2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（三）（含答案）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（三）（含答案），共36页。

（1）求点 A，B，C 的坐标．
（2）求抛物线的顶点坐标．

2. 如图，已知抛物线 y=12x2+bx+c 与 x 轴相交于 A−6,0，B1,0，与 y 轴相交于点 C，直线 l⊥AC，垂足为 C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线 l 与该抛物线的另一个交点为 D，求点 D 的坐标；
（3）设动点 Pm,n 在该抛物线上，当 ∠PAC=45∘ 时，求 m 的值．

3. 如图，已知抛物线 y=ax+6x−2 过点 C0,2，交 x 轴于点 A 和点 B（点 A 在点 B 的左侧），抛物线的顶点为 D，对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 EC．
（1）直接写岀 a 的值，点 A 的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点 M 是抛物线对称轴 DE 上的点，当 △MCE 是等腰三角形时，求点 M 的坐标；
（3）点 P 是抛物线上的动点，连接 PC，PE，将 △PCE 沿 CE 所在的直线对折，点 P 落在坐标平面内的点 Pʹ 处．求当点 Pʹ 恰好落在直线 AD 上时点 P 的横坐标．

4. 如图，已知一次函数 y1=kx+m 的图象经过 A−1,−5，B0,−4 两点，且与 x 轴交于点 C，二次函数 y2=ax2+bx+4 的图象经过点 A，C，连接 OA．
（1）求一次函数和二次函数的解析式．
（2）求 ∠OAB 的正弦值．
（3）在 x 轴正半轴上是否存在一点 D，使得 △BCD 与 △OAB 相似?若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

5. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C0,−3，顶点 D 的坐标为 1,−4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 y 轴上找一点 E，使得 △EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标；
（3）点 P 是 x 轴上的动点，点 Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P，Q，使得以点 P，Q，B，D 为顶点，BD 为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点 P，Q 坐标；若不存在，请说明理由．

6. 已知两点 A2,0，B1,1，直线 AB 与抛物线 y=ax2 相交于 B，C 两点．
（1）求直线 AB 以及抛物线所表示的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点 D, 使 S△OAD=S△OBC，求点 D 的坐标．

7. 已知直线 y=2x 与抛物线 y=ax2+3 相交于点 2,b．
（1）求 a，b 的值．
（2）若直线 y=2x 的图象上纵坐标为 2 的点为 A，抛物线 y=ax2+3 的顶点为 B，求 △AOB 的面积．

8. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的正半轴相交于点 B，与 y 轴相交于点 C0,−3，且 BO=CO．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的顶点为 M，试判断 △BCM 是否是直角三角形．

9. 如图，已知抛物线 y=x−22 的顶点为 C，直线 y=2x+4 与抛物线交于 A，B 两点，试求 △ABC 的面积．

10. 如图，已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+4 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，其中点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 x 轴正半轴上；图象与 y 轴正半轴交于点 C，且 △ABC 是直角三角形，tan∠CAB=12．求这个二次函数的解析式．

11. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A−1,0，C3,0，点 B 为抛物线顶点，直线 BD 为抛物线的对称轴，点 D 在 x 轴上，连接 AB，BC，∠ABC=90∘，AB 与 y 轴交于点 E，连接 CE．
（1）求顶点 B 的坐标并求出这条抛物线的解析式；
（2）点 P 为第一象限抛物线上一个动点，设 △PEC 的面积为 S，点 P 的横坐标为 m，求 S 关于 m 的函数关系武，并求出 S 的最大值；
（3）如图 2，连接 OB，抛物线上是否存在点 Q，使直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于 ∠OBD，若存在请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．

12. 如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90∘，得到 △DOC，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，B，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求以 C，E，F 为顶点三角形与 △COD 相似时点 P 的坐标．

13. 如图，经过原点的抛物线 y=ax2−x+b 与直线 y=2 交于 A，C 两点，其对称轴是直线 x=2，抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，线段 AC 与 y 轴交于点 B．
（1）求抛物线的解析式，并写出点 D 的坐标；
（2）若点 E 为线段 BC 上一点，且 EC−EA=2，点 P0,t 为线段 OB 上不与端点重合的动点，连接 PE，过点 E 作直线 PE 的垂线交 x 轴于点 F，连接 PF，探究在 P 点运动过程中，线段 PE，PF 有何数量关系?并证明所探究的结论；
（3）设抛物线顶点为 M，求当 t 为何值时，△DMF 为等腰三角形?

14. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx−2 与 x 轴交于两个不同的点 A−1,0，B4,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图 2，连接 BC，作垂直于 x 轴的直线 x=m，与抛物线交于点 D，与线段 BC 交于点 E，连接 BD 和 CD，求当 △BCD 面积的最大值时，线段 ED 的值；
（3）在（2）中 △BCD 面积最大的条件下，如图 3，直线 x=m 上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆?若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

15. 如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，批物线 y=x2−4x+aa<0 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 E，F 两点（点 E 在点 F 的右侧），顶点为 M．直线 y=23x−a 与 x 轴、 y 轴分别交于 B，C 两点，与直线 AM 交于点 D．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）在 y 轴右侧的抛物线上存在点 P，使得以 P，A，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，求 a 的值．
（3）如图②，过抛物线顶点 M 作 MN⊥x 轴于 N，连接 ME，点 Q 为抛物线上任意一点，过点 Q 作 QG⊥x 轴于 G，连接 QE．当 a=−5 时，是否存在点 Q，使得以 Q，E，G 为顶点的三角形与 △MNE 相似（不含全等）?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

16. 如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线 y=12x2+bx+c 经过点 B6,0 和点 C0,−3．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图 2，线段 OC 绕原点 O 逆时针旋转 30∘ 得到线段 OD．过点 B 作射线 BD，点 M 是射线 BD 上一点（不与点 B 重合），点 M 关于 x 轴的对称点为点 N，连接 NM，NB．
①直接写出 △MBN 的形状为 ；
②设 △MBN 的面积为 S1，△ODB 的面积为是 S2，当 S1=23S2 时，求点 M 的坐标．
（3）如图 3，在（2）的结论下，过点 B 作 BE⊥BN，交 NM 的延长线于点 E，线段 BE 绕点 B 逆时针旋转，旋转角为 α0∘<α<120∘ 得到线段 BF，过点 F 作 FK∥x 轴，交射线 BE 于点 K，∠KBF 的角平分线和 ∠KFB 的角平分线相交于点 G，当 BG=23 时，请直接写出点 G 的坐标为 ．

17. 如图，抛物线 y=ax2+94x+c 经过点 A−1,0 和点 C0,3 与 x 轴的另一交点为点 B，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 MP∥y 轴，交抛物线于点 P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点 Q，使得 △QCO 是等边三角形?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以 M 为圆心，MP 为半径作 ⊙M，当 ⊙M 与坐标轴相切时，求出 ⊙M 的半径．

18. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 与 x 轴交于点 A−3,0 和 B1,0，与 y 轴交于点 C，顶点为 D．
（1）求抛物线解析式．
（2）连接 AD，CD，BC，将 △OBC 沿着 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向左平移，得到 △OʹBʹCʹ，点 O，B，C 的对应点分别为 Oʹ，Bʹ，Cʹ，设平移时间为 t 秒，当点 Oʹ 与点 A 重合时停止移动．记 △OʹBʹCʹ 与四边形 AOCD 的重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与时间 t 的函数解析式．
（3）如图 2，过抛物线上任意一点 Mm,n 向直线 l：y=92 作垂线，垂足为 E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得 ME−MF=14?若存在，请求 F 点的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A−1,0，点 C0,3，且 OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点 D，E 是在直线 x=1 上的两个动点，且 DE=1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 的周长的最小值．
（3）点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，求点 P 的坐标．

