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【中考真题】2020-2021学年湖北省十堰市郧西县思源实验学校中考数学模拟试卷（含答案解析）
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这是一份【中考真题】2020-2021学年湖北省十堰市郧西县思源实验学校中考数学模拟试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了如图，Rt△OAB的顶点A等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省十堰市郧西县思源实验学校中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下
2．下面服装品牌LOGO中，是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2020的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
4．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
5．已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（﹣4，﹣3）在函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．若点（﹣2，y1）和（﹣1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2
6．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格的形状大小质地完全相同，当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二．填空题（共6小题）
11．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a﹣1的值是 ．
12．如图，AB为半圆的直径，且AB＝8，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为 ．
14．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是 ．
15．如图，将含有30°角的直角三角板OAB放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，且A点坐标为（，1），若将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A1的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．按要求解下列方程
（1）用配方法解方程：2x2+7x﹣4＝0；
（2）用公式法解方程：3x2﹣1＝4x．
18．如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
19．如图，有大小质地相同仅颜色不同的两双拖鞋（分左．右脚）共四只，放置于地板上．【可表示为（A1．A2），（B1．B2）】注：本题采用“长方形”表示拖鞋．
（1）若先从两只左脚拖鞋中取一只，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
（2）若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用“树形图”或“表格”列举出所有可能出现的情况，并求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．
21．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y＝（k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
22．某玩具批发商销售每件进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每件50元的价格销售，平均每天销售90件，单价每提高1元，平均每天就少销售3件．
（1）平均每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为 ；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每件售价不得高于55元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？
23．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：AD＝CD．
（2）求证：DE为⊙O的切线．
（3）若∠C＝60°，DE＝，求⊙O半径的长．
24．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．
（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．
（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试猜想：AE2+AF2＝2BF2是否成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，试举一反例说明．
25．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
2020-2021学年湖北省十堰市郧西县思源实验学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【解答】解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
2．下面服装品牌LOGO中，是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形的概念可得答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2020的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m＝1，再把2m2﹣4m+2020表示为2（m2﹣2m）+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+2020＝2（m2﹣2m）+2020＝2×1+2020＝2022．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．
5．已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（﹣4，﹣3）在函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．若点（﹣2，y1）和（﹣1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得出结果．
【解答】解：A、k＝﹣6＜0，函数的图象在第二、四象限，故说法错误；
B、因为﹣3×（﹣4）＝12≠﹣6，所以点（﹣4，﹣3）不在函数图象上，故说法错误
C、k＝﹣6＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法错误；
D、k＝﹣6＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为﹣2＜﹣1＜0，则y1＜y2，故说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
6．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格的形状大小质地完全相同，当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
【解答】解：设每个格点正方形的边长为1，
则阴影部分的面积为：42﹣×（1×4+2×4+2×3）＝7，
所以当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率是，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
8．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）
【分析】首先根据点A在抛物线y＝ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；
【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，
