝．
【点评】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
23．如图在7×7的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1BC1；
（2）求出旋转过程中，线段BA扫过的图形的面积（结果保留π）．
【分析】（1）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°所得对应点，再顺次连接可得；
（2）根据扇形的面积公式计算可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；
（2）在旋转过程中，线段BA扫过的图形的扇形ABA1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
则AB＝＝，
所以扇形ABA1的面积为＝π．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式．
24．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为尽快减少库存，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，该商店每星期的销售利润为6480元？
【分析】（1）根据销售数量＝300+30×降价的钱数，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每星期的销售利润＝每件的利润×每星期的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，得：y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+2100．
（2）依题意，得：（x﹣40）（﹣30x+2100）＝6480，
整理，得：x2﹣110x+3016＝0，
解得：x1＝52，x2＝58，
∵为尽快减少库存，
∴x＝52．
答：当每件售价定为52元时，该商店每星期的销售利润为6480元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）∠EBC的度数等于∠ABC﹣∠ABE，因而求∠EBC的度数就可以转化为求∠ABC和∠ABE，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出；
（2）利用扇形的面积减去等腰直角三角形的面积即可求得．
【解答】解；（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°．
∴∠EBC＝22.5°；
（2）连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
∴AE＝BE，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OB＝OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△OBE＝﹣＝﹣＝π﹣2．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，扇形的面积，熟练应用圆周角定理是解题关键．
26．某景区商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了提高销售量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．
（1）如果这批旅游纪念品共获利1050元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少时，这批旅游纪念品利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可；
（2）根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出函数关系式求出即可．
【解答】解：（1）由题意得：
200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[600﹣200﹣（200+50x）]＝1050，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）＝1050，
整理得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1
依题意，0≤x≤4，∴x＝3
10﹣x＝10﹣3＝7．
答：第二周的销售价格为7元．
（2）设这批旅游纪念品的利润为y元，则
y＝200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[600﹣200﹣（200+50x）]
＝﹣50x2+100x+1200 （0≤x≤4）
∵a＝﹣50＜0，
∴当x＝1（满足0≤x≤4）时，y有最大值，最大值是：y＝1250．
这时，10﹣x＝10﹣1＝9
答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元时，这批旅游纪念品利润最大，最大利润是1250元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理可知AE是△ADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点O，以O为圆心以OA为半径画圆即可；
（2）根据连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO＝∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD＝∠DAO＝∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C＝90°即可得出∠ODB＝90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；
（2）设OD＝r，根据勾股定理列方程可得r值．
【解答】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；
（2）证明：如图2，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：设⊙O的半径为r，
∵DF⊥AE，
∴DF＝GF＝DG＝4，
在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，
OD＝r，OF＝r﹣2，DF＝4，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
r＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用平行线的性质找出OD⊥BC；（2）利用垂径定理求DF的长，构建方程求出⊙O的半径．
28．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD＝2，BD＝，求AB的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD＝90°，根据垂径定理得出即可；
（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠D＝90°，
∴∠BHD＝180°﹣90°＝90°，
即AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CH＝DH，
即H是CD的中点；
（2）解：
连接OD，
∵H为CD的中点，CD＝2，AB过O，
∴DH＝CH＝CD＝，AB⊥CD，
∴∠BHD＝90°，
由勾股定理得：BH＝＝＝1，
设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OB＝OD＝R，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2＝OD2，
即（R﹣1）2+（）2＝R2，
解得：R＝，
∴AB＝2×＝3．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．
29．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG，即可求解；
（3）分AM是斜边、AN是斜边、MN是斜边三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
解得，
故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），则，
解得，
故直线AC为y＝x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG＝（﹣x2+x+2）×3＝﹣（x﹣）2+，
∴面积的最大值为；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点M（1，m），
由点A、M、N的坐标知，AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2，
当AM是斜边时，则4+m2＝10+1+（m﹣3）2，解得m＝；
当AN是斜边时，同理可得：m＝1或2；
当MN是斜边时，同理可得：m＝﹣；
故点M的坐标为（1，）或（1，1）或（1，2）或（1，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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