2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与三角形综合问题（二）（含答案）

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（1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时，△P1OA1 的面积将如何变化?
（2）若 △P1OA1 与 △P2A1A2 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及 A2 点的坐标．

2. 如图，已知 A−4,n，B2,−4 是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y=mx 的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求 △AOB 的面积；
（3）直接写出不等式 kx+b−mx<0 的解集．

3. 如图，直线 y=kx+b 与双曲线 y=mx 交于点 An,−2，B2,1．
（1）求双曲线及直线的解析式；
（2）已知 Pa−1,a 在双曲线上，求 P 点的坐标；
（3）连接 OA，OB，求 △AOB 的面积．

4. 如图，一次函数 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y=k2x 的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为 −1,4，点 B 的坐标为 4,n．
（1）根据图象，直接写出满足 k1x+b>k2x 的 x 的取值范围；
（2）求这两个函数的解析式；
（3）点 P 在线段 AB 上，且 S△AOP:S△BOP=1:2，求点 P 的坐标．

5. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，与 x 轴负半轴交于点 D，OB=5，tan∠DOB=12．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当 S△ACO=12S△OCD 时，求点 C 的坐标．

6. 如图，P1 是反比例函数 y=kxk>0 在第一象限图象上的一点，点 A1 的坐标为 2,0．
（1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时，△P1OA1 的面积将如何变化?
（2）若 △P1OA1 与 △P2A1A2 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及 A2 点的坐标．

7. 如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB=90∘，OB=2，AB∥x 轴，双曲线 y=kx 经过点 B，将 △AOB 绕点 B 逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上，AB 的对应线段 CB 恰好经过点 O．
（1）求证：△OBD 是等边三角形．
（2）求出双曲线的解析式，并判断点 C 是否在双曲线上．
（3）在 y 轴上是否存在一点 P，使 △PBD 的周长最小?若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 如图，已知反比例函数 y=kx 的图象与直线 y=ax+b 相交于点 A−2,3，B1,m．
（1）求出直线 y=ax+b 的表达式；
（2）在 x 轴上有一点 P 使得 △PAB 的面积为 18，求出点 P 的坐标．

9. 如图所示，已知点 D 在反比例函数 y=mx 的图象上，过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 B0,3．过点 A5,0 的直线 y=kx+b 与 y 轴交于点 C，且 BD=OC，tan∠OAC=25．
（1）求反比例函数 y=mx 和直线 y=kx+b 的解析式；
（2）连接 CD，试判断线段 AC 与线段 CD 的关系，并说明理由；
（3）点 E 为 x 轴上点 A 右侧的一点，且 AE=OC，连接 BE 交直线 CA 于点 M，求 ∠BMC 的度数．