∴4＝a×（﹣2）2，
解得：a＝1
∴解析式为y＝x2，
∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），
∴OB＝OD＝2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴CD∥x轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2，
∴令y＝2，得2＝x2，
解得：x＝±，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接BC，作OE⊥AC于E．根据勾股定理求出BC，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：连接BC，作OE⊥AC于E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝OB，
∴OE＝BC＝，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，
可得AD∥OE，进而可得S△ACE＝S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC＝3DC，DH∥AF，可得3DH＝AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC＝S△ADG，所以S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC，即可求解．
【解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，），
∵AC＝3DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝k+××2m+×××2m＝k++＝12，
∴2k＝12，
∴k＝6；
方法二：求出D的坐标可以求出FH＝2m，FC＝3m，OC＝4m，×4m×（）＝2k＝12，可得k＝6．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a﹣1的值是 5 ．
【分析】把x＝2代入已知方程得到：4a﹣2b＝﹣3，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：把x＝2代入，得
4a﹣2b+3＝0，
所以4a﹣2b＝﹣3，
所以4b﹣8a﹣1＝﹣2（4a﹣2b）﹣1＝﹣2×（﹣3）﹣1＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12．如图，AB为半圆的直径，且AB＝8，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．
【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：+﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为 3 ．
【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，由垂径定理可得：AC＝AB，又由PA、PB是⊙O的切线，由切线长定理可得PA＝PB，由∠P＝60°，即可得△PAB是等边三角形，继而可求得∠OAC＝30°，则可求得AC的长，继而求得答案．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∴AC＝AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，OA⊥PA，
∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAB＝60°，
∴∠OAC＝90°﹣∠PAB＝30°，
在Rt△AOC中，OA＝3，
∴AC＝OA•cos30°＝3×＝，
∴AB＝2AC＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了切线长定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是 60° ．
【分析】连接OE、OF，如图，根据三角形内切圆的定义和切线的性质得到OE⊥AB，OF⊥BC，则利用四边形的内角和得到∠B+∠EOF＝180°，则可求出∠EOF＝120°，然后根据圆周角定理得到∠EPF的度数．
【解答】解：连接OE、OF，如图，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠B+∠EOF＝180°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠EPF＝∠EOF＝60°．
故答案为60°．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线的性质、等边三角形的性质和圆周角定理．
15．如图，将含有30°角的直角三角板OAB放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，且A点坐标为（，1），若将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A1的坐标为 （，﹣） ．
【分析】先根据题意画出点A′的位置，然后过点A1作A1C⊥OB，接下来依据旋转的定义和性质可得到OA的长和∠COA1的度数，最后依据特殊锐角三角函数值求解即可．
【解答】解：如图所示：过点A1作A1C⊥OB．
∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴∠AOA1＝75°，OA1＝OA．
∴∠COA1＝45°．
∵A（，1），
∴OA＝＝2，
∴OC＝2×＝，CA1＝2×＝．
∴A1的坐标为（，﹣）．
故答案为（，﹣）．
【点评】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到∠COA1＝45°是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 2 ．
【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据矩形的性质解答．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
则抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴对角线BD的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．按要求解下列方程
（1）用配方法解方程：2x2+7x﹣4＝0；
（2）用公式法解方程：3x2﹣1＝4x．
【分析】（1）根据配方法，可得方程的解；
（2）根据公式法，可得方程的解．
【解答】解：移项，得
2x2+7x＝4，
二次项系数化为1，得
x2+x＝2，
配方，得
（x+）2＝2+，
开方，得
x+＝，
x1＝，x2＝﹣4；
（2）化成一般式，得
3x2﹣4x﹣1＝0，
a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
b2﹣4ac＝28＞0，
x1＝＝＝，
x2＝＝＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟记公式并根据公式计算是解题关键．
18．如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积＝整个地毯面积的 ，列出方程求解即可；
（2）根据总价＝单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2＝×5×4，
解得：x1＝（不符合，舍去），x2＝．
答：配色条纹宽度为 米．
（2）条纹造价：×5×4×200＝850（元）
其余部分造价：（1﹣）×4×5×100＝1575（元）
∴总造价为：850+1575＝2425（元）
答：地毯的总造价是2425元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
19．如图，有大小质地相同仅颜色不同的两双拖鞋（分左．右脚）共四只，放置于地板上．【可表示为（A1．A2），（B1．B2）】注：本题采用“长方形”表示拖鞋．
（1）若先从两只左脚拖鞋中取一只，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
（2）若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用“树形图”或“表格”列举出所有可能出现的情况，并求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果，从中得出配成一双相同颜色的情况，即可求出概率；
