安徽省安庆市第四中学2021-2022学年是学期九年级数学期中考试【试卷+答案】　

这是一份安徽省安庆市第四中学2021-2022学年是学期九年级数学期中考试【试卷+答案】　，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安庆四中2021—2022学年第一学期九年级数学期中考试试卷

一、选择题（本大题10小题，每题4分，满分40分）
1．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．7
2．抛物线y＝（x+3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝（　　）

A． B． C． D．
4．抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2经过平移得到抛物线y＝﹣3x2，平移方法是（　　）
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
5．反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
6．大自然巧夺天工，一片小枫树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为8，那么AB的长度是（　　）

A．4﹣4 B．12﹣4 C．12+4 D．4+4
7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　）
A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝210
8．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BD•AB C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题4小题，每题5分，满分20分）
11．在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是　 　千米．
12．如图所示，点D，E分别在△ABC的两边BC，CA上，BD：DC＝1：3，AE：EC＝1：2，AD与BE相交于点G，如果AD＝12，那么AG的长为 　 　．

13．如图，在反比例函数的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为　 　．

14．已知抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）此抛物线的对称轴是直线　 　；
（2）已知点P（，﹣），Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，则a的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题2小题，每题8分，满分16分）
15．已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的长．
16．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．

四、解答题（本大题2小题，每题8分，满分16分）
17．如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）
（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；
（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．

18．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2时x的取值范围．


五、解答题（本大题2小题，每题10分，满分20分）
19．如图，一名男生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是二次函数的关系．铅球行进起点的高度为m，行进到水平距离为4m时达到最高处，最大高度为3m．
（1）求二次函数的解析式（化成一般形式）；
（2）求铅球推出的距离．

20．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：＝；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．


六、解答题（本题12分）
21．反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝3BD．
（1）求k的值；
（2）在y轴上确定一点M，使点M到A，B两点距离之和d＝MA+MB最小，求点M的坐标．


七、解答题（本题满分12分）
22．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？


八、解答题（本题满分12分）
23．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点M，N分别在AC，BC上，将△ABC沿MN折叠，顶点C恰好落在斜边的P点上．
（1）如图1，若点N为BC中点时，求证：MN∥AB；
（2）如图2，当MN与AB不平行时，求证：；
（3）如图3，当AC≠BC且MN与AB不平行时，（2）中的等式还成立吗？请直接写出结论．










安庆四中2021—2022学年第一学期九年级数学期中考试试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每题4分，满分40分）
1．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．7
【分析】根据合比性质计算即可．
【解答】解：，
则＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是比例的性质，掌握比例的合比性质是解题的关键．
2．抛物线y＝（x+3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+3）2+5，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，5），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会根据顶点式，直接写出顶点坐标．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AD：AB＝DE：BC，
∵AD：BD＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∴DE：BC＝1：3．
故选：A．
【点评】考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，本题注意将AD：BD＝1：2转化为AD：AB＝1：3．
4．抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2经过平移得到抛物线y＝﹣3x2，平移方法是（　　）
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
【分析】由抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2得到顶点坐标为（﹣1，﹣2），而平移后抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
平移后抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），
∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
5．反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
【分析】根据反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，可知m﹣2＞0，从而可以取得m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴m﹣2＞0，
解得，m＞2，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．大自然巧夺天工，一片小枫树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为8，那么AB的长度是（　　）

A．4﹣4 B．12﹣4 C．12+4 D．4+4
【分析】根据黄金分割的定义得到AP＝AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB，
∴AB＝AP＝×8＝4+4，
故选：D．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB．
7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　）
A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝210
【分析】根据题意列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝210，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．
8．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BD•AB C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵AC2＝AD•AB，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵BC2＝BD•AB，
∴＝，
添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理的内容是解此题的关键．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴右侧，得b＞0，抛物线与y轴正半轴相交，得c＞0，进而即可判断；
②根据抛物线对称轴是直线x＝1，即﹣＝1，可得b＝﹣2a，进而可以判断；
③根据顶点坐标和b＝﹣2a，进而可以判断；
④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，根据b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判断．
【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：
a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，
所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以c＞0，
所以abc＜0，
所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，
即﹣＝1，
所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，
所以②正确；
③∵b＝﹣2a，
∴b2＝4a2，
如果4a+b2＜4ac，
那么4a+4a2＜4ac，
∵a＜0，
∴c＜1+a，
而根据抛物线与y轴的交点，可知c＞1，
∴结论③错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0，
所以④正确．
所以正确的是②④，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质．
10．如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（ ﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
Sn＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二、填空题（本大题4小题，每题5分，满分20分）
11．在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是　 　千米．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【解答】解：设实际距离为xcm，则：
1：500000＝4：x，
解得x＝2000000．
2000000cm＝20000m＝20km．
故答案为：20．
【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．
12．如图所示，点D，E分别在△ABC的两边BC，CA上，BD：DC＝1：3，AE：EC＝1：2，AD与BE相交于点G，如果AD＝12，那么AG的长为 　 　．

