专题突破1 运动图像 追及与相遇问题学案

这是一份专题突破1 运动图像 追及与相遇问题学案，共22页。学案主要包含了匀变速直线运动的图像，追及与相遇问题等内容，欢迎下载使用。

专题突破1　运动图像　追及与相遇问题


一、匀变速直线运动的图像
1.直线运动的x-t图像
(1)意义:反映了直线运动的物体①　位移　随②　时间　变化的规律。 
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的绝对值:表示物体速度的③　大小　。 
②斜率的正负:表示物体速度的④　方向　。 
(3)两种特殊的x-t图像

①若x-t图像是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于⑤　静止　状态。(如图中甲所示) 
②若x-t图像是一条倾斜的直线,说明物体在做⑥　匀速直线　运动。(如图中乙所示) 
2.直线运动的v-t图像
(1)意义:反映了直线运动的物体⑦　速度　随⑧　时间　变化的规律。 
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的绝对值:表示物体⑨　加速度　的大小。 
②斜率的正负:表示物体⑩　加速度　的方向。 
(3)两种特殊的v-t图像

①匀速直线运动的v-t图像是与横轴　平行　的直线。(如图中甲所示) 
②匀变速直线运动的v-t图像是一条　倾斜　的直线。(如图中乙所示) 
(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义
①图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的　位移　。 
②若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为　正方向　;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为　负方向　。 
注意　x-t图像与v-t图像不是物体的运动轨迹,反映了物体位移或速度随时间变化的规律。
二、追及与相遇问题
1.追及问题的两类情况
(1)按结果分类
①若后者能追上前者,追上时,两者处于　同一　位置,且后者速度一定不小于前者速度。 
②若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度　相等　时,两者相距最近。 
(2)按初始条件分类
①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题:速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速直线运动)。
a.若两者速度相等时,追者位移仍小于被追者位移与s0之和,则永远追不上,此时两者间有最小距离。
b.若两者相遇时,速度也相等,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。
c.若两者相遇时,追者速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,其间速度相等时两者间距有一个极大值。
②从同一地点出发开始同向运动的问题:速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速直线运动)。
a.当两者速度相等时两者间有最大距离。
b.两者位移相等时,则追上。
2.相遇问题
(1)同向运动的两物体追上即相遇,两物体位移大小　之差　等于开始时两物体间距。 
(2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和　等于　开始时两物体的距离时即相遇。 
注意　追及、相遇问题中速度相等是追上或追不上、距离最大或最小的转折点,应该注意。

1.判断下列说法对错。
(1)x-t图像表示物体的运动轨迹。 ( ✕ )
(2)x-t图像和v-t图像都不能描述曲线运动。 ( √ )
(3)v-t图像上两图线的交点表示两物体速度相等,不代表相遇。　 ( √ )
(4)两物体同向运动恰好不相碰,则此时两物体速度相等。 ( √ )
(5)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小、匀速运动的汽车相撞。 ( ✕ )
(6)两个物体在追及过程中,物体之间的距离总是逐渐变小。 ( ✕ )
2.(多选)(新人教版必修第一册P18·T5改编)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶,以x表示它对于出发点的位移。图为汽车在t=0到t=40 s这段时间的x-t图像。下列分析正确的是 (　　)

A.汽车离出发点最远的距离为30 m
B.汽车在10~20 s内匀速运动
C.汽车在40 s末回到出发点
D.汽车在20~40 s内加速度大小为1.5 m/s2
答案　AC
3.(2020广东湛江模拟)某同学在开展研究性学习的过程中,利用速度传感器研究某一物体以1 m/s的初速度做直线运动的速度v随时间t变化的规律,并在计算机上得到了前4 s内物体速度随时间变化的关系图像,如图所示。则下列说法正确的是　 (　　)

A.物体在1 s末速度方向改变
B.物体在3 s末加速度方向改变
C.前4 s内物体的最大位移出现在第3 s末,大小为3.5 m
D.物体在第2 s末与第4 s末的速度相同
答案　C
4.平直公路上的甲车以10 m/s的速度做匀速直线运动,乙车静止在路面上,当甲车经过乙车旁边时,乙车立即以大小为1 m/s2的加速度沿相同方向做匀加速运动,从乙车加速开始计时,则　 (　　)
A.乙车追上甲车所用的时间为10 s
B.乙车追上甲车所用的时间为20 s
C.乙追上甲时,乙的速度是15 m/s
D.乙追上甲时,乙的速度是10 m/s
答案　B