20. 如图，二次函数 y=ax2−3ax+c 的图象与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C 直线 y=−x+4 经过点 B，C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点 A 的直线交抛物线于点 M，交直线 BC 于点 N．
①点 N 位于 x 轴上方时，是否存在这样的点 M，使得 AM:NM=5:3?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
②连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角 ∠ANB 等于 ∠ACB 的 2 倍时，请求出点 M 的横坐标．
答案
1. （1） A0,6，B3,6，C4,2．
（2） 32,334．
2. （1） ∵ 抛物线 y=12x2+bx+c 经过 A−6,0 和 B1,0，
∴12×−62−6b+c=012+b+c=0，
∴b=52，c=−3，
∴ 抛物线的表达式为 y=12x2+52x−3．
（2） 如图，过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，而 l⊥AC，AO⊥y 轴．
∴△CDE∽△ACO，则 DEOC=CEAO，
∵A−6,0，C0,−3，设 Dx,12x2+52x−3，
∴AO=6，OC=3，
又 DE=−x，CE=−12x2−52x，
∴−x3=−12x2−52x6，即 x2+x=0，
x1=−1，x2=0（舍去），
从而 12x2+52x−3=5，
∴ 点 D 的坐标为 −1,−5．
（3） ①如图，当点 P1 在 x 轴上方时，设直线 AP1 与 l 交于点 M1 ，
∵∠P1AC=45∘，l⊥AC，
∴ △AM1C 是等腰直角三角形，AC=M1C，
作 M1H1⊥y 轴于点 H1，则 Rt△CM1H1≌Rt△ACO，
∴ M1H1=CO=3，CH1=AO=6，OH1=3，
∴ 点 M1 的坐标为 3,3，
∴ 直线 AP1 的表达式为 y=13x+2，
又 ∵ P1m,n
∴ n=13m+2n=12m2+52m−3，解得 m1=53，m2=−6（舍去）；
②如图，当点 P2 在 x 轴下方时，设直线 AP2 与 l 交于点 M2，作 M2H2⊥y 轴于点 H2，则 Rt△CM2H2≌Rt△ACO，
同理可得：点 M2 的坐标为 −3,−9，
∴ 直线 AP2 的表达式为 y=−3x−18，
又 P2m,n，
n=−3m−18n=12m2+52m−3，解得 m1=−5，m2=−6（舍去）；
综上所述，m 的值为 53 或 −5．
3. （1） a=16；A−6,0；对称轴为直线 x=−2
【解析】∵ 抛物线 y=ax+6x−2 过点 C0,2，
∴2=a0+60−2，
∴a=−16，
∴ 抛物线的解析式为 y=−16x+6x−2=−16x+22+83，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−2．
（2） 如图 1，
由（1）知，抛物线的对称轴为 x=−2，
∴E−2,0，
∵C0,2，
∴OC=OE=2，
∴CE=2OC=22，∠CED=45∘，
∵△CME 是等腰三角形，
∴ ①当 ME=MC 时，
∴∠ECM=∠CED=45∘，
∴∠CME=90∘，
∴M−2,2 或 −2,−2，
②当 CE=CM 时，
∴MM1=CM=2，
∴EM1=4，
∴M1−2,4，
③当 EM=CE 时，
∴EM2=EM3=22，
∴M2−2,−22，M3−2,22，
即满足条件的点 M 的坐标为 −2,−2 或 −2,2 或 −2,4 或 −2,22 或 −2,−22．
（3） 如图 2，
由（1）知，抛物线的解析式为 y=−16x+6x−2=−16x+22+83，
∴D−2,83，
令 y=0，则 x+6x−2=0，
∴x=−6 或 x=2，
∴ 点 A−6,0，
∴ 直线 AD 的解析式为 y=23x+4，
过点 P 作 PQ⊥x轴 于 Q，过点 Pʹ 作 PʹQʹ⊥DE 于
Qʹ，
∴∠EQʹPʹ=∠EQP=90∘，
由（2）知，∠CED=∠CEB=45∘，
由折叠知，EPʹ=EP，∠CEPʹ=∠CEP，
∴△PQE≌△PʹQʹEAAS，
∴PQ=PʹQʹ，EQ=EQʹ，
设点 Pm,n，
∴OQ=m，PQ=n，
∴PʹQʹ=n，EQʹ=QE=m+2，
∴ 点 Pʹn−2,2+m，
∵ 点 Pʹ 在直线 AD 上，
∴2+m=23n−2+4, ⋯⋯①
∵ 点 P 在抛物线上，
∴n=−16m+6m−2, ⋯⋯②
联立①②解得，m=−13−2412 或 m=−13+2412，
即点 P 的横坐标为 −13−2412 或 −13+2412．
4. （1） 将 A−1,−5，B0,−4 分别代入 y1=kx+m，
得 −5=−k+m,−4=m. 解得 k=1,m=−4.
∴ 一次函数的解析式为 y1=x−4．
在 y1=x−4 中，令 y1=0，得 x=4．
∴C4,0．