【分析】过D作DH∥AC交BE于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DH∥AC交BE于H，

∴△BDH∽△BCE，
∴，
∴DH＝CE，
∵AE：EC＝1：2，
∴CE＝2AE，
∴DH＝AE，
∵DH∥AC，
∴△DHG∽△AEG，
∴＝，
∴，
∴＝，
∵AD＝12，
∴DG＝AG＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键．
13．如图，在反比例函数的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为　 　．

【分析】设A（x、y），根据函数解析式可知xy＝4，由已知得BC＝y，OD＝3OC＝3x，再根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：设A（x、y），由反比例函数可知xy＝4，
BC＝AC＝y，OD＝3OC＝3x，
∴S△OBD＝BC×OD＝×y×3x＝xy＝×4＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标与系数的关系，反比例函数的系数与图象面积的关系．关键是明确线段之间的关系．
14．已知抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）此抛物线的对称轴是直线　 　；
（2）已知点P（，﹣），Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，则a的取值范围是　 　．
【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣），根据题意A与B关于对称轴x＝1对称；
（2）①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，所以函数与AB无交点；
②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，解得x＝或x＝，当≤2时，a≤﹣．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，
∴A（0，﹣）
∴点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣），
∵点B也在抛物线上，
∴A、B关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣，
①a＞0时，
当x＝2时，y＝﹣＜2，
当y＝﹣时，x＝0或x＝2，
∴函数与PQ无交点；
②a＜0时，
当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，
解得，x＝或x＝，
当≤2时，a≤﹣；
∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
故答案为a≤﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，分类讨论交点是解题的关键．
三、解答题（本大题2小题，每题8分，满分16分）
15．已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的长．
【分析】根据比例中项的概念得到MN2＝AB•CD，即可求得线段MN的值．
【解答】解：∵线段MN是AB，CD的比例中项，
∴AB：MN＝MN：CD，
∴MN 2＝AB•CD，
∴MN＝，
∵AB＝4cm，CD＝9cm，
∴MN＝＝6（cm）．
【点评】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键．
16．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2可求出m的值，从而得到抛物线解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，从而得到二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）把（0，5）代入y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2＝5，
解得m＝3
所以二次函数解析式为y＝x2+6x+5；
（2）因为y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x＝﹣3．
【点评】本题考查了在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
四、解答题（本大题2小题，每题8分，满分16分）
17．如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）
（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；
（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．

【分析】（1）直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案；
（2）直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案．
【解答】解：（1）如图2所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为2；

（2）如图3所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为．

【点评】此题主要考查了相似变换，正确应用网格分析是解题关键．

18．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2时x的取值范围．

【分析】（1）先A点坐标代入y2＝（x＞0）求出m确定反比例函数解析式为y2＝；在把B（a，2）代入y2＝求出a，确定B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法确定一次函数解析式；
（2）观察函数图象，当1＜x＜3时，一次函数图象都在反比例函数图象上方．
【解答】解：（1）把A（1，6）代入y2＝得m＝1×6＝6，
所以反比例函数解析式为y2＝；
把B（a，2）代入y2＝得2a＝6，解得a＝3，
所以B点坐标为（3，2），
把A（1，6）和B（3，2）代入y1＝kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y1＝﹣2x+8；
（2）当1＜x＜3时，y1＞y2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
五、解答题（本大题2小题，每题10分，满分20分）
19．如图，一名男生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是二次函数的关系．铅球行进起点的高度为m，行进到水平距离为4m时达到最高处，最大高度为3m．
（1）求二次函数的解析式（化成一般形式）；
（2）求铅球推出的距离．

【分析】（1）把（0，）代入y＝a（x﹣4）2+3，求出a的值即可；
（2）解一元二次方程即可．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+3，
把（0，）代入y＝a（x﹣4）2+3，
解得，a＝﹣，
则二次函数的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+3＝﹣x2+x+；
（2）﹣x2+x+＝0，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝10，
则铅球推出的距离为10m．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．

