2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与四边形综合（一）（word版含答案）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与四边形综合（一）（word版含答案），共36页。

2. 如图，二次函数 y=x2+2mx+m2−4 的图象与 x 轴的负半轴相交于 A，B 两点（点 A 在左侧），一次函数 y=2x+b 的图象经过点 B，与 y 轴相交于点 C．
（1）求 A，B 两点的坐标（可用含 m 的代数式表示）；
（2）如果平行四边形 ABCD 的顶点 D 在上述二次函数的图象上，求 m 的值．

3. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C0,−3，顶点 D 的坐标为 1,−4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 y 轴上找一点 E，使得 △EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标；
（3）点 P 是 x 轴上的动点，点 Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P，Q，使得以点 P，Q，B，D 为顶点，BD 为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点 P，Q 坐标；若不存在，请说明理由．

4. 如图，把两个全等的等腰直角三角板 ABC 和 EFG（其直角边长均为 4）叠放在一起（如图（1）），且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合，现将三角板 EFG 绕点 O 按顺时针方向旋转（旋转角 α 满足条件：0∘<α<90∘），四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图（2））．
（1）在上述旋转过程中，BH 与 CK 有怎样的数量关系?四边形 CHGK 的面积有何变化?证明你发现的结论．
（2）连接 HK，在上述旋转过程中，设 BH=x，△GKH 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围．
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使 △GKH 的面积恰好等于 △ABC 面积的 516?若存在，求出此时 x 的值；若不存在，说明理由．

5. 已知抛物线 y=x−12−4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C 顶点为点 D，求四边形 ABDC 的面积．

6. 某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为 40 m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 60 m，设三间饲养室合计长 xm，总占地面积为 ym2．
（1）求 y 关于 x 的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）x 为何值时，三间饲养室占地总面积最大?最大为多少?

7. 如图，对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，AD，其中 A 点坐标 −1,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线 y=32x−3 与抛物线交于点 C，D，与 x 轴交于点 E，求 △ACD 的面积；
（3）在直线 CD 下方抛物线上有一点 Q，过 Q 作 QP⊥y 轴交直线 CD 于点 P，四边形 PQBE 为平行四边形，求点 Q 的坐标．

8. 在直角坐标系 xOy 中（如图），抛物线 y=ax2−2ax−3a≠0 与 x 轴交于点 A−1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的开口方向、顶点 D 的坐标；
（2）求证：∠CBD=∠ACO；
（3）已知点 M 在 x 轴上，点 N 在该抛物线的对称轴上，如果以点 C，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 N 的坐标．

9. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A−1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C，顶点 D 的坐标为 1,−4．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图 1，若点 P 在抛物线上且满足 ∠PCB=∠CBD，求点 P 的坐标；
（3）如图 2，M 是直线 BC 上一个动点，过点 M 作 MN⊥x 轴交抛物线于点 N，Q 是直线 AC 上一个动点，当 △QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点 M 及其对应点 Q 的坐标．

10. 如图，抛物线 y=ax2−23x+ca≠0 过点 O0,0 和 A6,0．点 B 是抛物线的顶点，点 D 是 x 轴下方抛物线上的一点，连接 OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当 ∠BOD=30∘ 时，求点 D 的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 x 轴于点 C，交线段 OD 于点 E，点 F 是线段 OB 上的动点（点 F 不与点 O 和点 B 重合），连接 EF，将 △BEF 沿 EF 折叠，点 B 的对应点为点 Bʹ，△EFBʹ 与 △OBE 的重叠部分为 △EFG，在坐标平面内是否存在一点 H，使以点 E，F，G，H 为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点 H 的坐标，若不存在，请说明理由．

11. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A−1,0，点 C0,3，且 OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点 D，E 是在直线 x=1 上的两个动点，且 DE=1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 的周长的最小值．
（3）点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，求点 P 的坐标．

12. 如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，批物线 y=x2−4x+aa<0 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 E，F 两点（点 E 在点 F 的右侧），顶点为 M．直线 y=23x−a 与 x 轴、 y 轴分别交于 B，C 两点，与直线 AM 交于点 D．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）在 y 轴右侧的抛物线上存在点 P，使得以 P，A，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，求 a 的值．
（3）如图②，过抛物线顶点 M 作 MN⊥x 轴于 N，连接 ME，点 Q 为抛物线上任意一点，过点 Q 作 QG⊥x 轴于 G，连接 QE．当 a=−5 时，是否存在点 Q，使得以 Q，E，G 为顶点的三角形与 △MNE 相似（不含全等）?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

13. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax+1x−9 经过 A，B 两点，四边形 OABC 矩形，已知点 A 坐标为 0,6．
（1）求抛物线解析式；
（2）点 E 在线段 AC 上移动（不与 C 重合），过点 E 作 EF⊥BE，交 x 轴于点 F．请判断 BEEF 的值是否变化；若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若 E 在直线 AC 上移动，当点 E 关于直线 BF 的对称点 Eʹ 在抛物线对称轴上时，请求出 BE 的长度．

14. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与一直线相交于 A−1,0，C2,3 两点，与 y 轴交于点 N．其顶点为 D．
（1）抛物线及直线 AC 的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EF∥BD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 △APC 的面积的最大值．

15. 如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A−3,0，B1,0，交 y 轴于点 C，点 Pm,0 是 x 轴上的一动点，PM⊥x 轴，交直线 AC 于点 M，交抛物线于点 N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点 P 仅在线段 AO 上运动，如图，求线段 MN 的最大值；
②若点 P 在 x 轴上运动，则在 y 轴上是否存在点 Q，使以 M，N，C，Q 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

16. 如图，二次函数 y=−x2+3x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 B4,0，另一个交点为 A，且与 y 轴相交于 C 点．
（1）m 的值为 ，C 点坐标是 ， ；
（2）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 M，使得它与 B，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 M 点坐标；若不存在，请简要说明理由．
（3）P 为抛物线上一点，它关于直线 BC 的对称点为 Q．
①当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P 的坐标；
②点 P 的横坐标为 t0
17. 如图，抛物线 y=ax2+bx−3 交 y 轴于点 C，直线 l 为抛物线的对称轴，点 P 在第三象限且为抛物线的顶点．P 到 x 轴的距离为 103，到 y 轴的距离为 1．点 C 关于直线 l 的对称点为 A，连接 AC 交直线 l 于 B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线 y=34x+m 与抛物线在第一象限内交于点 D，与 y 轴交于点 F，连接 BD 交 y 轴于点 E，且 DE:BE=4:1．求直线 y=34x+m 的表达式；
（3）若 N 为平面直角坐标系内的点，在直线 y=34x+m 上是否存在点 M，使得以点 O，F，M，N 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−34x+6 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，P，Q 分别是线段 OB，AB 上的两个动点，点 P 从 O 出发一每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，同时 Q 从 B 出发，以每秒 5 个单位的速度向终点 A 运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 t 秒．
（1）求出点 Q 的坐标（用 t 的代数式表示）；
（2）若 C 为 OA 的中点，连接 PQ，CQ，以 PQ，CQ 为邻边作平行四边形 PQCD．
①是否存在时间 t，使得坐标轴刚好将平行四边形 PQCD 的面积分为 1:5 的两个部分，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
②直接写出整个运动过程中，四边形 PQCD 对角线 DQ 的取值范围 ．

19. 定义：对于抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0），若 b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=x2−x+1 是黄金抛物线．
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式．
（2）将黄金抛物线 y=x2−x+1 沿对称轴向下平移 3 个单位．
①直接写出平移后的新抛物线的解析式．
②新抛物线如图所示，与 x 轴交于 A，B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于 C，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点，连接 PO，PC，并把 △POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPʹC，那么是否存在点 P，使四边形 POPʹC 为菱形?若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
③当直线 BC 下方的抛物线上动点 P 运动到什么位置时，四边形 OBPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 OBPC 的最大面积．

20. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 1,1，1,2，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足为 D，C，得到正方形 ABCD，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，点 P 为第一象限内抛物线上一点（不与点 A 重合），过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足为 E，F，设点 P 的横坐标为 m，矩形 PFOE 与正方形 ABCD 重叠部分图形的周长为 l．
（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式；
（2）当矩形 PFOE 的面积被抛物线的对称轴平分时，求 m 的值；
（3）当 m<2 时，求 l 与 m 之间的函数关系式；
（4）设线段 BD 与矩形 PFOE 的边交于点 Q，当 △FDQ 为等腰直角三角形时，求 m 的取值范围．
答案
1. 矩形的一边 DE=x，另一边 EF=ℎ−ℎax ，所求函数的解析式为 y=−ℎax2+ℎx，定义域为 02. （1） A−2−m,0，B2−m,0．
（2） m 的值为 8．
3. （1） 因为抛物线的顶点为 1,−4，
所以设抛物线的解析式为 y=ax−12−4，
将点 C0,−3 代入抛物线 y=ax−12−4 中，
得 a−4=−3，
所以 a=1，
所以抛物线的解析式为 y=x−12−4=x2−2x−3；
（2） 满足所有条件的点 E 的坐标为 0,3，0,−3+10，0,−3−10，0,−43．
【解析】由（1）知，抛物线的解析式为 y=x2−2x−3，
令 y=0，则 x2−2x−3=0，
所以 x=−1 或 x=3，
所以 A−1,0，B3,0，
所以 AC=OA2+OC2=12+32=10，
设点 E0,m，则 AE=m2+1，
CE=∣m+3∣，
因为 △ACE 是等腰三角形，
所以
①当 AC=AE 时，10=m2+1，
所以 m=3 或 m=−3（点 C 的纵坐标，舍去），
所以 E0,3，
②当 AC=CE 时，10=∣m+3∣，
所以 m=−3±10，
所以 E0,−3+10 或 0,−3−10，
③当 AE=CE 时，m2+1=∣m+3∣，
所以 m=−43，
所以 E0,−43，
即满足所有条件的点 E 的坐标为 0,3，0,−3+10，0,−3−10，0,−43．
（3） 如图，存在，
所以 D1,−4．
所以将线段 BD 向上平移 4 个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点 B 的对应点落在抛物线上，这样便存在点 Q，此时点 D 的对应点就是点 P，
点 Q 的纵坐标为 4，
设 Qt,4，
将点 Q 的坐标代入抛物线 y=x2−2x−3 中
得 t2−2t−3=4，
解得 t=1+22 或 t=1−22，
所以 Qʹ1+22,4 或 Q1−22,4，
分别过点 D，Q，Qʹ 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G，Gʹ，
因为抛物线 y=x2−2x−3 与 x 轴的右边的交点 B 的坐标为 3,0，且 D1,−4，
所以 FB=PG=3−1=2，
所以点 P 的横坐标为 1+22−2=−1+22 或 1−22−2=−1−22，
即 P−1+22,0，Q1+22,4 或 P−1−22,0，Q1−22,4．
4. （1） ∵∠ACG=∠B=45∘，∠BGH 与 ∠CGK 均为 ∠CGH 的余角，CG=BG，
∴△BGH≌△CGK．
∴BH=CK，S△BGH=S△CGK．
∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=12S△ABC=12×12×4×4=4.
因此，在上述旋转过程中，BH=CK，四边形 CHGK 的面积不变，值为 4．
（2） AC=BC=4，BH=x，CH=4−x，CK=x，
S△GKH=S四边形CHGK−S△CHK，
故 y=4−12x4−x，
∴y=12x2−2x+40 （3） 令 12x2−2x+4=516×8，
解得 x1=1，x2=3，
即当 x=1 或 x=3 时，△GHK 的面积均等于 △ABC 面积的 516．
5. 9．
6. （1） 根据题意得 y=x⋅1460−x=−14x2+15x，
自变量的取值范围为：0 （2） 因为 y=−14x2+15x=−14x−302+225，
所以当 x=30 时，三间饲养室占地总面积最大，最大为 225m2．
7. （1） ∵ 抛物线的对称轴 x=1，
∴1=−b2，
∴b=−2，
∵y=x2−2x+c 经过点 A−1,0，
∴1+2+c=0，
∴c=−3，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x−3．
（2） 由 y=x2−2x−3,y=32x−3, 解得 x=0,y=−3 或 x=72,y=94,