将 A−1,−5，C4,0 分别代入 y2=ax2+bx+4，
得 −5=a−b+4,0=16a+4b+4, 解得 a=−2,b=7.
∴ 二次函数的解析式为 y2=−2x2+7x+4．
（2） 如图，过点 O 作 OH⊥BC 于点 H．
∵C4,0，B0,−4，
∴OB=OC=4．
∴△BOC 为等腰直角三角形．
∴BC=OB2+OC2=42+42=42．
∴OH=12BC=22．
∵A−1,−5，
∴OA=−12+−52=26．
在 Rt△OAH 中，sin∠OAB=OHOA=2226=21313．
（3） 存在．
理由如下：
∵A−1,−5，B0,−4，易得 AB=2．
由（2）得 BC=42，△OBC 为等腰直角三角形．
∴∠OBH=45∘．
∴∠OBA=135∘．
若 △BCD 与 △OAB 相似，则 ∠DCB=∠OBA=135∘，点 D 只能在点 C 的右侧．
①当 △BDC∽△OAB 时，DCAB=BCOB，
即 DC2=424．
解得 DC=2．
∴OD=OC+DC=4+2=6．
∴D6,0．
②当 △DBC∽△OAB 时，DCOB=BCAB，
即 DC4=422．
解得 DC=16．
∴OD=OC+DC=4+16=20．
∴D20,0．
综上，点 D 的坐标为 6,0 或 20,0 时，△BCD 与 △OAB 相似．
5. （1） 因为抛物线的顶点为 1,−4，
所以设抛物线的解析式为 y=ax−12−4，
将点 C0,−3 代入抛物线 y=ax−12−4 中，
得 a−4=−3，
所以 a=1，
所以抛物线的解析式为 y=x−12−4=x2−2x−3；
（2） 满足所有条件的点 E 的坐标为 0,3，0,−3+10，0,−3−10，0,−43．
【解析】由（1）知，抛物线的解析式为 y=x2−2x−3，
令 y=0，则 x2−2x−3=0，
所以 x=−1 或 x=3，
所以 A−1,0，B3,0，
所以 AC=OA2+OC2=12+32=10，
设点 E0,m，则 AE=m2+1，
CE=∣m+3∣，
因为 △ACE 是等腰三角形，
所以
①当 AC=AE 时，10=m2+1，
所以 m=3 或 m=−3（点 C 的纵坐标，舍去），
所以 E0,3，
②当 AC=CE 时，10=∣m+3∣，
所以 m=−3±10，
所以 E0,−3+10 或 0,−3−10，
③当 AE=CE 时，m2+1=∣m+3∣，
所以 m=−43，
所以 E0,−43，
即满足所有条件的点 E 的坐标为 0,3，0,−3+10，0,−3−10，0,−43．
（3） 如图，存在，
所以 D1,−4．
所以将线段 BD 向上平移 4 个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点 B 的对应点落在抛物线上，这样便存在点 Q，此时点 D 的对应点就是点 P，
点 Q 的纵坐标为 4，
设 Qt,4，
将点 Q 的坐标代入抛物线 y=x2−2x−3 中
得 t2−2t−3=4，
解得 t=1+22 或 t=1−22，
所以 Qʹ1+22,4 或 Q1−22,4，
分别过点 D，Q，Qʹ 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G，Gʹ，
因为抛物线 y=x2−2x−3 与 x 轴的右边的交点 B 的坐标为 3,0，且 D1,−4，
所以 FB=PG=3−1=2，
所以点 P 的横坐标为 1+22−2=−1+22 或 1−22−2=−1−22，
即 P−1+22,0，Q1+22,4 或 P−1−22,0，Q1−22,4．
6. （1） y=−x+2，y=x2．
（2） 3,3 或 −3,3．
7. （1） a=14，b=4．
（2） 32．
8. （1） y=x2−2x−3．
（2） 是．
9. 24．
10. y=−14x2−32x+4．
11. （1） ∵A−1,0，C3,0，
∴AC=4，抛物线对称轴为 x=−1+32=1，
∵BD 是抛物线的对称轴，
∴D1,0，
∵ 由抛物线的对称性可知 BD 垂直平分 AC，
∴BA=BC，
又 ∵∠ABC=90∘，
∴BD=12AC=2，
∴ 顶点 B 坐标为 1,2，
设抛物线的解析式为 y=ax−12+2，
将 A−1,0 代入，
得 0=4a+2，
解得，a=−12，
∴ 抛物线的解析式为：y=−12x−12+2=−12x2+x+32；
（2） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
将 A−1,0，B1,2 代入，
得，−k+b=0,k+b=2,
解得，k=1，b=1，
∴yAB=x+1，
当 x=0 时，y=1，
∴E0,1，
∵ 点 P 的横坐标为 m，
∴ 点 P 的纵坐标为 −12m2+m+32，
如图 1，连接 EP，OP，CP，
则S△EPC=S△OEP+S△OCP−S△OCE=12×1×m+12×3−12m2+m+32−12×1×3=−34m2+2m+34=−34m−432+2512,
∵−34<0，根据二次函数和图象及性质知，当 m=43 时，S 有最大值 2512；
