2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与三角形综合问题（七）（含答案）

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（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接 OA，OB，求 △AOB 的面积；
（3）根据图象直接写出使不等式 kx+b>mx 成立的 x 的取值范围 ．

2. 如图，正比例函数 y=2x 的图象与反比例函数 y=kx 的图象交于 A，B 两点，过点 A 作 AC 垂直 x 轴于点 C，连接 BC．若 △ABC 的面积为 2．
（1）直接写出 A，B 两点的坐标及 k 的值；
（2）已知点 D 在 x 轴上，且 △ABD 为直角三角形，求点 D 的坐标．

3. 如图，点 A3,4 是反比例函数 y=kx 在第一象限图象上一点，连接 OA，过 A 作 AB∥x 轴，截取 AB=OA（B 在 A 右侧），连接 OB，交反比例函数 y=kx 的图象于点 P，连接 AP．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求 △OAP 的面积．

4. 已知反比例函数 y=kx 的图象经过点 A−3,1．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点 O 是坐标原点，将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30∘ 得到线段 OB．判断点 B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点 Pm,3m+6 也在此反比例函数的图象上（其中 m<0），过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 M．若线段 PM 上存在一点 Q，使得 △OQM 的面积是 12，设点 Q 的纵坐标为 n，求 n2−23n+9 的值．

5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y1=kx 与直线 y2=mx+n 交于点 A，E 两点，AE 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，AB⊥x 轴于点 B，C 为 OB 中点，若 D 点坐标为 0,−2 且 SAOD=4．
（1）求双面线与直线 AE 的解析式．
（2）求 E 点的坐标．
（3）观察图象，直接写出 y1≥y2 时 x 的取值范围．

6. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的直角边 AC 在 x 轴上，∠ACB=90∘，AC=1，反比例函数 y=kxk>0 的图象经过 BC 边的中点 D3,1．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若 △ABC 与 △EFG 成中心对称，且 △EFG 的边 FG 在 y 轴的正半轴上，点 E 在这个函数的图象上．求 OF 的长．

7. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y1=−2x 的图象与反比例函数 y2=kx 的图象交于 A−1,n，B 两点．
（1）求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标；
（2）观察图象，请直接写出满足 y2≤2 的取值范围；
（3）点 P 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若 △POB 的面积为 1，请直接写出点 P 的横坐标．

8. 如图，Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 y=kx 与直线 y=−x−k+1 在第二象限的交点，AB⊥x 轴于 B 且 S△ABO=32．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）求直线与双曲线的两个交点 A，C 的坐标和 △AOC 的面积．

9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，直角顶点 B 位于 x 轴的负半轴，点 A0,−2，斜边 AC 交 x 轴于点 D，BC 与 y 轴交于点 E，且 tan∠OAD=12，y 轴平分 ∠BAC，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 C．
（1）求点 B，D 坐标；
（2）求 y=kxx>0 的函数表达式．