∴D72,94，
∵ 直线 CD 交 x 轴于 E2,0，
∴S△ACD=S△AEC+S△AED=12×3×94+12×3×3=638.
（3） 设 Qm,m2−2m−3．
∵ 四边形 PQBE 是平行四边形，
∴PQ∥BE，PQ=BE，
∴P23m2−43m,m2−2m−3，
∴PQ=73m−23m2，
由题意 B3,0，E2,0，
∴BE=1，
∴73m−23m2=1，解得 m=12 或 3（舍弃），
∴Q12,−154．
8. （1） 由题意，得 a+2a−3=0．解得 a=1．
∴ 抛物线的表达式为 y=x2−2x−3．
∴ 抛物线的开口方向向下，D1,−4．
（2） 由题意和（1），可得 C0,−3，B3,0．
∴AO=1，CO=3．
∴AOCO=13．
∴BC=32，CD=2，BD=25．
∴BC2+CD2=20=BD2．
∴△BCD 是直角三角形，其中 ∠BCD=90∘．
又 CDBC=232=13，
∴AOCO=CDBC．
又 ∠AOC=∠BCD=90∘，
∴△AOC∽△BCD．
∴∠CBD=∠ACO．
（3） N1,−1 或 N1,1 或 N1,−7．
【解析】有两种情况考虑：
1∘ 当 CD 是平行四边形的边时，得 N1,−1 或 N1,1；
2∘ 当 CD 是平行四边形的对角线时，得 N1,−7．
综合 1∘，2∘，当以点 C，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，N1,−1 或 N1,1 或 N1,−7．
9. （1） y=x2−2x−3．
【解析】∵ 顶点 D 的坐标为 1,−4，
∴ 设抛物线的解析式为 y=ax−12−4，将点 A−1,0 代入，
得 0=a−1−12−4，解得：a=1，
∴y=x−12−4=x2−2x−3，
∴ 该抛物线的解析式为 y=x2−2x−3．
（2） ∵ 抛物线对称轴为直线 x=1，A−1,0，
∴B3,0，
设直线 BD 解析式为 y=kx+e，
∵B3,0，D1,−4，
∴3k+e=0,k+e=−4, 解得：k=2,e=−6,
∴ 直线 BD 解析式为 y=2x−6，
过点 C 作 CP1∥BD，交抛物线于点 P1，
设直线 CP1 的解析式为 y=2x+d，将 C0,−3 代入，得 −3=2×0+d，解得：d=−3，
∴ 直线 CP1 的解析式为 y=2x−3，
结合抛物线 y=x2−2x−3，可得 x2−2x−3=2x−3，
解得：x1=0（舍），x2=4，
故 P14,5，
过点 B 作 y 轴平行线，过点 C 作 x 轴平行线交于点 G，
∵OB=OC，∠BOC=∠OBG=∠OCG=90∘，
∴ 四边形 OBGC 是正方形，
设 CP1 与 x 轴交于点 E，则 2x−3=0，解得：x=32，
∴E32,0，
在 x 轴下方作 ∠BCF=∠BCE 交 BG 于点 F，
∵ 四边形 OBGC 是正方形，
∴OC=OG=BG=3，∠COE=∠G=90∘，∠OCB=∠GCB=45∘，
∴∠OCB−∠BCE=∠GCB−∠BCF，即 ∠OCE=∠GCF，
∴△OCE≌△GCFASA，
∴FG=OE=32，
∴BF=BG−FG=3−32=32，
∴F3,−32，
设直线 CF 解析式为 y=k1x+e1，
∵C0,−3，F3,−32，
∴e1=−3,3k1+e1=−32, 解得：k1=12,e1=−3,
∴ 直线 CF 解析式为 y=12x−3，
结合抛物线 y=x2−2x−3，可得 x2−2x−3=12x−3，
解得：x1=0（舍），x2=52，
∴P252,−74．
综上所述，符合条件的 P 点坐标为：P14,5，P252,−74；
（3） M1133,43，Q1−139,43；
M253,−43，Q2−59,−43；
M35,2，Q3−5,12；
M42,−1，Q40,−3；
M57,4，Q5−7,18；
M61,−2，Q60,−3．
【解析】设直线 AC 解析式为 y=m1x+n1，直线 BC 解析式为 y=m2x+n2，
∵A−1,0，C0,−3，
∴−m1+n1=0,n1=−3, 解得：m1=−3,n1=−3,
∴ 直线 AC 解析式为 y=−3x−3，
∵B3,0，C0,−3，
∴3m2+n2=0,n2=−3, 解得：m2=1,n2=−3,
∴ 直线 BC 解析式为 y=x−3，
设 Mt,t−3，则 Nt,t2−2t−3，
∴MN=t2−2t−3−t−3=t2−3t．
①当 △QMN 是以 NQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时 ∠NMQ=90∘，MN=MQ，如图 2，
∵MQ∥x 轴，
∴Q−13t,t−3，
∴t2−3t=t−−13t，
∴t2−3t=±43t，
解得：t=0（舍）或 t=133 或 t=53，
∴M1133,43，Q1−139,43；M253,−43，Q2−59,−43；
②当 △QMN 是以 MQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时 ∠MNQ=90∘，MN=NQ，如图 3，
∵NQ∥x 轴，
∴Q−t2+2t3,t2−2t−3，