10. 如图，一条直线与反比例函数 y=kx 的图象交于 A1,4，B4,n 两点，与 x 轴交于 D 点，AC⊥x 轴，垂足为 C．
（1）如图甲．
①求反比例函数的解析式．
②求 n 的值及 D 点坐标．
（2）如图乙，若点 E 在线段 AD 上运动，连接 CE，作 ∠CEF=45∘，EF 交 AC 于 F 点．
①试说明 △CDE∽△EAF．
②当 △ECF 为等腰三角形时，直接写出 F 点坐标 ．
答案
1. （1） 设 P1 点的坐标为 a,b，P1 是反比例函数 y=kxk>0 在第一象限图象上的一个点，
根据反比例函数的图象的性质，知 y 随 x 的增大而减小，即当 a 增大时，b 随之减小，
S△P1OA1=12OA1⋅b=b，
所以当 P1 点的横坐标逐渐增大时，
△P1OA1 的面积逐渐减小．
（2） 作 P1C⊥OA1 于点 C，P2D⊥A1A2 于点 D．
∵△P1OA1 为等边三角形，
∴OC=12×2=1，P1C=3，
∴P11,3，
代入 y=kx，得 k=3，
∴y=3x，
∵△P2A1A2 为等边三角形，设 A1D=c，
则 OD=2+c，P2D=3c，
∴P22+c,3c，
∵ 点 P2 在 y=3x 的图象上，
∴32+c=3c．
∴c2+2c−1=0，
∴c=−1±2，
∵c>0，
∴c=−1+2，
∴A1A2=−2+22，
∴OA2=OA1+A1A2=22，
∴A2 的坐标为 22,0，
∴ 反比例函数的解析式为 y=3x，点 A2 的坐标为 22,0．
2. （1） 把 B2,−4 代人 y=mx 得 m=2×−4=−8，
∴ 反比例函数解析式为 y=−8x，
把 A−4,n 代人 y=−8x 得 −4n=−8，
解得 n=2，
∴A 点坐标为 −4,2，
把 A−4,2，B2,−4 代人 y=kx+b 得
−4k+b=2,2k+b=−4.
解得 k=−1,b=−2.
∴ 一次函数解析式为 y=−x−2．
（2） 把 y=0 代入 y=−x−2 得 −x−2=0，
解得 x=−2，
∴C 点坐标为 −2,0，
∴S△AOB=SAOC+S△BOC=12×2×2+12×2×4=6.
（3） −42．
3. （1） 把 B2,1 代入 y=mx 得 m=1×2=2，
∴ 双曲线的解析式为 y=2x，
把 An,−2 代入 y=2x 得 −2n=2，解得 n=−1，
∴A 点坐标为 −1,−2，
把 A−1,−2，B2,1 代入 y=kx+b 得
−2=−k+b,1=2k+b,
解得 k=1,b=−1,
∴ 直线的解析式为 y=x−1；
（2） ∵Pa−1,a 在双曲线 y=2x 上，
∴a=2a−1，解得 a=−1或2，
∴P 点坐标为 −2,−1 或 1,2；
（3） 设直线 AB 与 y 轴交点为 C，
令 x=0，则 y=−1，
∴C 点坐标为 0,−1，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×1×1+12×1×2=32.
4. （1） x<−1 或 0 （2） 将 −1,4 代入 y=k2x 中，得 k2=−4，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−4x，
将点 B 坐标代入 y=−4x 中，得 n=−44=−1，
∴ 点 B 坐标为 4,−1．
将 A，B 两点坐标代入一次函数 y=k1x+b 中，得
4=−k1+b,−1=4k1+b, 解得 k1=−1,b=3.
∴ 一次函数的解析式为 y=−x+3．
（3） 设直线 AB 与 y 轴的交点为 C，
∴C 点坐标为 0,3，
∵S△AOC=12×3×1=32,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×4=152,
∵S△AOP:S△BOP=1:2，
∴S△AOP=152×13=52，
∴S△COP=52−32=1，
∴12×3×xP=1，
∴xP=23，
∵ 点 P 在线段 AB 上，
∴y=−23+3=73，
∴ 点 P 坐标为 23,73．
5. （1） 过点 B，A 作 BM⊥x 轴，AN⊥x 轴，垂足为点 M，N，
在 Rt△BOM 中，OB=5，tan∠DOB=12．
设 BM 为 x，则 OM 为 2x，
在 Rt△BMO 中，BM2+OM2=OB2．
解得 BM=1，OM=2，
∴ 点 B−2,−1，
∴k=−2×−1=2，
∴ 反比例函数的关系式为 y=2x；
（2） ∵S△ACO=12S△OCD，
∴OD=2AN，
又 ∵△ANC∽△DOC，
∴ANDO=NCOC=CACD=12，
设 AN=a，CN=b，则 OD=2a，OC=2b，
∵S△OAN=12∣k∣=12ON⋅AN=12×3b×a，
∴ab=23, ⋯⋯①
由 △BMD∽△CAN 得，
∴MDAN=BDCN，
即 2−2aa=1b，
也就是 a=2b2b+1, ⋯⋯②
由①②可求得 b=1，b=−13（舍去），
∴OC=2b=2，
∴ 点 C0,2．
6. （1） 当点 P1 的横坐标逐渐增大时，△P1OA1 的面积将逐渐减小．
（2） 作 P1C⊥OA1，垂足为 C，反比例函数的解析式为 y=3x．
作 P2D⊥A1A2，垂足为 D．
设 A1D=a，则 OD=2+a，P2D=3a，