10. 已知，一次函数 y=mx+10m<0 的图象与反比例函数 y=kxk>0 的图象相交于 A，B 两点（A 在 B 的右侧）．
（1）当 A8,2 时，求这个一次函数和反比例函数的解析式，以及 B 点的坐标．
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在点 P，使 △PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）当 m=−2 时，设 Aa,−2a+10，Bb,−2b+10，这时直线 OA 与反比例函数图象的另一支交于另一点 C，连接 BC 交 y 轴于点 D，若 BCBD=52，求 △ABC 的面积．
答案
1. （1） 把 −4,2 代入 y=mx 得 2=m−4，则 m=−8．
则反比例函数的解析式是 y=−8x；
把 n,−4 代入 y=−8x 得 n=2，则 B 的坐标是 2,−4．
根据题意得：2=−4k+b,−4=2k+b, 解得 k=−1,b=−2,
则一次函数的解析式是 y=−x−2．
（2） 设 AB 与 x 轴的交点是 C，
则 C 的坐标是 −2,0，则 OC=2，
S△AOC=2，S△BOC=4，则 S△AOB=6．
（3） x<−4 或 0【解析】由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，x 的取值范围时 x<−4 或 02. （1） A1,2，B−1,−2，k=2．
（2） 5,0，−5,0，5,0，−5,0．
3. （1） 将点 A3,4 代入 y=kx，得：k=12，
则反比例函数表达式为 y=12x．
（2） 如图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，
则 OC=3，AC=4，
∴OA=42+32=5，
∵AB∥x 轴，且 AB=OA=5，
∴ 点 B 的坐标为 8,4，
设 OB 所在直线表达式为：y=kx，
由 B8,4 得：OB 所在直线表达式为 y=12x，
∴ 点 D3,22，
∴AD=52，
由 y=12x,y=12x 可得点 P 坐标为 26,6，
∴S△OAP=12AD⋅26=12⋅52⋅26=526．
4. （1） 由题意得 1=k−3，
解得 k=−3，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−3x；
（2） 过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C．
在 Rt△AOC 中，OC=3，AC=1，
∴OA=OC2+AC2=2，∠AOC=30∘，
∵ 将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30∘ 得到线段 OB，
∴∠AOB=30∘，OB=OA=2，
∴∠BOC=60∘．
过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D．
在 Rt△BOD 中，BD=OB⋅sin∠BOD=3，OD=12OB=1，
∴B 点坐标为 −1,3，
将 x=−1 代入 y=−3x 中，得 y=3，
∴ 点 B−1,3 在反比例函数 y=−3x 的图象上．
（3） 由 y=−3x 得 xy=−3，
∵ 点 Pm,3m+6 在反比例函数 y=−3x 的图象上，其中 m<0，
∴m3m+6=−3，
∴m2+23m+1=0，
∵PQ⊥x轴，
∴Q 点的坐标为 m,n．
∴△OQM 的面积是 12，
∴12OM⋅QM=12，
∵m<0，
∴mn=−1，
∴m2n2+23mn2+n2=0，
∴n2−23n=−1，
∴n2−23n+9=8．
5. （1） 作 AM⊥y 轴于点 M，
∵D0,2，
∴DO=2．
∵S△AOD=4 且 AM⊥y 轴，
∴12⋅2AM=4，
∴AM=4．
∵y 轴 ⊥x 轴，AB⊥x 轴，
∴∠ABC=∠DOC=90∘．
∵C 为 OB 中点，
∴BC=OC．
∵∠ACB=∠DCO，
∴△ABC≌△DOCASA，
∴AB=DO=2，
∴A4,2．
∵ 双曲线过 A，
∴k4=2，
∴k=8，
∴ 双曲线解析式为：y=8x．
∵ 直线 AE 过 A4,2 与 D0,−2，
∴4m+n=2,n=−2, 解之得 m=1,n=−2,
∴ 直线 AE 解析式为：y=x−2．
（2） 根据（I）得：y=8x,y=x−2 解得 x1=−2,y1=−4, x2=4,y2=2,
根据 E 所在的象限得，E−2,−4．
（3） y1≥y2 时 x 的取值范围是：0【解析】在 y 轴的右侧，当 y1>y2 时，x 的取值范围是：0在 y 轴的左侧，当 y1>y2 时，x 的取值范围是 x<−2，
∴y1≥y2 时 x 的取值范围是：06. （1） 将点 3,1 代入 y=kx 得，k=3．
∴ 这个反比例函数的表达式为 y=3x．
（2） ∵D 是 BC 的中点，
∴BC=2CD=2．
又 ∵△ABC 与 △EFG 成中心对称，
∴DF=BC=2，GE=AC=1．
在 y=3x 中，当 x=1 时，y=3，