∴NQ=t−−t2+2t3=13t2+t，
∴t2−3t=13t2+t，
解得：t=0（舍）或 t=5 或 t=2，
∴M35,2，Q3−5,12；M42,−1，Q40,−3；
③当 △QMN 是以 MN 为斜边的等腰直角三角形时，此时 ∠MQN=90∘，MQ=NQ，如图 4，
过点 Q 作 QH⊥MN 于 H，
则 MH=HN，
∴Ht,t2−t−62，
∴Q−t2+t6,t2−t−62，
∴QH=t−−t2+t6=16t2+5t，
∵MQ=NQ，
∴MN=2QH，
∴t2−3t=2×16t2+5t，解得：t=7 或 1，
∴M57,4，Q5−7,18；M61,−2，Q60,−3；
综上所述，点 M 及其对应点 Q 的坐标为：
M1133,43，Q1−139,43；
M253,−43，Q2−59,−43；
M35,2，Q3−5,12；
M42,−1，Q40,−3；
M57,4，Q5−7,18；
M61,−2，Q60,−3．
10. （1） 把点 O0,0 和 A6,0 代入 y=ax2−23x+c 中，
得到 c=0,36a−123+c=0,
解得 a=33,c=0,
∴ 抛物线的解析式为 y=33x2−23x．
（2） 如答图①中，设抛物线的对称轴交 x 轴于 M，与 OD 交于点 N．
∵y=33x2−23x=33x−32−33，
∴ 顶点 B3,−33，M3,0，
∴OM=3，BM=33，
∴tan∠MOB=BMOM=3，
∴∠MOB=60∘，
∵∠BOD=30∘，
∴∠MON=∠MOB−∠BOD=30∘，
∴MN=OM⋅tan30∘=3，
∴N3,−3，
∴ 直线 ON 的解析式为 y=−33x，
由 y=−33x,y=33x2−23x,
解得 x=0,y=0 或 x=5,y=−533,
∴D5,−533．
（3） 32,32 或 52,−332 或 72,−332．
【解析】如答图②中，
当 ∠EFG=90∘ 时，点 H 在第一象限，此时 G，Bʹ，O 重合，F−32,−332，E3,−3，可得 H32,32．
如答图③中，
当 ∠EGF=90∘ 时，点 H 在对称轴右侧，可得 H72,−332．
如答图④中，
当 ∠FGE=90∘ 时，点 H 在对称轴左侧，点 Bʹ 在对称轴上，可得 H52,−332．
综上所述，满足条件的点 H 的坐标为 32,32 或 52,−332 或 72,−332．
11. （1） ∵OB=OC，
∴ 点 B3,0，
设抛物线的表达式为：
y=ax+1x−3=ax2−2x−3=ax2−2ax−3a
将点 C0,3 代入得 −3a=3，
解得 a=−1，
故抛物线的表达式为 y=−x2+2x+3⋯⋯①
函数的对称轴为：x=22×−1=1；
（2） 四边形 ACDE 的周长 =AC+DE+CD+AE，
其中 AC=10，DE=1 ，
故 CD+AE 最小时，周长最小．
取点 C 关于直线 x=1 的对称点 Cʹ2,3，如答图 1
则 CD=CʹD，取点 Aʹ−1,1，
则 AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，
则当 Aʹ，D，Cʹ 三点共线时，
CD+AE=AʹD+DCʹ 最小，周长也最小，
AʹCʹ=2+12+3−12=13
∴ 四边形 ACDE 的周长的最小值 =AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹC′=10+1+13；
（3） 如答图 2，设直线 CP 交 x 轴于点 E，
直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，
又 ∵S△PCB:S△PCA=12EB×yc−yp:12AE×yc−yp=BE:AE，
∴BE:AE=3:5或5:3，
∵AE+BE=AB=4，
∴AE=52或32，
即点 E 的坐标为 32,0 或 12,0，
将点 E 的坐标代入一次函数表达式：
y=kx+3 ，
解得：k=−6 或 −2 ，
故直线 CP 的表达式为：y=−2x+3⋯⋯②
或 y=−6x+3⋯⋯③
联立①②并解得：x=4,y=−5, 或 x=0,y=3,（不合题意，舍去），
联立①③并解得：x=8,y=−45, 或 x=0,y=3,（不合题意，已舍去），
故点 P 的坐标为 4,−5 或 8,−45．
12. （1） ∵y=x2−4x+a=x−22+a−4，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=2．
（2） 由 y=x−22+a−4 得：A0,a，M2,a−4，
由 y=23x−a 得 C0,−a，
设直线 AM 的解析式为 y=kx+a，
将 M2,a−4 代入 y=kx+a 中，得 2k+a=a−4，
解得 k=−2，
直线 AM 的解析式为 y=−2x+a，
联立方程组得 y=−2x+a,y=23x−a, 解得 x=34a,y=−12a.
∴D34a,−12a，
∵a<0，
∴ 点 D 在第二象限，
又点 A 与点 C 关于原点对称，
∴AC 是以 P，A，C，D 为顶点的平行四边形的对角线，则点 P 与点 D 关于原点对称，
