2020年云南省昆明市昆明一中高考模拟理科数学试卷（含解析）

2020年云南省昆明市昆明一中高考模拟理科数学试卷

1. 已知集合 ，，则  

 A．  B．  C．  D．

2. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则  

 A．  B．  C．  D．

3. 空气质量指数 是反映空气质量状况的指数， 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：如图是某市 月 日 日 指数变化趋势：

下列叙述正确的是

 A．该市 月的前半个月的空气质量越来越好

 B．这 天中的中度污染及以上的天数占

 C．这 天中 指数值的中位数略高于

 D．总体来说，该市 月上旬的空气质量比中旬的空气质量差

4. 若 能被 整除，则  

 A．  B．  C．  D．

5. 已知椭圆的中心在原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则此椭圆方程为

 A．  B．  C．  D．

6. 函数 的图象的一条对称轴为

 A．  B．  C．  D．

7. 执行如图所示的程序框图，则输出的  

 A．  B．  C．  D．

8. 已知圆锥 的底面半径为 ，母线长为 ．若球 在圆锥 内，则球 的体积的最大值为

 A．  B．  C．  D．

9. 若数列 的前 项的和 ，则这个数列的通项公式为

 A．  B．

 C．  D．

10. 已知点 是双曲线 上一点，， 分别是双曲线 的左、右焦点，若以 为直径的圆经过点 ，则双曲线 的离心率为

 A．  B．  C．  D．

11. 设函数 ，若 是函数 的最小值，则实数 的取值范围是

 A．  B．  C．  D．

12. 已知平面向量 ，， 满足 ，且 ，则 的最大值为

 A．  B．  C．  D．

13. 若实数 ， 满足 则 的最大值为    ．

14. 设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ，，则     ．

15. 已知函数 ，若方程 恰好有三个不等的实根，则实数 的取值范围为    ．

16. 已知四棱锥 的底面是正方形，高为 ，侧棱长均为 ， 为侧面 的内心，则四棱锥 的体积为    ．

17. 在 中，内角 ，， 所对的边长分别为 ，，，．

(1)  求角 ；

(2)  若 ，求 面积的最大值．

18. 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过 站的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过 站．甲、乙乘坐不超过 站的概率分别为 ，；甲、乙乘坐超过 站的概率分别为 ，．

(1)  求甲、乙两人付费相同的概率；

(2)  设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望．

19. 如图所示的几何体中，正方形 所在平面垂直于平面 ，四边形 为平行四边形， 为 上一点，且 ，．

(1)  求证：；

(2)  当三棱锥 体积最大时，求平面 与平面 所成二面角的正弦值．

20. 过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 （ 为坐标原点）．

(1)  求抛物线 的方程；

(2)  在 轴上是否存在定点 ，使得 ？并说明理由．

21. 已知函数 ．

(1)  求 的最小值；

(2)  设 为整数，且对于任意正整数 ，，求 的最小值．

22. 以直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线 的参数方程为 （ 为参数，）, 抛物线 的普通方程为 ．