（3） −13,109 或 5,−6．
【解析】由（2）知 E0,1，
又 ∵A−1,0，
∴OA=OE=1，
∴△OAE 是等腰直角三角形，
∴AE=2OA=2，
又 ∵AB=BC=22AC=22，
∴BE=AB−AE=2，
∴BEBC=222=12，
又 ∵ODBD=12，
∴ODBD=12，
∴BEBC=ODBD，
又 ∵∠ODB=∠EBC=90∘，
∴△ODB∽△EBC，
∴∠OBD=∠ECB，
①当点 Q 在 x 轴上方时，延长 CE，交抛物线于点 Q，则此时直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于 ∠OBD，
设直线 CE 的解析式为 y=mx+1，
将点 C3,0 代入，
得，3m+1=0，
∴m=−13，
∴yCE=−13x+1，
联立 y=−12x2+x+32,y=−13x+1,
解得，x=3,y=0 或 x=−13,y=109,
∴Q 的坐标为 −13,109，
②当 Q 在 x 轴下方时，如图 2−2，延长 BC 至 Bʹ，过点 C 作 BC 的垂线，交 y 轴于点 F，
∵B1,2，C3,0，
∴BD=CD=2，
∴∠BCD=45∘，
∴∠OFC=45∘，
∴OF=OC=3，F0,−3，
将 C3,0 代入 y=kx−3，
得，k=1，
∴ 直线 CF 的解析式为 y=x−3，
作点 Q1（①中所求）关于直线 CF 的对称点 N，设 QN 与 FC 交于点 M，则 ∠NCBʹ=∠QCB=∠OBD，
则 QN⊥FC，
∴ 将 Q1−13,109 代入 y=−x+b，
得，b=79，
∴ 直线 QM 的解析式为 y=−x+79，
联立，得 x−3=−x+79，
解得，x=179，
∴M179,−109，
∵ 点 Q1−13,109 与点 N 关于 M179,−109 对称，
∴N379,−309，
将点 N379,−309，C3,0 代入 y=kx+b，
得 k=−3，b=9，
∴ 直线 CN 的解析式为 y=−3x+9，
联立，得 −3x+9=−12x2+x+32，
解得，x1=3，x2=5，
则 Q25,−6，
综上所述，点 Q 的坐标为 −13,109 或 5,−6．
12. （1） 在 Rt△AOB 中，OA=1，tan∠BAO=OBOA=3，
∴OB=3OA=3，
∵△DOC 是由 △AOB 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，
∴A，B，C 的坐标分别为 1,0，0,3，−3,0，代入解析式为
a+b+c=0,9a−3b+c=0,c=3,
解得 a=−1,b=−2,c=3,
抛物线的解析式为 y=−x2−2x+3．
（2） ∵ 抛物线的解析式为 y=−x2−2x+3，
∴ 对称轴为 l=−b2a=−1，
∴E 点坐标为 −1,0，如图，
①当 ∠CEF=90∘ 时，△CEF∽△COD，
此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P−1,4，
②当 ∠CFE=90∘ 时，△CFE∽△COD，
过点 P 作 PM⊥x 轴于 M 点，△EFC∽△EMP，
∴EMMP=EFCF=ODCO=13，
∴MP=3ME，
∵ 点 P 的横坐标为 t，
∴Pt,−t2−2t+3，
∵P 在第二象限，
∴PM=−t2−2t+3，ME=−1−t，
∴−t2−2t+3=3−1−t，
解得 t1=−2，t2=3，（与 P 在二象限，横坐标小于 0 矛盾，舍去），
当 t=−2 时，y=−−22−2×−2+3=3，
∴P−2,3，
当 △CEF 与 △COD 相似时，P 点的坐标为 −1,4 或 −2,3．
13. （1） 抛物线过原点，则 b=0，
x=2=−−12a，解得：a=14，
故抛物线的表达式为：y=14x2−x，
令 y=14x2−x=0，解得 x=0 或 4，
故点 D 的坐标为 4,0．
（2） 线段 PE，PF 的数量关系为 PF=5PE，理由：
如图 1，设 AC 的中点为 G，则点 G2,2，
则 AE+EG=GC，
∴GE+GE=GE+GC−AE=EC−AE=2，故 EG=1，则点 E1,2，
∴BE=2−1=1，
过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H，
∵∠FEH+∠HEP=90∘，∠HEP+∠PEB=90∘，
∴∠FEH=∠PEB，
∵∠PBE=∠FHE=90∘，
∴△PBE∽△FHE，
∴PEEF=BEHE=12，故 EF=2PE，
在 Rt△PEF 中，PF2=PE2+FE2=PE2+2PE2=5PE2，即 PF=5PE．
（3） 由 y=14x2−x=14x−22−1 知：点 M2,−1，则点 N1,0，
①当 FM=FD 时，如图 2，
在 △MND 中，MD=MN2+DN2=1+22=5，
在 △MNF 中，设 FM=FD=k，
由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，即 2−k2+1=k2，解得：k=54，