考点一　运动图像的理解及应用

　　1.应用运动图像的三点注意
(1)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。
(2)x-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。
(3)x-t图像和v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2.应用运动图像解题“六看”
项目
x-t图像
v-t图像
轴
横轴为时间t,纵轴为位移x
横轴为时间t,纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示速度方向变化,交点表示相遇
拐点表示加速度方向变化,交点表示速度相同
　　例1　(多选)如图所示为一质点做直线运动的速度-时间图像,下列说法中正确的是 (　　)

A.整个过程中,CD段和DE段的加速度相同
B.整个过程中,BC段的加速度最大
C.整个过程中,C点对应时刻离出发点最远
D.BC段对应时间运动的路程是34 m
审题关键　(1)0~22 s内,质点的运动方向是否发生变化?什么时刻离出发点最远?
提示:当图线过时间轴时质点运动方向发生改变,t=20 s时图线过时间轴,即速度方向发生了改变。t=20 s时离出发点最远。
(2)v-t图像中图线与时间轴所围的“面积”的含义是什么?
提示:v-t图像中图线与时间轴所围的“面积”表示位移。
答案　AD　v-t图像的斜率表示加速度,由图知CD段和DE段在同一直线CE上,斜率相同,故CD段和DE段加速度相同,A正确;由题图知,整个过程中CE段斜率绝对值最大,加速度最大,B错误;t=20 s时速度方向改变,所以D点所表示的状态离出发点最远,C错误;BC段和时间轴围成的面积为34 m,D正确。
解题感悟
用速度-时间图像巧得五个运动量
(1)运动速度:从速度轴上直接读出,负值表示反向运动。
(2)运动时间:从时间轴上直接读出。
(3)运动加速度:从图线的斜率得到加速度,斜率的绝对值表示加速度的大小,斜率的正负反映了加速度的方向。例题中BC段加速度与CD段加速度方向相反。
(4)运动的位移:从图线与时间轴围成的面积得到位移,图线与时间轴围成的面积表示位移的大小,横轴以上为“+”值,横轴以下为“-”值,整个过程的位移是它们的代数和,如CD段的位移为正值,DE段为负值,CE段的总位移为0。
(5)运动的路程:因为路程是标量。路程是图线与时间轴围成的面积的绝对值的和。
　　例2　(多选)(2020山东济宁模拟)甲、乙两质点同时同地在外力的作用下做匀变速直线运动,其运动的xt-t图像如图所示。关于甲、乙两质点的运动情况,下列说法中正确的是 (　　)

A.乙质点做初速度为c的匀加速直线运动
B.甲质点做加速度大小为2cd的匀加速直线运动
C.t=d2时,甲、乙两质点速度大小相等
D.t=d4时,甲、乙两质点速度大小相等
答案　BD　根据匀变速直线运动的位移时间公式x=v0t+12at2得:xt=v0+12at,对于乙质点,由图可知,v0乙=c,12a乙=-cd,乙的加速度为a乙=-2cd,故乙质点做初速度为c、加速度为-2cd的匀减速直线运动,故A错误;对于甲质点,由图可知,v0甲=0,12a甲=cd,甲的加速度为a甲=2cd,故甲质点做初速度为0、加速度大小为2cd的匀加速直线运动,故B正确;t=d2时,甲质点的速度v甲=a甲t=2cd·d2=c,乙的速度v乙=v0乙+a乙t=c-2cd·d2=0,故C错误;t=d4时,甲质点的速度v甲=a甲t=2cd·d4=12c,乙的速度v乙=v0乙+a乙t=c-2cd·d4=12c,故D正确。
解题感悟
非常规图像问题
1.四类图像
(1)a-t图像
由v=v0+at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv,如图甲所示。
(2)xt-t图像
由x=v0t+12at2可得xt=v0+12at,图像的斜率为12a,如图乙所示。

(3)v2-x图像
由v2-v02=2ax可知v2=v02+2ax,图像斜率为2a。
(4)x-v图像
x与v的关系式:2ax=v2-v02,图像表达式:x=12av2-12av02。
2.解题技巧
(1)用函数思想分析图像:
图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系,因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系,分析图像的意义。
(2)要注意应用解析法和排除法,两者结合,提高图像类选择题的解题准确率和速度。