（2）用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能的情况有：
共4种情况，其中配成一双相同颜色的有2种，
∴P配成一双相同颜色＝＝；
（2）用列表法表示所有可能的情况有：
共12种情况，其中配成一双相同颜色的有4种，
∴P配成一双相同颜色＝＝．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．
【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可分别表示出x1+x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根，
∴△≥0，即[﹣2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；
（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2（m﹣2），x1x2＝m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，
∵x12+x22＝56，
∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，
∵m≤1，
∴m＝﹣2．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根判别式与方程根的关系是解题的关键．
21．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y＝（k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）把A的坐标代入y＝，求出反比例函数的解析式，把A的坐标代入y＝x+b求出一次函数的解析式；
（2）求出D、B的坐标，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD计算，即可求出答案；
（3）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（4，1），
∴1＝，即k＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝．
∵一次函数y＝x+b（k≠0）的图象过点A（4，1），
∴1＝4+b，解得b＝﹣3，
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣3；
（2）∵令x＝0，则y＝﹣3，
∴D（0，﹣3），即DO＝3．
解方程＝x﹣3，得x＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣4），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×4+×3×1＝；
（3）∵A（4，1），B（﹣1，﹣4），
∴一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．
22．某玩具批发商销售每件进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每件50元的价格销售，平均每天销售90件，单价每提高1元，平均每天就少销售3件．
（1）平均每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为 y＝﹣3x+240 ；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每件售价不得高于55元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）平均每天销售量y＝原来的销售量90﹣3×相对于50元的单价提高的价格；
（2）销售利润W＝单价的利润×平均每天的销售量，代入即可得出W与x的函数关系式．
（3）根据题中所给的自变量的取值，结合（2）得到的关系式，即可求得二次函数的最值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝90﹣3（x﹣50）＝﹣3x+240；
（2）W＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600；
（3）y＝﹣3x2+360x﹣9600＝﹣3（x﹣60）2+1200，
故当x＝60时，y取最大值1200，
∵x＝60是二次函数的对称轴，且开口向下，
∴当x＜60时，y随x的增大而增大，
∵规定每件售价不得高于55元，
∴当x＝55时，W取得最大值为1125元，
即每件玩具的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．
23．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：AD＝CD．
（2）求证：DE为⊙O的切线．
（3）若∠C＝60°，DE＝，求⊙O半径的长．
【分析】（1）先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据等腰三角形的性质得AD＝CD；
（2）连接OD，如图，先证明OD为△BAC的中位线，则OD∥BC，再利用DE⊥BC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（3）先在Rt△CDE中计算出CE＝DE＝1，CD＝2CE＝2，再利用∠A＝∠C＝60°，AD＝CD＝2，然后在Rt△ADB中利用AB＝2AD求解．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD；
（2）证明：连接OD，如图，
∵AD＝CD，AO＝OB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥BC，
∴DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：在Rt△CDE中，∠C＝60°，DE＝，
∴CE＝DE＝×＝1，
∴CD＝2CE＝2，
∵∠A＝∠C＝60°，AD＝CD＝2，
在Rt△ADB中，AB＝2AD＝4，
即⊙O半径的长为2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
24．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．
（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．
（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试猜想：AE2+AF2＝2BF2是否成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，试举一反例说明．
【分析】（1）由条件可以得出△BFE是直角三角形，就有∠BFC＝90°，由旋转可得∠EBF＝∠AEB＝90°，就有∠AEB+∠EBF＝180°，从而得出结论．
（2）利用正方形的性质以及旋转的性质得出∠EAF＝90°，进而利用勾股定理得出AE2+AF2＝2BF2．
【解答】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴BE＝BF＝1，∠EBF＝∠ABC＝90°，∠AEB＝∠BFC
在△BFC中，
∵BF2+FC2＝12+（）2＝4，
BC2＝22＝4
∴BF2+FC2＝BC2
∴∠BFC＝90°，
∴∠AEB+∠EBF＝180°，
∴AE∥BF；
（2）解：AE2+AF2＝2BF2成立；
理由：∵AC是正方形ABCD的角平分线，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝45°+45°＝90°，
∴AE2+AF2＝EF2，
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴2BF2＝EF2，
∴AE2+AF2＝2BF2．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理、勾股定理的逆定理的运用，旋转的性质，平行线的判定，在解答的过程中要注意旋转过程中的不变量的运用．
25．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）由抛物线的对称性和等腰三角形的性质可求点P坐标，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，
∵P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，
∴点D在PC的垂直平分线上，
∴点C与点P关于对称轴直线x＝1对称，
∴点P的坐标为（2，3），