故 FM=FD=54，NF=2−54=34，则 OF=ON+NF=2+34=114，
故点 F114,0；
点 P0,t，则 PB=2−t，而 BE=1，
在 △PBE 中，PE2=BP2+BE2，即 PE2=1+2−t2，
而 PF=5PE，则 PF2=5+52−t2，
在 △POF 中，OP2+OF2=PF2，即 t2+1142=52−t2，
解得：t=98；
②当 DF=DM 时，如图 3，连接 MG，
由①知 DM=5=DF，则 OF=4−5，故点 F4−5,0，
由①知，PE2=1+2−t2，PF2=5+52−t2，
在 Rt△OPF 中，OP2+OF2=PF2，即 t2+4−52=52−t2，
解得：t=5+12；
③当 FM=DM 时，
根据抛物线的对称性，则点 F，O 重合，即点 F0,0，
∵PE⊥EF，则点 P 在 AC 的上方，这与点 P0,t 为线段 OB 上的点矛盾，故这种情况不存在；
综上，t=98 或 5+12．
14. （1） 把 A−1,0，B4,0 代入 y=ax2+bx−2，
得到 a−b−2=0,16a+4b−2=0,
解得 a=12,b=−32,
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−32x−2．
（2） 设 Dm,12m2−32m−2，
∵C0,−2，B4,0，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=12x−2，
∴Em,12m−2，
∴DE=12m−2−12m2−32m−2=−12m2+2m，
∴S△BCD=12⋅DE⋅OB=−m2+4m=−m−22+4，
∵−1<0，
∴m=2 时，△BDC 的面积最大，此时 DE=−12×22+2×2=2．
（3） 如图 3 中，连接 BC，
∵OBOC=OCOA=2，∠BCO=∠COA=90∘，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OBC=∠OCA，
∵∠OBC+∠OCB=90∘，
∴∠OCA+∠OCB=90∘=∠ACB，
∴BC⊥AC，
∵ 点 B 的坐标为 4,0，点 C 的坐标为 0,−2，点 A 的坐标为 −1,0，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=12x−2，直线 AC 的解析式为 y=−2x−2，
设点 Q 的坐标为 2,n，则过点 Q 且垂直 AC 的直线的解析式为 y=12x+n−1，
联立两直线解析式成方程组，得：y=12x+n−1,y=−2x−2,
解得：x=−2−2n5,y=4n−65,
∴ 两直线的交点坐标为 −2−2n5,4n−65，
依题意，得：2−02+n−02=−2−2n5−22+4n−65−n2，
整理，得：n2−3n−4=0，解得：n1=−1，n2=4，
∴ 点 Q 的坐标为 2,−1 或 2,4．
综上所述：在这条直线上存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q 的坐标为 2,−1 或 2,4．
15. （1） ∵y=x2−4x+a=x−22+a−4，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=2．
（2） 由 y=x−22+a−4 得：A0,a，M2,a−4，
由 y=23x−a 得 C0,−a，
设直线 AM 的解析式为 y=kx+a，
将 M2,a−4 代入 y=kx+a 中，得 2k+a=a−4，
解得 k=−2，
直线 AM 的解析式为 y=−2x+a，
联立方程组得 y=−2x+a,y=23x−a, 解得 x=34a,y=−12a.
∴D34a,−12a，
∵a<0，
∴ 点 D 在第二象限，
又点 A 与点 C 关于原点对称，
∴AC 是以 P，A，C，D 为顶点的平行四边形的对角线，则点 P 与点 D 关于原点对称，
即 P−34a,12a，
将点 P−34a,12a 代入抛物线 y=x2−4x+a，解得 a=−569 或 a=0（舍去），
∴a=−569．
（3） 存在．
理由如下：当 a=−5 时，y=x2−4x−5=x−22−9，此时 M2,−9，
令 y=0，即 x−22−9=0，解得 x1=−1，x2=5，
∴ 点 F−1,0，E5,0，
∴EN=FN=3，MN=9，
设点 Qm,m2−4m−5，则 Gm,0，
∴EG=∣m−5∣QG=∣m2−4m−5∣，
又 △QEG 与 △MNE 都是直角三角形，且 ∠MNE=∠QGE=90∘，
如图所示，需分两种情况进行讨论：
ⅰ）当 EGQG=ENMN=39=13 时，即 m2−4m−5m−5=13，
解得 m=2 或 m=−4 或 m=5（舍去）；
当 m=2 时点 Q 与点 M 重合，不符合题意，舍去，
当 m=−4 时，此时 Q 坐标为点 Q1−4,27；
ⅱ）当 QGEG=ENMN=39=13 时，即 m2−4m−5m−5=13，
解得 m=−23 或 m=−43 或 m=5（舍去），
当 m=−23 时，Q 坐标为点 Q2−23,−179，