　　1.[图像综合问题](2020福建三明质检)如图所示为物体做直线运动的图像,下列说法正确的是 (　　)


A.甲图中,物体在0~t0这段时间内的位移小于v0t02
B.乙图中,物体的加速度大小为2 m/s2
C.丙图中,阴影面积表示t1~t2时间内物体的加速度变化量
D.丁图中,t=3 s时物体的速度大小为25 m/s
答案　D
2.[x-v图像问题]研究表明,人的刹车反应时间(即图甲中“反应过程”所用时间)比较短,但饮酒会导致反应时间延长。在某次试验中,志愿者少量饮酒后驾车以某一速度在试验场的水平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行驶了一段距离。减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示,此过程可视为匀变速直线运动。根据图甲和图乙提供的信息,下列说法错误的是 (　　)

甲

乙
A.汽车在反应过程中运动的速度大小为20 m/s
B.汽车在反应过程中运动的位移大小为25 m
C.汽车在减速过程中的加速度大小为8 m/s2
D.汽车在减速过程中所用的时间为2.5 s
答案　B
考点二　追及、相遇问题

考向一　相撞问题
　　例3　在水平轨道上有两列火车A和B,相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。
解题指导　本题可运用“物理分析法”“数学分析法”“图像分析法”等方法解题。
答案　v0≤6ax
解析　解法一　物理分析法

设两车运动速度相等时,所用时间为t
由v0-(2a)t=at得t=v03a
A车位移xA=v0t-12(2a)t2
B车位移xB=12at2
两车不相撞的条件:xB+x≥xA
即12at2+x≥v0t-at2
联立得v0≤6ax
解法二　数学分析法
设两车运动了时间t,则
xA=v0t-at2
xB=12at2
两车不相撞需要满足
Δx=xB+x-xA=32at2-v0t+x≥0
则Δxmin=4×32ax-v024×32a≥0
解得v0≤6ax
解法三　图像分析法
利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图所示

设经过t1时间两车刚好不相撞,则对A车有vt=v0-2at1
对B车有vt=at1
联立以上两式解得t1=v03a
经时间t1两车发生的位移之差,即原来两车间的距离x,可用图中的阴影面积来表示,由图像可知x=12v0t=12v0·v03a=v026a,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax
解法四　相对运动法
巧选参考系求解。以B车为参考系,A车的初速度为v0,加速度为a'=-2a-a=-3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是v=0,这一过程A车相对于B车的位移为x,由运动学公式v2-v02=2ax得:
02-v02=2·(-3a)·x
所以v0=6ax
故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax。
解题感悟
1.追及、相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。
(2)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画过程示意图得到。
2.常用解题方法
(1)物理分析法:寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
(2)数学分析法:设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇。
(3)图像分析法:①若用位移-时间图像求解,分别作出两物体的位移-时间图线,如果两物体的位移-时间图线相交,则说明两物体相遇;②若用速度-时间图像求解,则注意比较速度-时间图线与时间轴包围的面积。
考向二　追及问题
　　例4　一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度开始行驶,恰在这一时刻一辆自行车以v自=6 m/s的速度匀速驶来,从旁边超过汽车。
(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?
(2)什么时候汽车能追上自行车?此时汽车的速度是多少?
审题关键　(1)追上前汽车和自行车相距最远的条件是什么?
提示:汽车和自行车速度相等。
(2)追上时汽车和自行车的位移关系是什么?
提示:位移相等。
解题指导　本题可运用“物理分析法”“相对运动法”“数学分析法”“图像分析法”等方法解题。
答案　见解析
解析　(1)解法一　物理分析法
如图甲所示,汽车与自行车的速度相等时相距最远,设此时经过的时间为t1,汽车和自行车间的距离为Δx,则有v自=at1