∵S四边形PBCD＝S△DCP+S△CBP，
∴S四边形PBCD＝×2×（4﹣3）+×2×3＝4．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
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2020-2021学年湖北省十堰市郧西县思源实验学校中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下
2．下面服装品牌LOGO中，是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2020的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
4．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
5．已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（﹣4，﹣3）在函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．若点（﹣2，y1）和（﹣1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2
6．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格的形状大小质地完全相同，当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二．填空题（共6小题）
11．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a﹣1的值是 ．
12．如图，AB为半圆的直径，且AB＝8，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为 ．
14．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是 ．
15．如图，将含有30°角的直角三角板OAB放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，且A点坐标为（，1），若将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A1的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．按要求解下列方程
（1）用配方法解方程：2x2+7x﹣4＝0；
（2）用公式法解方程：3x2﹣1＝4x．
18．如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
19．如图，有大小质地相同仅颜色不同的两双拖鞋（分左．右脚）共四只，放置于地板上．【可表示为（A1．A2），（B1．B2）】注：本题采用“长方形”表示拖鞋．
（1）若先从两只左脚拖鞋中取一只，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
（2）若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用“树形图”或“表格”列举出所有可能出现的情况，并求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．
21．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y＝（k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
22．某玩具批发商销售每件进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每件50元的价格销售，平均每天销售90件，单价每提高1元，平均每天就少销售3件．
（1）平均每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为 ；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每件售价不得高于55元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？
23．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：AD＝CD．
（2）求证：DE为⊙O的切线．
（3）若∠C＝60°，DE＝，求⊙O半径的长．
24．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．
（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．
（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试猜想：AE2+AF2＝2BF2是否成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，试举一反例说明．
25．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
2020-2021学年湖北省十堰市郧西县思源实验学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【解答】解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
2．下面服装品牌LOGO中，是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形的概念可得答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2020的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m＝1，再把2m2﹣4m+2020表示为2（m2﹣2m）+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+2020＝2（m2﹣2m）+2020＝2×1+2020＝2022．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．
5．已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（﹣4，﹣3）在函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．若点（﹣2，y1）和（﹣1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得出结果．
【解答】解：A、k＝﹣6＜0，函数的图象在第二、四象限，故说法错误；
B、因为﹣3×（﹣4）＝12≠﹣6，所以点（﹣4，﹣3）不在函数图象上，故说法错误
C、k＝﹣6＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法错误；
D、k＝﹣6＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为﹣2＜﹣1＜0，则y1＜y2，故说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
6．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格的形状大小质地完全相同，当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
【解答】解：设每个格点正方形的边长为1，
则阴影部分的面积为：42﹣×（1×4+2×4+2×3）＝7，
所以当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率是，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
8．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）
【分析】首先根据点A在抛物线y＝ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；
【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，
∴4＝a×（﹣2）2，
解得：a＝1
∴解析式为y＝x2，
∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），
∴OB＝OD＝2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴CD∥x轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2，