当 m=−43 时，Q 坐标为点 Q3−43,199，
综上所述，点 Q 的坐标为 −4,27 或 −23,−179，或 −43,199．
16. （1） ∵ 抛物线 y=12x2+bx+c 经过点 B6,0 和点 C0,−3，
∴18+6b+c=0,c=−3,
解得：b=−52,c=−3,
∴ 抛物线解析式为 y=12x2−52x−3．
（2） 等边三角形；
∵△ODB 的面积 S2=12×OB×DH=12×6×332=932，且 S1=23S2，
∴S1=23×932=33，
∵△BMN 是等边三角形，
∴S1=34MN2=33
∴MN=23，
∵ 点 M 关于 x 轴的对称点为点 N，
∴MR=NR=3，MN⊥OB，
∵∠MBH=30∘，
∴BR=3MR=3，
∴OR=3，
∵ 点 M 在第四象限，
∴ 点 M 坐标为 3,−3．
【解析】如图 2，过点 D 作 DH⊥OB 于 H，设 MN 与 x 轴交于点 R，
∵ 点 B6,0 和点 C0,−3，
∴OC=3，OB=6，
∵ 线段 OC 绕原点 O 逆时针旋转 30∘ 得到线段 OD，
∴OD=3，∠COD=30∘，
∴∠BOD=60∘，
∵DH⊥OB，
∴∠ODH=30∘，
∴OH=12OH=32，DH=3OH=332，
∴BH=OB−OH=92，
∵tan∠HBD=HDHB=33292=33，
∴∠HBD=30∘，
∵ 点 M 关于 x 轴的对称点为点 N，
∴BN=BM，∠MBH=∠NBH=30∘，
∴∠MBN=60∘，
∴△BMN 是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
（3） 6,−23
【解析】如图 3 中，过点 F 作 FH⊥BG 交 BG 的延长线于 H．
由题意 BE=BF=6，FK∥OB，
∴∠ABK=∠FKB=60∘，
∵BG 平分 ∠FBE，GF 平分 ∠BFK，
∴∠FGB=120∘，设 GH=a，则 FG=2a，FH=3a，
在 Rt△BHF 中，
∵∠FHB=90∘，
∴BF2=BH2+FH2，
∴62=23+a2+3a2，
解得 a=3或−23（不符合题意舍弃），
∴FG=BG=23，
∴∠GBF=∠GFB=30∘，
∴∠FBK=∠BFK=60∘，
∴△BFK 是等边三角形，此时 F 与 K 重合，BG⊥KF，
∵KF∥x 轴，
∴BG⊥x 轴，
∴G6,−23．
17. （1） 把点 A−1,0 和点 C0,3 代入 y=ax2+94x+c 得 0=a−94+c,3=c,
解得 a=−34,c=3,
∴ 抛物线的解析式为 y=−34x2+94x+3；
（2） 不存在．理由如下：
①当点 Q 在 y 轴右边时，如图 1 所示：
假设 △QCO 为等边三角形，
过点 Q 作 QH⊥OC 于 H，
∵ 点 C0,3，
∴OC=3，
则 OH=12OC=32，tan60∘=QHOH，
∴QH=OH⋅tan60∘=32×3=332，
∴Q332,32，
把 x=332 代入 y=−34x2+94x+3，
得 y=2738−3316≠32，
∴ 假设不成立，
∴ 当点 Q 在 y 轴右边时，不存在 △QCO 为等边三角形；
②当点 Q 在 y 轴的左边时，如图 2．
假设 △QCO 为等边三角形，
过点 Q 作 QT⊥OC 于 T，
∵ 点 C0,3，
∴OC=3，
则 OT=12OC=32，tan60∘=QTOT，
∴QT=OT⋅tan60∘=32×3=332，
∴Q−332,32，
把 x=−332 代入 y=−34x2+94x+3，
得 y=−2738−3316≠32，
∴ 假设不成立，
∴ 当点 Q 在 y 轴左边时，不存在 △QCO 为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点 Q，使得 △QCO 是等边三角形；
（3） 令 −34x2+94x+3=0，
解得 x1=−1，x2=4，
∴B4,0，
设 BC 直线的解析式为：y=kx+b，
把 B，C 的坐标代入则 0=4k+b,3=b,
解得 k=−34,b=3,
∴BC 直线的解析式为 y=−34x+3，
当 M 在线段 BC 上，⊙M 与 x 轴相切时，如图 3．
延长 PM 交 AB 于点 D，
则点 D 为 ⊙M 与 x 轴的切点，即 PM=MD，
设 Px,−34x2+94x+3，
Mx,−34x+3，
则 PD=−34x2+94x+3，
MD=−34x+3，
∴−34x2+94x+3−−34x+3=−34x+3，
解得：x1=1，x2=4（不合题意舍去），
∴⊙M 的半径为：MD=−34+3=94；
当 M 在线段 BC 上，⊙M 与 y 轴相切时，如图 4．
延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于 E，
则点 E 为 ⊙M 与 y 轴的切点，即 PM=ME，PD−MD=EM=x，
设 Px,−34x2+94x+3，
Mx,−34x+3，
则 PD=−34x2+94x+3，
MD=−34x+3，
∴−34x2+94x+3−−34x+3=x，
解得：x1=83，x2=0（不合题意舍去），