20．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：＝；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．

【分析】（1）根据折叠的性质得到∠APO＝∠B＝90°，根据相似三角形的判定定理证明△OCP∽△PDA，进而解答即可；
（2）根据相似三角形的比解答；
【解答】证明：（1）由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠OPC＝90°，又∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠APD＝∠POC，又∠D＝∠C＝90°，
∴△OCP∽△PDA，
∴＝；
（2）∵OP与PA的比为1：2，
∴PC＝AD＝4，
设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，
在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，即x2＝82+（x﹣4）2，
解得，x＝10，即AB＝10；
【点评】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
六、解答题（本题12分）
21．反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝3BD．
（1）求k的值；
（2）在y轴上确定一点M，使点M到A，B两点距离之和d＝MA+MB最小，求点M的坐标．

【分析】（1）A（1，3），则AB＝3，OB＝1，而AB＝3BD，故BD＝1，则D（1，1），将D坐标代入反比例解析式得：k＝1；
（2）作点B（1，0）关于y轴的对称点E（﹣1，0），连接AE交y轴于点M，则点M为所求点，即可求解．
【解答】解：（1）∵A（1，3），AB⊥x轴，
∴AB＝3，OB＝1，
∵AB＝3BD，
∴BD＝1，
∴D（1，1），
将D坐标代入反比例解析式得：k＝1；

（2）作点B（1，0）关于y轴的对称点E（﹣1，0），连接AE交y轴于点M，则点M为所求点，

理由：d＝MA+MB＝MA+ME＝AE为最小，
设直线AE的表达式为y＝mx+b，则，解得，
故AE的表达式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
故点M的坐标为（0，）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．

七、解答题（本题满分12分）
22．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，卖出了（60﹣x）（300+20x）元，原进价共40（300+20x）元，则y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x）．
（2）根据x＝﹣时，y有最大值即可求得最大利润．
【解答】解：（1）y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x），
即y＝﹣20x2+100x+6000．
因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可）．
解得0≤x＜20（或0＜x＜20）；

（2）当时，
y有最大值，
即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用以及画图能力，难度中等．





八、解答题（本题满分12分）
23．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点M，N分别在AC，BC上，将△ABC沿MN折叠，顶点C恰好落在斜边的P点上．
（1）如图1，若点N为BC中点时，求证：MN∥AB；
（2）如图2，当MN与AB不平行时，求证：；
（3）如图3，当AC≠BC且MN与AB不平行时，（2）中的等式还成立吗？请直接写出结论．
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠CNM＝∠PNM，CN＝PN，得到PN＝BN，根据等腰直角三角形的性质、平行线的判定定理证明结论；
（2）过点M作ME⊥AB于E，过点N作NF⊥AB于F，证明△MEP∽△PFN，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据等腰直角三角形的性质得到ME＝AE，PN＝BF，根据比例的性质计算，证明结论；
（3）仿照（2）的证明方法可以判断（2）中的等式不成立．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵点N为BC中点，
∴CN＝BN，
由折叠的性质可知，∠CNM＝∠PNM，CN＝PN，
∴PN＝BN，
∴∠NPB＝∠B＝45°，
∴∠BNP＝90°，
∴∠CNM＝45°，
∴∠CNM＝∠B，
∴MN∥AB；
（2）证明：如图2，过点M作ME⊥AB于E，过点N作NF⊥AB于F，
由折叠的性质可知，MP＝MC，NP＝NC，∠MPN＝∠C＝90°，
∴∠MPE+∠NPF＝90°，
∵∠PNF+∠NPF＝90°，
∴∠MPE＝∠PNF，
∵∠MEP＝∠PFN＝90°，∠MPE＝∠PNF，
∴△MEP∽△PFN，
∴＝＝，
∵ME⊥AB，NF⊥AB，∠B＝∠A＝45°，
∴ME＝AE，PN＝BF，
∴＝＝＝＝＝，
∴＝；
（3）解：不成立，
理由如下：过点M作MG⊥AB于G，过点N作NH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，AC≠BC，不妨设AC＜BC，
则∠A＜45°，∠B＞45°，
∴MG＜AG，NH＞BH，
由（2）的证明方法可知：≠．


【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、翻转变换的性质、比例的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．