∴ P22+a,3a．
代入 y=3x，得 2+a⋅3a=3，化简得 a2+2a−1=0，解得：a=−1±2．
∵ a>0，
∴ a=−1+2．
∴ A1A2=−2+22，
∴ OA2=OA1+A1A2=22，
∴ 点 A2 的坐标为 22,0．
7. （1） ∵AB∥x 轴，
∴∠ABO=∠BOD．
由旋转的性质，得 ∠ABO=∠OBD，OB=BD．
∴∠BOD=∠OBD．
∴OD=BD，
∴OB=BD=OD．
∴△BOD 是等边三角形．
（2） 由（1）可知，△BOD 是等边三角形，
∴∠BOD=60∘．
∵OB=2，
∴B1,3．
∵ 双曲线 y=kx 经过点 B，
∴k=1×3=3．
∴ 双曲线的解析式为 y=3x．
∵∠ABO=∠BOD=60∘，∠AOB=90∘，
∴∠A=30∘，
∴AB=2OB．
由旋转的生质，得 AB=CB，
∴CB=2OB．
∴OC=OB．
∴ 点 B，C 关于原点对称．
∴C−1,−3．
∵−1×−3=3，
∴ 点 C 在双曲线上．
（3） 存在．
由（1）可知 △OBD 是等边三角形，
∴OD=BD=OB=2．
∴D2,0，
∵△PBD 的周长为 BD+PB+PD，且 BD=2，
∴ 当 PB+PD 取最小值时，△PBD 的周长有最小值．
如图，作点 B 关于 y 轴的对称点 Bʹ−1,3，连接 BʹD 交 y 轴于点 P，连接 BP，
此时点 P 就是使 △PBD 的周长最小的点．
设直线 BʹD 的解析式为 y=mx+b．
将 Bʹ−1,3，D2,0 代入，得 3=−m+b,0=2m+b. 解得 m=−33,b=233.
∴ 直线 BʹD 的解析式为 y=−33x+233．
当 x=0 时，y=233，
∴ 点 P 的坐标为 0,233．
8. （1） 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式并解得：k=−2×3=−6，
故反比例函数表达式为：y=−6x，
将点 B 的坐标代入上式并解得：m=−6，
故点 B1,−6，
将点 A，B 的坐标代入一次函数表达式得 3=−2a+b,−6=a+b, 解得 a=−3,b=−3,
故直线的表达式为：y=−3x−3．
（2） 设直线与 x 轴的交点为 E，当 y=0 时，x=−1，故点 E−1,0，
分别过点 A，B 作 x 轴的垂线 AC，BD，垂足分别为 C，D，则
S△PAB=12PE⋅CA+12PE⋅BD=32PE+62PE=92PE=18,
解得 PE=4，
故点 P 的坐标为 3,0 或 −5,0．
9. （1） ∵A5,0，
∴OA=5．
∵tan∠OAC=25，
∴OCOA=25，解得 OC=2，
∴C0,−2，BD=OC=2．
∵B0,3，BD∥x 轴，
∴D−2,3，
∴m=−2×3=−6，
∴y=−6x．
∵ 直线 y=kx+b 过点 A5,0，C0,−2，
∴0=5k+b,−2=b, 解得 k=25,b=−2.
∴y=25x−2．
（2） AC=CD，AC⊥CD，理由如下：
∵B0,3，C0,−2，
∴BC=5=OA．
在 △OAC 和 △BCD 中，
OA=BC,∠AOC=∠DBC=90∘,OC=BD,
∴△OAC≌△BCDSAS，
∴AC=CD，∠OAC=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90∘，
∴AC⊥CD．
（3） 如图所示，连接 AD．
∵AE=OC，BD=OC，
∴AE=BD，
∵BD∥x 轴，
∴ 四边形 AEBD 为平行四边形，
∴AD∥BM，
∴∠BMC=∠DAC．
由（2）知 AC=CD，AC⊥CD，
∴△ACD 为等腰直角三角形，
∴∠BMC=∠DAC=45∘．
10. （1） ① ∵ 点 A1,4 在反比例函数图象上，
∴k=4，即反比例函数关系式为 y=4x．
② ∵ 点 B4,n 在反比例函数图象上，
∴n=1，
设一次函数的解析式为 y=mx+b，
∵ 点 A1,4 和 B4,1 在一次函数 y=mx+b 的图象上，
∴m+b=4，4m+b=1，解得 b=5，m=−1，
∴ 一次函数关系式为 y=−x+5，令 y=0，得 x=5，
∴D 点坐标为 D5,0．
（2） ① ∵A1,4，AC⊥x 轴于点 C，
∴C1,0，
∴AC=4．
又 ∵D5,0，
∴CD=4，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA=45∘，
∴∠AFE+∠AEF=135∘．
又 ∵∠CEF=45∘，
∴∠CED+∠AEF=135∘，
∴∠AFE=∠CED．
又 ∵∠FAE=∠EDC=45∘，
∴△CDE∽△EAF．
② 1,2，1,4，1,8−42
【解析】②当 CE=FE 时，由 △CDE≌△EAF，
可得 AE=CD=4，DE=AF=42−1，
∵A1,4，
∴F 点的纵坐标 =4−AF=4−42−1=8−42，
∴F1,8−42，
当 CE=CF 时，由 ∠FEC=45∘ 知 ∠ACE=90∘，此时 E 与 D 重合，
∴F 与 A 重合，
∴F1,4，
当 CF=EF 时，由 ∠FEC=45∘ 知 ∠CFE=90∘，
显然 F 为 AC 中点，
∴F1,2，
当 △ECF 为等腰三角形时，
点 F 的坐标为 F11,2；F21,4；F31,8−42．