∴令y＝2，得2＝x2，
解得：x＝±，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接BC，作OE⊥AC于E．根据勾股定理求出BC，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：连接BC，作OE⊥AC于E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝OB，
∴OE＝BC＝，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，
可得AD∥OE，进而可得S△ACE＝S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC＝3DC，DH∥AF，可得3DH＝AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC＝S△ADG，所以S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC，即可求解．
【解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，），
∵AC＝3DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝k+××2m+×××2m＝k++＝12，
∴2k＝12，
∴k＝6；
方法二：求出D的坐标可以求出FH＝2m，FC＝3m，OC＝4m，×4m×（）＝2k＝12，可得k＝6．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a﹣1的值是 5 ．
【分析】把x＝2代入已知方程得到：4a﹣2b＝﹣3，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：把x＝2代入，得
4a﹣2b+3＝0，
所以4a﹣2b＝﹣3，
所以4b﹣8a﹣1＝﹣2（4a﹣2b）﹣1＝﹣2×（﹣3）﹣1＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12．如图，AB为半圆的直径，且AB＝8，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．
【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：+﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为 3 ．
【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，由垂径定理可得：AC＝AB，又由PA、PB是⊙O的切线，由切线长定理可得PA＝PB，由∠P＝60°，即可得△PAB是等边三角形，继而可求得∠OAC＝30°，则可求得AC的长，继而求得答案．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∴AC＝AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，OA⊥PA，
∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAB＝60°，
∴∠OAC＝90°﹣∠PAB＝30°，
在Rt△AOC中，OA＝3，
∴AC＝OA•cos30°＝3×＝，
∴AB＝2AC＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了切线长定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是 60° ．
【分析】连接OE、OF，如图，根据三角形内切圆的定义和切线的性质得到OE⊥AB，OF⊥BC，则利用四边形的内角和得到∠B+∠EOF＝180°，则可求出∠EOF＝120°，然后根据圆周角定理得到∠EPF的度数．
【解答】解：连接OE、OF，如图，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠B+∠EOF＝180°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠EPF＝∠EOF＝60°．
故答案为60°．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线的性质、等边三角形的性质和圆周角定理．
15．如图，将含有30°角的直角三角板OAB放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，且A点坐标为（，1），若将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A1的坐标为 （，﹣） ．
【分析】先根据题意画出点A′的位置，然后过点A1作A1C⊥OB，接下来依据旋转的定义和性质可得到OA的长和∠COA1的度数，最后依据特殊锐角三角函数值求解即可．
【解答】解：如图所示：过点A1作A1C⊥OB．
∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴∠AOA1＝75°，OA1＝OA．
∴∠COA1＝45°．
∵A（，1），
∴OA＝＝2，
∴OC＝2×＝，CA1＝2×＝．
∴A1的坐标为（，﹣）．
故答案为（，﹣）．
【点评】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到∠COA1＝45°是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 2 ．
【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据矩形的性质解答．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
则抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴对角线BD的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．按要求解下列方程
（1）用配方法解方程：2x2+7x﹣4＝0；
（2）用公式法解方程：3x2﹣1＝4x．
【分析】（1）根据配方法，可得方程的解；
（2）根据公式法，可得方程的解．
【解答】解：移项，得
2x2+7x＝4，
二次项系数化为1，得
x2+x＝2，
配方，得
（x+）2＝2+，
开方，得
x+＝，
x1＝，x2＝﹣4；
（2）化成一般式，得
3x2﹣4x﹣1＝0，
a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
b2﹣4ac＝28＞0，
x1＝＝＝，
x2＝＝＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟记公式并根据公式计算是解题关键．
18．如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积＝整个地毯面积的 ，列出方程求解即可；
（2）根据总价＝单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2＝×5×4，
解得：x1＝（不符合，舍去），x2＝．
答：配色条纹宽度为 米．
（2）条纹造价：×5×4×200＝850（元）
其余部分造价：（1﹣）×4×5×100＝1575（元）
∴总造价为：850+1575＝2425（元）
答：地毯的总造价是2425元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
19．如图，有大小质地相同仅颜色不同的两双拖鞋（分左．右脚）共四只，放置于地板上．【可表示为（A1．A2），（B1．B2）】注：本题采用“长方形”表示拖鞋．
（1）若先从两只左脚拖鞋中取一只，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
（2）若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用“树形图”或“表格”列举出所有可能出现的情况，并求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果，从中得出配成一双相同颜色的情况，即可求出概率；
（2）用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能的情况有：
共4种情况，其中配成一双相同颜色的有2种，
∴P配成一双相同颜色＝＝；
（2）用列表法表示所有可能的情况有：
共12种情况，其中配成一双相同颜色的有4种，