∴OF=OG−GF=3−2=1．
7. （1） 把 A−1,n 代入 y=−2x，可得 n=2，
∴A−1,2，
把 A−1,2 代入 y=kx，可得 k=−2，
∴ 反比例函数的表达式为 y=−2x，
∵ 点 B 与点 A 关于原点对称，
∴B1,−2．
（2） x<−1 或 x>0．
【解析】∵A−1,2，
∴y2≤2 的取值范围是 x<−1 或 x>0．
（3） 5±12．
【解析】作 BM⊥x 轴于 M，PN⊥x 轴于 N，
∵S梯形MBPN=S△POB=1，
设 Pm,−2m，则 122+2mm−1=1 或 122+2m1−m=1
整理得 m2−m−1=0 或 m2+m−1=0，
解得 m=1+52 或 m=5−12，
∴P 点的横坐标为 5±12．
8. （1） 方法一：
AB⊥x 轴于 B，且 S△ABO=32，
∴12k=32，
∴k=±3，
∵ 反比例函数图象在二、四象限，
∴k<0，
∴k=−3，
∴ 反比例函数解析式为 y=−3x，一次函数解析式为 y=−x+2．
【解析】方法二：
设 A 点坐标为 x,y，且 x<0，y>0，
则 S△ABO=12⋅OB⋅AB=12⋅−x⋅y=32，
∴xy=−3，
又 ∵y=kx，
∴k=−3，
∴ 所求的两个函数的解析式分别为 y=−3x，y=−x+2．
（2） 联立两函数解析式成方程组，
y=−3x,y=−x+2, 解得 x1=−1,y1=3, x2=3,y2=−1,
∴ 点 A 的坐标为 −1,3，点 C 的坐标为 3,−1，
设直线 AC 与 x 轴交与点 D，
当 y=−x+2=0 时，x=2，
∴ 点 D2,0，
∴S△AOC=12OD⋅yA−yC=12×2×3−−1=4．
9. （1） ∵ 点 A0,−2，
∴OA=2，
∵tan∠OAD=ODOA=12，
∴OD=1，
∵y 轴平分 ∠BAC，
∴∠BAO=∠DAO，
∵∠AOD=∠AOB=90∘，AO=AO，
∴△AOB≌△AODASA，
∴OB=OD=1，
∴ 点 B 坐标为 −1,0，点 D 坐标为 1,0；
（2） 过 C 作 CH⊥x 轴于 H，
∴∠CHD=90∘，
∵∠ABC=90∘，
∴∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90∘，
∴∠BAO=∠DAO=∠CBD，
∵∠ADO=∠CDH，
∴∠DCH=∠DAO，
∴∠DCH=∠CBH，
∴tan∠CBH=tan∠DCH=12，
∴CHBH=DHCH=12，
设 DH=x，则 CH=2x，BH=4x，
∴2+x=4x，
∴x=23，
∴OH=53，CH=43，
∴C53,43，
∴k=53×43=209，
∴y=kxx>0 的函数表达式为 y=209x．
10. （1） 将 A8,2 代入 y=kx，得：k=8×2=16，
∴ 反比例函数的解析式为 y=16x，
将 A8,2 代入 y=mx+10，得：8m+10=2，
∴m=−1，
∴ 一次函数解析式为 y=−x+10，
∴ y=−x+10,y=16x, 解得：x=8,y=2 或 x=2,y=8,
∴ 点 B 的坐标为 2,8．
（2） ① 若 ∠BAP=90∘，
∵ 直线 AB 的解析式为 y=−x+10，
∴ 设直线 AP 的解析式为 y=x+b，
将 A8,2 代入得：8+b=2，
解得：b=−6，
∴y=−6，
∴ y=x−6,y=16x, 解得：x=8,y=2 或 x=−2,y=−8,
∴P−2,−8．
② 若 ∠ABP=90∘，
∵ 直线 AB 的解析式为 y=−x+10，
∴ 设直线 BP 的解析式为 y=x+b，
将 B2,8 代入得：2+b=8，
解得：b=6，
∴y=x+6，
∴ y=x+6,y=16x, 解得：x=2,y=8 或 x=−8,y=−2,
∴P−8,−2，
综上所述，P−2,−8 或 −8,−2．
（3） 过点 B 作 BM⊥y轴 于点 M，过点 C 作 CN⊥y轴 于点 N，连接 OB，
则有 BM∥CN，
∴△CND∼△BMD，
∴CDBD=CNBM，
∵BCBD=52，
∴CNBM=CDBD=32，
∵Aa,−2a+10，Bb,−2b+10，
∴C−a,2a−10，CN=a，BM=b，
∴ab=32，即 b=23a，
∵Aa,−2a+10，Bb,−2b+10，都在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴a−2a+10=b−2b+10，
∴a−2a+10=23a−2×23a+10，
∵a≠0，
∴−2a+10=23−2×23a+10，解得：a=3，
∴A3,4，B2,6，C−3,−4,
设直线 BC 的解析式为 y=px+q, 则有 2p+q=6,−3p+q=−4,
解得：p=2,q=2,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=2x+2，
当 x=0 时，y=2，则 D0,2，OD=2，
∴S△COD=S△ODC+S△ODB=12OD×CN+12OD×BM=12×2×3+12×2×2=5,
∵OA=OC，
∴S△AOB=S△COB，
∴S△ABC=2S△COB=10．