(1)  求抛物线 的准线的极坐标方程；

(2)  设直线 与抛物线 相交于 ， 两点，求 的最小值及此时 的值．

23. 已知 ．

(1)  当 时，解不等式 ；

(2)  求 的最大值．

答案

1.  【答案】D

【解析】 ，，

所以 ．

【知识点】交、并、补集运算

2.  【答案】C

【解析】设 ，

因为 ，

所以 ，即 ，

解得 ，，

所以复数 的模为 ．

【知识点】复数的乘除运算、共轭复数、复数的几何意义

3.  【答案】C

【解析】由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误；

这 天中的中度污染及以上的天数有 天，B错误；

  月上旬大部分 指数在 以下， 月中旬大部分 指数在 以上，D错误．

【知识点】样本数据的数字特征

4.  【答案】B

【解析】若

能被 整除，

则 ，

则 ．

【知识点】二项式定理的应用

5.  【答案】A

【解析】抛物线 的焦点为 ，所以 ，

由离心率 可得 ，所以 ，

故椭圆的标准方程为 ．

【知识点】抛物线的概念与方程、椭圆的几何性质

6.  【答案】C

【解析】因为 ，

又 取得函数的最大值，

所以函数 的图象的一条对称轴为 ．

【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质

7.  【答案】D

【解析】 ，；，；，；，；， 的值构成 为周期的数列，

因为 ，

所以当 时，．

【知识点】程序框图

8.  【答案】A

【解析】设圆锥 的轴截面为等腰 ，则球 的体积最大时，球 的轴截面是 的内切圆，

所以 ，解得：，

所以球 的体积的最大值为 ．

【知识点】组合体、球的表面积与体积

9.  【答案】A

【解析】因为数列 的前 项的和 ，

所以 时，，

① ②可得 ，

所以 ，

因为 ，，

所以 ，

所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，

所以 ．

【知识点】根据n项和式和n项积式求通项

10.  【答案】C

【解析】由已知得 ，所以 ，

所以 ，

又 ，

所以 ，

所以双曲线 的离心率 ．

【知识点】双曲线的简单几何性质

11.  【答案】D

【解析】当 时，函数 的最小值为 ，不满足题意；

当 时，要使 是函数 的最小值，只须 ，

即 ，

解得 ，

综上知，实数 的取值范围是 ．

【知识点】函数的最大（小）值

12.  【答案】A

【解析】因为 ，所以当 满足与 同向时， 取得最大值，

当 时，，

所以 的最大值为 ；

当 时，，

所以 的最大值为 ；

当 时，，

所以 的最大值为 ；

综上知， 的最大值是 ．

【知识点】平面向量的数量积与垂直

13.  【答案】

【解析】由实数 ， 满足 作出可行域如图，

联立

解得 ，

化目标函数 为 ，

由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的截距最大，

  有最大值为 ．

【知识点】线性规划

14.  【答案】

【解析】因为 为等差数列 的前 项和，且 ，公差 ，

所以 ，

因为 ，

所以 ，

解得 ．

【知识点】等差数列的前n项和

15.  【答案】

【解析】要满足方程 恰好有三个不等的实根，

则直线 与 在 相切以上（不含相切）和直线 过点 以下（不含过该点的直线），

当直线 与 相切时，即 ，

所以 ，所以 ，所以 （ 舍去），

当直线 过点 时，，

所以 ．

【知识点】函数的零点分布

16.  【答案】

【解析】由题意可得，底面 的边长为 ，在 中，作 于 ，通过角平分线的性质，，

所以 ，

设底面正方形的边长为 ，则 ，解得 ．

所以四棱锥 的体积 ．

故答案为：．

【知识点】棱锥的表面积与体积

17.  【答案】

(1)  由 ，可得 ，，

因为 ，

所以 ，可得 ．

(2)  由 ，得 ，，，

所以 ，

当 时， 面积的最大值为 ．

【知识点】余弦定理

18.  【答案】

(1)  由题意知甲乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ，

乙乘坐超过 站且不超过 站的概率为 ，

设“甲、乙两人付费相同”为事件 ，

则 ，

所以甲、乙两人付费相同的概率是 ．

(2)  由题意可知 的所有可能取值为：，，，，．

 ，

 ，

 ，

 ．

因此 的分布列如下：所以 的数学期望 ．

【知识点】离散型随机变量的数字特征、离散型随机变量的分布列

19.  【答案】

(1)  因为 ，，

四边形 为为正方形，即 ，，

所以 ，

又因为 ，

所以 ，

因为 ，，

所以 ，

因为 ，，

所以 ，

因为 ，

所以 ．

(2)   ，

求三棱锥 体积的最大值，只需求 的最大值．

令 ，，

由（）知 ，

所以 ，当且仅当 ，

即 时，．

以 中点 为坐标原点建立空间直角坐标系如图，

则 ，，，．

设 为平面 的一个法向量，

则

可取 ，则 ．

因为四边形 为平行四边形， 为等腰直角三角形，

所以四边形 为正方形，取平面 的一个法向量为 ，

所以 ，

所以 ，

即平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ．

【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角

20.  【答案】

(1)  设直线 ，，，

联立 得 ，

则 所以 ，

由 得 ，所以 ，

所以 ，所以 ，

所以抛物线 的方程为 ．

(2)  假设存在满足条件的点 ，设 ，，

由（）知 若 ，则 ，

所以

显然 ，

所以 ，

所以存在 满足条件．

【知识点】抛物线中的动态性质证明

21.  【答案】

(1)   ，

当 时，，故 在 单调递减；

当 时，， 在 单调递增；

故 ，故 的最小值为 ．

(2)  由（）可得， 即 ，

所以 ，，，

则

即 ，

所以 ，

又因为 ，

故对任意正整数 ， 的整数 的最小值为 ．

【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值

22.  【答案】

(1)  依题意可得，抛物线 的普通方程为 ，则抛物线的准线的普通方程为 ，

化为极坐标方程即是 ．

(2)  将直线的参数方程为 （ 为参数，）代入抛物线的普通方程为 ，

化简整理得 ，

所以 ，．

所以 ．

当 时， 取得最小值 ．

【知识点】参数方程、极坐标与极坐标方程

23.  【答案】

(1)  当 时，．

因为 ，

所以 或

所以 或 ，

所以 ，

所以不等式的解集为 ．

(2)  因为 ，

所以 的最大值为 ．

【知识点】绝对值不等式的求解、绝对值不等式的性质