∴P配成一双相同颜色＝＝．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．
【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可分别表示出x1+x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根，
∴△≥0，即[﹣2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；
（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2（m﹣2），x1x2＝m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，
∵x12+x22＝56，
∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，
∵m≤1，
∴m＝﹣2．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根判别式与方程根的关系是解题的关键．
21．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y＝（k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）把A的坐标代入y＝，求出反比例函数的解析式，把A的坐标代入y＝x+b求出一次函数的解析式；
（2）求出D、B的坐标，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD计算，即可求出答案；
（3）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（4，1），
∴1＝，即k＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝．
∵一次函数y＝x+b（k≠0）的图象过点A（4，1），
∴1＝4+b，解得b＝﹣3，
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣3；
（2）∵令x＝0，则y＝﹣3，
∴D（0，﹣3），即DO＝3．
解方程＝x﹣3，得x＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣4），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×4+×3×1＝；
（3）∵A（4，1），B（﹣1，﹣4），
∴一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．
22．某玩具批发商销售每件进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每件50元的价格销售，平均每天销售90件，单价每提高1元，平均每天就少销售3件．
（1）平均每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为 y＝﹣3x+240 ；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每件售价不得高于55元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）平均每天销售量y＝原来的销售量90﹣3×相对于50元的单价提高的价格；
（2）销售利润W＝单价的利润×平均每天的销售量，代入即可得出W与x的函数关系式．
（3）根据题中所给的自变量的取值，结合（2）得到的关系式，即可求得二次函数的最值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝90﹣3（x﹣50）＝﹣3x+240；
（2）W＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600；
（3）y＝﹣3x2+360x﹣9600＝﹣3（x﹣60）2+1200，
故当x＝60时，y取最大值1200，
∵x＝60是二次函数的对称轴，且开口向下，
∴当x＜60时，y随x的增大而增大，
∵规定每件售价不得高于55元，
∴当x＝55时，W取得最大值为1125元，
即每件玩具的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．
23．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：AD＝CD．
（2）求证：DE为⊙O的切线．
（3）若∠C＝60°，DE＝，求⊙O半径的长．
【分析】（1）先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据等腰三角形的性质得AD＝CD；
（2）连接OD，如图，先证明OD为△BAC的中位线，则OD∥BC，再利用DE⊥BC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（3）先在Rt△CDE中计算出CE＝DE＝1，CD＝2CE＝2，再利用∠A＝∠C＝60°，AD＝CD＝2，然后在Rt△ADB中利用AB＝2AD求解．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD；
（2）证明：连接OD，如图，
∵AD＝CD，AO＝OB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥BC，
∴DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：在Rt△CDE中，∠C＝60°，DE＝，
∴CE＝DE＝×＝1，
∴CD＝2CE＝2，
∵∠A＝∠C＝60°，AD＝CD＝2，
在Rt△ADB中，AB＝2AD＝4，
即⊙O半径的长为2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
24．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．
（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．
（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试猜想：AE2+AF2＝2BF2是否成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，试举一反例说明．
【分析】（1）由条件可以得出△BFE是直角三角形，就有∠BFC＝90°，由旋转可得∠EBF＝∠AEB＝90°，就有∠AEB+∠EBF＝180°，从而得出结论．
（2）利用正方形的性质以及旋转的性质得出∠EAF＝90°，进而利用勾股定理得出AE2+AF2＝2BF2．
【解答】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴BE＝BF＝1，∠EBF＝∠ABC＝90°，∠AEB＝∠BFC
在△BFC中，
∵BF2+FC2＝12+（）2＝4，
BC2＝22＝4
∴BF2+FC2＝BC2
∴∠BFC＝90°，
∴∠AEB+∠EBF＝180°，
∴AE∥BF；
（2）解：AE2+AF2＝2BF2成立；
理由：∵AC是正方形ABCD的角平分线，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝45°+45°＝90°，
∴AE2+AF2＝EF2，
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴2BF2＝EF2，
∴AE2+AF2＝2BF2．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理、勾股定理的逆定理的运用，旋转的性质，平行线的判定，在解答的过程中要注意旋转过程中的不变量的运用．
25．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）由抛物线的对称性和等腰三角形的性质可求点P坐标，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，
∵P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，
∴点D在PC的垂直平分线上，
∴点C与点P关于对称轴直线x＝1对称，
∴点P的坐标为（2，3），
∵S四边形PBCD＝S△DCP+S△CBP，
∴S四边形PBCD＝×2×（4﹣3）+×2×3＝4．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
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