甲
所以t1=v自a=2 s
Δx=v自t1-12at12=6 m。
解法二　相对运动法
以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0=v汽初-v自=0-6 m/s=-6 m/s
末速度vt=v汽车-v自=0
加速度a'=a-a自=3 m/s2-0=3 m/s2
所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为
t1=vt-v0a'=2 s
最大距离Δx=vt2-v022a'=-6 m
负号表示汽车在后。
注意:利用相对运动的方法解题,要抓住三个关键:①选取哪个物体为研究对象;②选取哪个物体为参考系;③规定哪个方向为正方向。
解法三　数学分析法
设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距为Δx,则Δx=v自t1-12at12
代入已知数据得Δx=6t1-32t12
由二次函数求极值的条件知:t1=2 s时,Δx有最大值6 m。
所以经过t1=2 s后,汽车和自行车相距最远,为Δx=6 m。
解法四　图像分析法
自行车和汽车的v-t图像如图乙所示。由图可以看出,在相遇前,t1时刻汽车和自行车速度相等,相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积,所以有

乙
t1=v自a=63 s=2 s
Δx=v自t12=6×22 m=6 m。
(2)解法一　物理分析法
当汽车和自行车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,则有v自t2=12at22
解得t2=2v自a=2×63 s=4 s
此时汽车的速度v2=at2=12 m/s。
解法二　图像分析法
由前面画出的v-t图像可以看出,在t1时刻之后,当由图线v自、v汽和t=t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时,汽车与自行车的位移相等,即汽车与自行车相遇,所以t2=2t1=4 s,v2=at2=3×4 m/s=12 m/s。
解题感悟
追及、相遇问题两种典型情况
假设物体A追物体B,开始时,两个物体相距x0,有两种典型情况:
(1)初速度小的追初速度大的运动的物体。当vA=vB时,两者相距最远。
(2)初速度大的追初速度小的运动的物体。当vA=vB时,
①若已超越则相遇两次。
②若恰好追上,则相遇一次。
③若没追上,则无法相遇,两者之间有最小距离。
考向三　运动图像与追及、相遇问题的综合应用
　　例5　(多选)(2016课标Ⅰ,21,6分)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图像如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶,则 (　　)

A.在t=1 s时,甲车在乙车后
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案　BD　本题考查运动的图像及追及相遇问题,通过对甲、乙运动情况的分析,考查学生的推理能力,渗透了科学思维中的模型建构与科学推理要素。由题中v-t图像得a甲=
10 m/s2,a乙=5 m/s2,两车在t=3 s时并排行驶,此时x甲=12a甲t2=12×10×32 m=45 m,x乙=v0t+
12a乙t2=10×3 m+12×5×32 m=52.5 m,所以t=0时甲车在前,与乙车的距离为L=x乙-x甲=7.5 m,B项正确。t=1 s时,x甲'=12a甲t2=5 m,x乙'=v0t+12a乙t2=12.5 m,此时x乙'=x甲'+L=12.5 m,所以另一次并排行驶的时刻为t=1 s,故A、C项错误;两次并排行驶的位置沿公路方向相距L'=x乙-
x乙'=40 m,故D项正确。
解题感悟
追及、相遇问题常见情境
(1)速度小者追速度大者
追及类型
图像描述
相关结论
匀加速
追匀速

设x0为开始时两物体间的距离,则应有以下结论:
①t=t0以前,后面物体与前面物体间的距离增大
②t=t0时,两物体相距最远,为x0+Δx
③t=t0以后,后面物体与前面物体间的距离减小
④一定能追上且只能相遇一次
匀速追
匀减速

匀加速追
匀减速

　　(2)速度大者追速度小者
追及类型
图像描述
相关结论
匀减速
追匀速

设x0为开始时两物体间的距离,开始追时,后面物体与前面物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻:
①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件
②若Δx ③若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻两物体第一次相遇,则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇

A组　基础达标
1.小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图像中,能描述该过程的是 (　　)

答案　A
2.一辆摩托车在t=0时刻由静止开始在平直的公路上行驶,其运动过程的a-t图像如图所示,根据已知信息,可知 (　　)

A.摩托车的最大动能
B.摩托车在30 s末的速度大小
C.在0~30 s的时间内牵引力对摩托车做的功
D.10 s末摩托车开始反向运动
答案　B
3.(2020山东济南三模)百公里加速是衡量车辆极限加速能力的指标,直接体现了车辆的动力特性。某新款汽车百公里加速过程的v-t图像如图所示,则此过程中位移和加速度大小约为 (　　)

A.90 m,5 m/s2　　　
B.90 m,15 m/s2
C.320 m,5 m/s2　　　
D.320 m,15 m/s2
答案　A
4.(2020山东济宁三模)从塔顶同一位置由静止先后释放两个小球A、B,不计空气阻力。从释放B球开始计时,在A球落地前,两球之间的距离Δx随时间t变化的图像为 (　　)