即 P−34a,12a，
将点 P−34a,12a 代入抛物线 y=x2−4x+a，解得 a=−569 或 a=0（舍去），
∴a=−569．
（3） 存在．
理由如下：当 a=−5 时，y=x2−4x−5=x−22−9，此时 M2,−9，
令 y=0，即 x−22−9=0，解得 x1=−1，x2=5，
∴ 点 F−1,0，E5,0，
∴EN=FN=3，MN=9，
设点 Qm,m2−4m−5，则 Gm,0，
∴EG=∣m−5∣QG=∣m2−4m−5∣，
又 △QEG 与 △MNE 都是直角三角形，且 ∠MNE=∠QGE=90∘，
如图所示，需分两种情况进行讨论：
ⅰ）当 EGQG=ENMN=39=13 时，即 m2−4m−5m−5=13，
解得 m=2 或 m=−4 或 m=5（舍去）；
当 m=2 时点 Q 与点 M 重合，不符合题意，舍去，
当 m=−4 时，此时 Q 坐标为点 Q1−4,27；
ⅱ）当 QGEG=ENMN=39=13 时，即 m2−4m−5m−5=13，
解得 m=−23 或 m=−43 或 m=5（舍去），
当 m=−23 时，Q 坐标为点 Q2−23,−179，
当 m=−43 时，Q 坐标为点 Q3−43,199，
综上所述，点 Q 的坐标为 −4,27 或 −23,−179，或 −43,199．
13. （1） 将 A0,6 代入 y=ax+1x−9，得：a=−23．
∴ 抛物线解析式为 y=−23x+1x−9，
整理得：y=−23x2+163x+6．
（2） BEEF 的值不变．
如图所示：过点 E 作 DG⊥AB 交 AB 于点 D，交 x 轴于点 G．
∵ 四边形 OABC 为矩形，
∴DG⊥OC，BD=GC，
∵BE⊥EF，
∴∠DEB+∠GEF=90∘，
∵∠GEF+∠EFG=90∘，
∴∠DEB=∠EFG．
又 ∵∠EDB=∠EGF=90∘，
∴△BDE∽△EGF，
∴BEEF=BDEG．
∴BEEF=CGGE=OCAO．
将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=6，
∴OA=6．
由 A0,6，抛物线对称轴为直线 x=4，得 B8,6，
∴OC=6．
∴BEEF=43．
（3） 过点 Eʹ 作 PQ∥x，FP⊥PQ，CQ⊥PQ．
易证 △FPEʹ∽△BQEʹ．
可知 QEʹ=4，
∴FP=3．则 CQ=3，BQ=9，
∴BE=BEʹ=97．
14. （1） 由抛物线 y=−x2+bx+c 过点 A−1,0 及 C2,3 得，
−1−b+c=0,−4+2b+c=3,
解得 b=2,c=3,
故抛物线为 y=−x2+2x+3；
又设直线为 y=kx+n 过点 A−1,0 及 C2,3，
得 −k+n=0,2k+n=3,
解得 k=1,n=1,
故直线 AC 为 y=x+1．
（2） ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴D1,4，
当 x=1 时，y=x+1=2，
∴B1,2，
∵ 点 E 在直线 AC 上，设 Ex,x+1．
①如图 2，当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方，则 Fx,x+3，
∵F 在抛物线上，
∴x+3=−x2+2x+3，
解得，x=0 或 x=1（舍去），
∴E0,1；
②当点 E 在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，则 Fx,x−1，
∵F 在抛物线上，
∴x−1=−x2+2x+3，
解得 x=1−172 或 x=1+172，
∴E1−172,3−172或1+172,3+172，
综上，满足条件的点 E 的坐标为 0,1 或 1−172,3−172 或 1+172,3+172．
（3） 方法一：如图 3，过点 P 作 PQ⊥x 轴交 AC 于点 Q，交 x 轴于点 H；过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G，
设 Qx,x+1，则 Px,−x2+2x+3，
∴PQ=−x2+2x+3−x+1=−x2+x+2,
又
∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=12PQ⋅AG=12−x2+x+2×3=−32x−122+278,
∴ 面积的最大值为 278．
【解析】方法二：过点 P 作 PQ⊥x 轴交 AC 于点 Q，交 x 轴于点 H；过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G，如图 3，
设 Qx,x+1，则 Px,−x2+2x+3，
又
∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC−S△AGC=12x+1−x2+2x+3+12−x2+2x+3+32−x−12×3×3=−32x2+32x+3=−32x−122+278,
∴△APC 的面积的最大值为 278．
15. （1） 把 A−3,0，B1,0 代入 y=x2+bx+c 中，得 9−3b+c=0,1+b+c=0, 解得 b=2,c=−3,
