第二节　充分条件与必要条件,全称量词与存在量词学案

这是一份第二节　充分条件与必要条件,全称量词与存在量词学案，共15页。学案主要包含了易错点分析等内容，欢迎下载使用。
第二节　充分条件与必要条件,全称量词与存在量词
学习要求:
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.


　　1.充分条件、必要条件与充要条件
(1)若p⇒q,则p是q的① 充分条件 ; 
(2)若q⇒p,则p是q的必要条件;
(3)若既有p⇒q,又有q⇒p,则p是q的② 充要条件 ,记作p⇔q. 
▶提醒　(1)A是B的充分不必要条件是指A⇒B且B⇒/A;
(2)A的充分不必要条件是B是指B⇒A且A⇒/B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.
知识拓展
　　充要条件与集合之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
(3)若A=B,则p是q的充要条件.
　　2.全称量词与全称量词命题
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.
(2)全称量词命题:含有③ 全称量词 的命题. 
(3)全称量词命题的符号表示:
形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,用符号简记为④ ∀x∈M,p(x) . 
3.存在量词与存在量词命题
(1)存在量词:短语“存在一个 ”“至少有一个 ”在逻辑中通常叫做存在量词.
　　▶提醒　常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任何”等;常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某一个”“有的”等.
(2)存在量词命题:含有⑤ 存在量词 的命题. 
(3)存在量词命题的符号表示:
形如“存在M中的元素x,使p(x)成立”的命题,用符号简记为⑥ ∃x∈M,p(x) . 
知识拓展
　　全称量词命题与存在量词命题的否定




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若p:x>1,q:x≥1,则p是q的充分不必要条件. (　　)
(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题. (　　)
(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. (　　)
(4)若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.(　　)
答案　(1)√　(2)✕　(3)√　(4)√
2.(新教材人教B版必修第一册P40T9改编)设a,b∈R且ab≠0,则“ab>1”是“a>1b”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　D
3.(易错题)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定是(　　)
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2
C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n>x2
D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x2
答案　D
【易错点分析】　因不清楚全称量词命题或存在量词命题的否定致误.
4.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
答案　A
5.(新教材人教B版必修第一册P28例1改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是　　　　　　　　　　. 
答案　有些表面积相等的三棱锥体积不相等


全称量词命题与存在量词命题
1.(2020广东广州模拟)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是　 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.∀x∈(-∞,0),x3+x0,b>0,则“lg(ab)>0”是“lg(a+b)>0”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2020河南开封二模)“a2=1”是“函数f(x)=lg21-x+a为奇函数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)因为lg(ab)>0,所以ab>1,又a>0,b>0,所以a,b中至少有一个大于1,则a+b>1,所以lg(a+b)>0.当a=b=23时,符合a+b>1,即lg(a+b)>0,但是不符合ab>1,即lg(ab)>0,因此“lg(ab)>0”是“lg(a+b)>0”的充分不必要条件,故选A.
(2)a2=1时,a=±1,当a=-1时,f(x)=lg1+x1-x,定义域为(-1,1),关于原点对称,且f(x)=-f(-x),所以函数f(x)=lg21-x+a为奇函数;当a=1时,f(x)=lg3-x1-x,f(x)≠-f(-x),所以函数f(x)=lg21-x+a不是奇函数.所以a2=1时,f(x)不一定为奇函数.当f(x)是奇函数时,由f(0)=0可得a=-1,则a2=1,所以“a2=1”是“函数f(x)=lg21-x+a为奇函数”的必要不充分条件,故选B.
名师点评
判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理的判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立时,对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
▶提醒　判断条件之间的关系要注意条件之间关系的语句描述,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“A的一个充分不必要条件是B”的含义.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2019浙江,5,4分)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　A　由a>0,b>0,得4≥a+b≥2ab,即ab≤4,充分性成立;当a=4,b=1时,满足ab≤4,但a+b=5>4,不满足a+b≤4,必要性不成立,故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件,故选A.
2.(2020海南质检)设函数f(x)=2mx+1,x≥0,-x-1x,x1”是“f [f(-1)]>4”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案　A　当m>1时,f[f(-1)]=f -(-1)-1-1=f(2)=22m+1>4,
当f [f(-1)]>4时,
f [f(-1)]=f-(-1)-1-1=f(2)=22m+1>4=22,
∴2m+1>2,解得m>12.
故“m>1”是“f[f(-1)]>4”的充分不必要条件.
充分、必要条件的应用
　　典例2　(1)命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　　)
A.a≥9　　　　B.a≤9　　　　C.a≥10　　　　D.a≤10
(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为　　　　. 
答案　(1)C　(2)[0,3]
解析　(1)命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”⇔“∀x∈[1,3],x2≤a”⇔a≥9.则a≥10是命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C.
(2)由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,
∴1-m≥-2,1+m≤10,1-m≤1+m,解得0≤m≤3,
故0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.
　　◆变式1　若将本例(2)中的条件“x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解析　由典例2(2)知P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的充分不必要条件,
∴x∈P⇒x∈S且x∈S⇒/x∈P.
∴[-2,10]⫋[1-m,1+m].
∴1-m≤-2,1+m>10或1-m0),x∈0,12,若存在x1∈0,12及x2∈0,12,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
解析　由题意得函数f(x)的值域为[0,1],g(x)的值域为2-2k,2-32k,并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2-32k0
B.∀x∈N+,(x-1)2>0
C.∃x∈R,lg xb2”是“a>b”的充分条件
B.“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C.“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D.“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
答案　CD　对于A,当a=-5,b=1时,满足a2>b2,但是ab,但是a2bc2得c≠0,则有a>b成立,即充分性成立,故正确;对于D,当a=-5,b=1时,|a|>|b|成立,但是ab,但是|a||b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件.故选CD.
8.(多选题)下列命题错误的是 (　　)
A.∃x∈R,ex≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是ab=-1
D.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1
答案　ABC　根据指数函数的性质可得ex>0,故A错误;当x=2时,2x>x2不成立,故B错误;当a=b=0时,ab没有意义,故C错误;因为“若x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1”的逆否命题为“若x,y∈R,且x,y都小于等于1,则x+y≤2”,是真命题,所以原命题为真命题,故选ABC.
9.(2020湖南永州联考)命题“∃x∈(1,+∞),x2+x≤2”的否定为　　　　　　　　　. 
答案　∀x∈(1,+∞),x2+x>2
10.(2020西南名校联盟诊断性联考)若a,b为实数,则“a>b>0”是“πa>πb”的　　　　　　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 
答案　充分不必要
解析　因为函数f(x)=πx为单调递增函数,所以当a>b>0时,f(a)>f(b),即πa>πb成立;当πa>πb,即f(a)>f(b)时,可得a>b,但是a>b>0不一定成立,
所以“a>b>0”是“πa>πb”的充分不必要条件.

B组　能力拔高

11.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的 (　　)
A.充分而不必要条件　　　　
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
答案　C　(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,
(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,
sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β;
(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,
sin α=sin(2nπ+β)=sin β.
由(i)(ii)知,充分性成立.
(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.
12.(2020浙江杭州学军中学6月模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,则“an