答案　D
5.(2020山东泰安模拟)某物体做直线运动,设该物体运动的时间为t,位移为x,其xt2-1t图像如图所示,则下列说法正确的是 (　　)

A.物体做的是匀加速直线运动
B.t=0时刻,物体的速度为ab
C.0~b时间内物体的位移为2ab2
D.0~b时间内物体做匀减速直线运动,b~2b时间内物体做反向的匀加速直线运动
答案　D　
6.甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动,它们运动的加速度随时间变化的图像如图所示。关于两车的运动情况,下列说法中正确的是 (　　)

A.在0~4 s内甲车做匀加速直线运动,乙车做匀减速直线运动
B.在0~2 s内两车间距逐渐增大,2~4 s内两车间距逐渐减小
C.在t=2 s时甲车的速度为3 m/s,乙车的速度为4.5 m/s
D.在t=4 s时甲车恰好追上乙车
答案　C　由题图可知,在0~4 s内甲车做匀加速直线运动,乙车做加速度均匀减小的变加速直线运动,故A项错误;a-t图线与t轴所围面积表示速度的变化量,由图可知,t=4 s时,甲、乙两车的速度相等,则在0~2 s内两车间距逐渐增大,在2~4 s内两车间距也在逐渐增大,故B项错误;在t=2 s时甲车的速度为v甲=a甲t2=1.5×2 m/s=3 m/s,乙车的速度为v乙=1.5+3.02×2 m/s=4.5 m/s,故C项正确;在t=4 s时,甲车的速度为v'甲=a甲t4=1.5×4 m/s=6 m/s,乙车的速度为v'乙=12×3×4 m/s=6 m/s,此时两车相距最远,故D项错误。
7.(多选)一辆汽车正以v1=10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶,发现正前方有一辆自行车以v2=4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做加速度大小为a=0.6 m/s2的匀减速运动,汽车恰好没有碰上自行车,则 (　　)

A.关闭油门后,汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为10 s
B.关闭油门后,汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为503 s
C.关闭油门时,汽车与自行车的距离为30 m
D.关闭油门时,汽车与自行车的距离为503 m
答案　AC　撞不上的临界条件为速度相等时恰好追上,则有v1-at=v2,代入数据解得t=10 s,选项A正确,B错误;设汽车的位移为x1,自行车的位移为x2,则由位移关系有x1=x2+x,即v1+v22t=x+v2t,代入数据解得x=30 m,选项C正确,D错误。
8.蓝牙(Bluetooth)是一种无线技术标准,可实现固定设备、移动设备之间的短距离数据交换(使用2.4~2.485 GHz的ISM波段的UHF无线电波)。现有两同学用安装有蓝牙设备的玩具车甲、乙进行实验:如图所示,甲、乙两车开始处于同一直线上相距为d=4.0 m的O1、O2两点,甲车从O1点以初速度v0=4 m/s、加速度a1=1 m/s2向右做匀加速运动,乙车从O2点由静止开始以加速度a2=2 m/s2向右做匀加速运动,已知当两车间的距离超过s0=10 m时,两车无法实现通信,忽略信号传递的时间。已知6=2.4。求:

(1)甲、乙两车在相遇前的最大距离;
(2)甲、乙两车在相遇前能通信的时间。
答案　见解析
解析　(1)设当经过t0时间两车速度大小相等,此时两车相距最远
即v0+a1t0=a2t0
解得t0=4 s
甲、乙两车在相遇前的最大距离为
Δsm=d+v0t0+12a1t02-12a2t02
解得Δsm=12 m。
(2)设经过时间t1两车相遇,
则有d+v0t1+12a1t12=12a2t12
解得t1=(4±26) s
舍去负解,可得t1=8.8 s
设经过时间t两车相距为s0,则有
d+v0t+12a1t2-12a2t2=s0
解得t2=2 s,t3=6 s
甲、乙两车在相遇前能通信的时间为第0~2 s和第6~8.8 s,共4.8 s。
B组　综合提升
9.(2020江西抚州模拟)近年来,交通运输部发出通知部署ETC推广安装。如图是小车分别经过收费站人工通道和ETC通道的v-t图像,已知小车加速、减速时加速度大小均为a,小车通过两种通道时从开始减速到恢复到原速度所行驶的距离相等,则与走人工通道相比,走ETC通道节省的时间为 (　　)