∴y=x2+2x−3．
（2） ①设直线 AC 的表达式为 y=kx+b，把 A−3,0，C0,−3 代入 y=kx+b 得 b=−3,−3k+b=0,
解得 k=−1,b=−3,
∴y=−x−3，
∵ 点 Pm,0 是 x 轴上的一动点，且 PM⊥x 轴，
∴Mm,−m−3，Nm,m2+2m−3，
∴MN=−m−3−m2+2m−3=−m2−3m=−m+322+94，
∵a=−1<0，
∴ 此函数有最大值．
又 ∵ 点 P 在线段 OA 上运动，且 −3<−32<0，
∴ 当 m=−32 时，MN 有最大值 94．
②满足条件的点 Q 的坐标为 0,−32−1 或 0,−1 或 0,32−1．
【解析】②如图 2−1 中，
当点 M 在线段 AC 上，MN=MC，四边形 MNQC 是菱形时，
∵MN=−m2−3m，MC=−2m，
∴−m2−3m=−2m，
解得 m=−3+2或0（舍弃），
∴MN=32−2，
∴CQ=MN=32−2，
∴OQ=32+1，
∴Q0,−32−1，
如图 2−2 中，
当 NC 是菱形的对角线时，四边形 MNCQ 是正方形，此时 CN=MN=CQ=2，可得 Q0,−1，
如图 2−3 中，
当点 M 在 CA 延长线上时，MN=CM，四边形 MNQC 是菱形时，
则有：m2+3m=−2m，解得 m=−3−2或0（舍弃），
∴MN=CQ=32+2，
∴OQ=CQ−OC=32−1，
∴Q0,32−1，
综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为 0,−32−1 或 0,−1 或 0,32−1．
16. （1） 4；0；4
【解析】将 B4,0 代入 y=−x2+3x+m，解得，m=4，
∴ 二次函数解析式为 y=−x2+3x+4，
令 x=0，得 y=4，
∴C0,4．
（2） 存在，理由：
过点 M 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，
由点 B，C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y=−x+4，
设点 Mx,−x2+3x+4，则点 Hx,−x+4，
BCM 的面积
S=S△MHC+S△MHB=12MN×OB=12×4×−x2+3x+4+x−4=−2x2+8x.
∵−2<0，故 S 有最大值，此时 x=2，故点 M2,6．
（3） ①如图 2，
∵ 点 P 在抛物线上，
∴ 设 Pm,−m2+3m+4，
当四边形 PBQC 是菱形时，点 P 在线段 BC 的垂直平分线上，
∵B4,0，C0,4，
∴ 线段 BC 的垂直平分线的解析式为 y=x，
∴m=−m2+3m+4，
∴m=1±5，
∴P1+5,1+5 或 P1−5,1−5．
②如图 2，设点 Pt,−t2+3t+4，过点 P 作 y 轴的平行线 l 交 BC 与 D，交 x 轴与 E；
过点 C 作 l 的垂线交 l 与 F，
∵ 点 D 在直线 BC 上，
∴Dt,−t+4，
∵B4,0，C0,4，
∴ 直线 BC 解析式为 y=−x+4，
∵PD=−t2+3t+4−−t+4=−t2+4t，BE+CF=4，
∴S四边形PBQC=2S△PCB=2S△PCD+S△PBD=212PD×CF+12PD×BE=4PD=−4t2+16t.
∵0 ∴ 当 t=2 时，S四边形PBQC最大=16，
故当 t 为 2 时，四边形 PBQC 的面积最大．
17. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx−3 交 y 轴于点 C，
∴C0,−3，则 OC=3．
∵P 到 x 轴的距离为 103，P 到 y 轴的距离是 1，且在第三象限，
∴P−1,−103．
∵C 关于直线 l 的对称点为 A，
∴A−2,−3．
将点 A−2,−3，P−1,−103 代入 y=ax2+bx−3，
有 4a−2b−3=−3,a−b−3=−103, 解得：a=13,b=23,
∴ 抛物线的表达式为 y=13x2+23x−3．
（2） 过点 D 作 DG⊥y 轴于 G，则 ∠DGE=∠BCE=90∘．
∵∠DEG=∠BEC，
∴△DEG∽△BEC．
∵DE:BE=4:1，
∴DGBC=DEBE=41，则 DG=4．
将 x=4 代入 y=13x2+23x−3，得 y=5，则 D4,5．
∵y=34x+m 过点 D4,5，
∴5=34×4+m，则 m=2．
∴ 所求直线的表达式为 y=34x+2．
（3） 存在，M185,165，M2−85,45，M3−43,1，M4−4825,1425．
18. （1） 如图 1．
针对于直线 y=−34x+6，令 x=0，则 y=6，
∴B0,6，
∴OB=6；
令 y=0，则 −34x+6=0，
∴x=8，
∴A8,0，
∴OA=8．
根据勾股定理得，AB=OA2+OB2=10，
由运动知，BQ=5t，过点 Q 作 QE⊥y 轴于 E，
∴QE∥AO，
∴△BEQ∽△BOA，
∴BQOB=EQOA=BQAB，
∴BQ6=EQ8=5t10，