A.v0-v1a+Δt　　　B.2(v0-v1)a+Δt
C.v1a+Δt　　　D.2v1a+Δt
答案　C　从开始减速到恢复到原速度所行驶的距离为
x=2×v022a=v02a
则小车通过ETC通道匀速运动的位移为
x匀=x-2×v02-v122a=v12a
小车在人工通道经过的时间为
t1=2×v0a+Δt=2v0a+Δt
小车在ETC通道经过的时间为
t2=2×v0-v1a+x匀v1=2v0a-v1a
所以与走人工通道相比,走ETC通道节省的时间为t=t1-t2=v1a+Δt,故C正确,A、B、D错误。
10.(2020江苏徐州联考)某科学小组研制了一种探测器,其速度大小可随运动情况进行调节。如图所示,在某次实验中,该探测器从原点O一直沿x轴正向移动,且其速度大小与位移大小成反比。已知探测器在A、B两点的速度分别为4 m/s和2 m/s,从O点运动到B点位移为2 m,则探测器从A点运动到B点的时间为 (　　)

A.38 s　　　B.18 s
C.34 s　　　D.14 s
答案　A　根据题述速度大小与位移大小成反比,可画出1v随位移x变化的图线,如图所示,根据vAxA=vBxB可得O点到A点的位移为xA=1 m。根据1v随位移x变化的图线与x轴围成的面积表示探测器运动的时间,可得探测器从A点运动到B点的时间为12+14×(2-1)×12 s=38 s,选项A正确。

11.(2020山东临沂模拟)公共汽车在十字路口被红灯阻停,一跑步者以6.0 m/s的速度行至距汽车25 m处时,绿灯亮了,汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,汽车与人的前进方向相同,则 (　　)
A.人能追上公共汽车,追赶过程中人跑了36 m
B.人不能追上公共汽车,人、车最近距离为7 m
C.人能追上公共汽车,追上车前人共跑了43 m
D.人不能追上公共汽车,且车开动后,人、车之间的距离越来越远
答案　B　在人跑到距汽车25 m处时,绿灯亮了,汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,假设经过时间t0人能追上汽车,则vt0=x0+12at02,即t02-12t0+50=0,Δ<0,说明追不上。当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近,汽车加速到6.0 m/s所用时间t=6 s,人运动距离为6×6 m=36 m,汽车运动距离为18 m,二者最近距离为18 m+25 m-36 m=7 m,选项A、C错误,B正确;人不能追上公共汽车,且车开动后,人、车之间的距离先减小后增大,选项D错误。
12.甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶,甲车的速度为v1=16 m/s,乙车的速度为v2=12 m/s,乙车在甲车的前面。当两车相距L=6 m时,两车同时开始刹车,从此时开始计时,甲车以大小为a1=2 m/s2的加速度刹车,6 s后立即改做匀速运动,乙车刹车的加速度大小为a2=1 m/s2。求:
(1)从两车开始刹车时开始计时,甲车第一次追上乙车的时间;
(2)两车相遇的次数;
(3)两车速度相等的时间。
答案　见解析
解析　(1)在甲减速时,设经时间t相遇,甲和乙的加速度大小分别为a1、a2,位移大小分别为x1、x2,则有
x1=v1t-12a1t2,x2=v2t-12a2t2,x1=x2+L
联立解得t1=2 s,t2=6 s
即在甲车减速时,相遇两次,第一次相遇的时间为t1=2 s
(2)当t2=6 s时,甲车的速度为v1'=v1-a1t2=4 m/s,乙车的速度为v2'=v2-a2t2=6 m/s,甲车的速度小于乙车的速度,但乙车做减速运动,设再经Δt甲追上乙,有:
v1'Δt=v2'Δt-12a2(Δt)2
解得Δt=4 s
此时乙仍在做减速运动,此解成立。
综合以上分析可知,甲、乙两车共相遇3次
(3)第一次速度相等的时间为t3,
v1-a1t3=v2-a2t3,解得t3=4 s
甲车匀速运动的速度为4 m/s,第二次速度相等的时间为t4,有v1'=v2-a2t4,解得t4=8 s