∴BQ=3t，EQ=4t，
∴OE=OB−BE=6−3t，
∴Q4t,6−3t．
（2） 连接 DQ，CP，由运动知，OP=2t．
∴P0,2t，
∵ 点 C 是 OA 的中点，
∴C4,0，
∵ 四边形 CQPD 是平行四边形，
∴DQ 与 CP 互相平分，
设 Dm,n，由（1）知，Q4t,6−3t．
∴4t+m=4，6−3t+n=2t，
∴m=4−4t，n=5t−6，
∴D4−4t,5t−6．
①Ⅰ．当 x 轴将平行四边形 PQCD 的面积分为 1:5 的两个部分时，如图 2，
∵PC 是平行四边形 PQCD 的对角线，
∴S△PCQ=S△PCD，
∵S△CDF:S四边形CFPQ=1:5，
∴S△CDF:S△CPF=1:2，
∴DF:PF=1:2，
∴PF:DF=2:1，
过点 D 作 DG⊥y 轴于 G，
∴OG=6−5t，
∴DG∥FO，
∴POOG=PFDF，
∴2t6−5t=21，
∴t=1；【注：点 D 本身在 y 轴上，为了解决问题，没将点 D 放在 y 轴上】
Ⅱ．当 y 轴将平行四边形 PQCD 的面积分为 1:5 的两个部分时，
如图 3，过点 D 作 DN⊥x 轴于 N，
同Ⅰ的方法得，t=1.5，
即：坐标轴刚好将平行四边形 PQCD 的面积分为 1:5 的两个部分时，t=1 秒或 1.5 秒．
② 42≤DQ≤410
【解析】②由（1）知，Q4t,6−3t，
∵D4−4t,5t−6，
∴DQ2=4−4t−4t2+6−3t−5t+62=128t−12+32，
由运动知，0≤t≤2，
∴ 当 t=1 时，DQ2 最小，
∴DQ最小=42，
当 t=0 或 2 时，DQ2 最大，
∴DQ最大=410，
∴42≤DQ≤410．
19. （1） 不唯一，例如：y=x2+x+1．
（2） ① y=x2−x−2 .
②存在点 P，如图 1，使四边形 POPʹC 为菱形．
设 P 点坐标为 x,x2−x−2，PPʹ 交 CO 于 E，
若四边形 POPʹC 是菱形，则有 PC=PO．
连接 PPʹ，则 PE⊥CO 于 E，
∴OE=EC=1，
∴y=−1，
∴x2−x−2=−1，
解得 x1=1+52，x2=1−52（不合题意，舍去）．
∴P 点的坐标为 1+52,−1．
③过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，
设 Px,x2−x−2，
易得，直线 BC 的解析式：y=x−2，
则 Q 点的坐标为 x,x−2．
S四边形OBPC=S△OBC+S△BPQ+S△CPQ=12OB⋅OC+12QP⋅OF+12QP⋅FB=12×2×2+12−x2+2x×2=−x−12+3,
当 x=1 时，四边形 OBPC 的面积最大，
此时 P 点的坐标为 1,−2，四边形 OBPC 的面积最大值是 3．
20. （1） y=x2−2x+2；
【解析】∵ B 的坐标为 1,2，BC⊥y 轴于点 C，
∴ C 0,2，将点 A1,1，C0,2 代入 y=x2+bx+c 中，
得到：b=−2，c=2，
∴ 抛物线所对应的函数表达式为：y=x2−2x+2；
（2） ∵ PE∥y 轴，矩形 PFOE 的面积被抛物线的对称轴平分，
∴ P，F 点关于抛物线的对称轴对称，
∵ 抛物线的顶点坐标为 1,1，
∴ 抛物线的对称轴为 x=1，
∵ F 点的横坐标为 0，
∴ m=2；
（3） ∵ 点 P 的横坐标为 m，点 P 为第一象限内抛物线上的点且不与点 A 重合，
∴ Pm,m2−2m+2 m>0，且 m≠1．
∵ 四边形 ABCD 为正方形，且 A1,1，
∴ D0,1，B1,2，F0,m2−2m+2．
∴ PF=m，FD=m2−2m+2−1=m2−2m+1，
根据点 P 在点 A 的左右不同分两种情况（如图 1）：
当 0当 1 ∴ l=2m2−2m+2,0 （4） 连接 BD 如图 2 所示．
设直线 BD 的解析式为 y=kx+n，
将 D0,1，B1,2 代入 y=kx+n 中，
得：n=1,k+n=2, 解得：n=1,k=1,
∴ 直线 BD 的解析式为 y=x+1．
联立直线 BD 与抛物线解析式得：y=x+1,y=x2−2x+2,
解得：x=3−52,y=5−52, 或 x=3+52,y=5+52,舍去
①当 0只需 FD=2DQ=2PF，即 m2−2m+1=2m，
解得：m=2−3 或 m=2+3舍去，
∴ ∠FQD=90∘，此时，△FDQ 为等腰直角三角形；
②当 3−52≤m<1 时，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ ∠FDQ=∠CDB=45∘，
∵ ∠DFQ=90∘，
∴ △FDQ 为等腰直角三角形；
③当 1 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ ∠FDQ=∠CDB=45∘，
∵ ∠DFQ=90∘，
∴ △FDQ 为等腰直角三角形；
④当 m>2 时，线段 BD 与矩形 PFOE 的边只有一个交点 D，没有点 Q，
∴ 不存在 △FDQ．
综上可知：当 △FDQ 为等腰直角三角形时，m 的取值范围为 3−52≤m<1 和 1