∴⊙M 的半径为：EM=83；
当 M 在 BC 延长线，⊙M 与 x 轴相切时，如图 5．
点 P 与 A 重合，
∴M 的横坐标为 −1，
∴⊙M 的半径为：M 的纵坐标的值，
即：−34×−1+3=154；
当 M 在 CB 延长线，⊙M 与 y 轴相切时，如图 6．
延长 PM 交 x 轴于 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于 E，
则点 E 为 ⊙M 与 y 轴的切点，即 PM=ME，PD−MD=EM=x，
设 Px,−34x2+94x+3，
Mx,−34x+3，
则 PD=34x2−94x−3，MD=34x−3，
∴34x2−94x−3−34x−3=x，
解得：x1=163，x2=0（不合题意舍去），
∴⊙M 的半径为：EM=163；
综上所述，⊙M 的半径为 94 或 83 或 154 或 163．
18. （1） 将 A−3,0 和 B1,0 代入抛物线解析式 y=ax2+bx+3 中，可得：a=−1，b=−2．
∴ 抛物线解析式为 y=−x2−2x+3．
（2） ①如图 1 所示，当 0 S=12×3×1−12×31−t2=−32t2+3t.
由抛物线解析式得顶点 D 坐标为 −1,4，则直线 AD 的解析式为 y=2x+6，当 Cʹ 在 AD 上时，Cʹ 坐标为 −32,3．
②当 1≤t<32 时，△OʹBʹCʹ 完全在四边形 AOCD 内，S=32．
③当 32≤t≤3 时，如图 2 所示，过 G 点作 GH⊥CʹOʹ，
设 HG=x，
∵tan∠CʹGH=tan∠CBO=3，
∴CʹH=3HG=3x．
∵tan∠HGK=tan∠KAOʹ=42=2，
∴HK=2HG=2x．
∴CʹK=CʹH+HK=5x．
而 KOʹ=2AOʹ=23−t，
∴5x+23−t=3．
∴x=2t−35．
∴S=32−12⋅5x⋅x=32−522t−352=−25t2+65t+35.
综上：
S=−32t2+3t,0 （3） 假设存在，如图 3，
设 F 点坐标为 −1,t，
∵ 点 Mm,n 在抛物线上
∴n=−m2−2m+3．
∴ME=92−n=92−−m2−2m+3=m2+2m+32．
∴MF=ME−14=m2+2m+54．
而 MF=m+12+−m2−2m+3−t2，
∴m+12+−m2−2m+3−t2=m2+2m+542．
∴−m2−2m+3−t2=m2+2m+542−m+12=m2+3m+94m2+m+14=m+322m+122=m2+2m+342.
∴t−3=34，t=154．
∴F−1,154．
19. （1） ∵OB=OC，
∴ 点 B3,0，
设抛物线的表达式为：
y=ax+1x−3=ax2−2x−3=ax2−2ax−3a
将点 C0,3 代入得 −3a=3，
解得 a=−1，
故抛物线的表达式为 y=−x2+2x+3⋯⋯①
函数的对称轴为：x=22×−1=1；
（2） 四边形 ACDE 的周长 =AC+DE+CD+AE，
其中 AC=10，DE=1 ，
故 CD+AE 最小时，周长最小．
取点 C 关于直线 x=1 的对称点 Cʹ2,3，如答图 1
则 CD=CʹD，取点 Aʹ−1,1，
则 AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，
则当 Aʹ，D，Cʹ 三点共线时，
CD+AE=AʹD+DCʹ 最小，周长也最小，
AʹCʹ=2+12+3−12=13
∴ 四边形 ACDE 的周长的最小值 =AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹC′=10+1+13；
（3） 如答图 2，设直线 CP 交 x 轴于点 E，
直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，
又 ∵S△PCB:S△PCA=12EB×yc−yp:12AE×yc−yp=BE:AE，
∴BE:AE=3:5或5:3，
∵AE+BE=AB=4，
∴AE=52或32，
即点 E 的坐标为 32,0 或 12,0，
将点 E 的坐标代入一次函数表达式：
y=kx+3 ，
解得：k=−6 或 −2 ，
故直线 CP 的表达式为：y=−2x+3⋯⋯②
或 y=−6x+3⋯⋯③
联立①②并解得：x=4,y=−5, 或 x=0,y=3,（不合题意，舍去），
联立①③并解得：x=8,y=−45, 或 x=0,y=3,（不合题意，已舍去），
故点 P 的坐标为 4,−5 或 8,−45．
20. （1） 由直线 y=−x+4 知：点 B，C 的坐标分别为 4,0，0,4，
则二次函数表达式为：y=ax2−3ax+4，将点 A 的坐标代入上式并解得：a=−1，
故抛物线的表达式为：y=−x2+3x+4，则点 A−1,0．
（2） ①不存在，理由：
设直线 AM 的表达式为：y=kx+b，
将点 A 的坐标代入上式并解得：
直线 AM 的表达式为：y=kx+k，
如图 1 所示，分别过点 M，N 作 x 轴的垂线交于点 H，G，
∵AM:NM=5:3，则 MH=52NG，
设点 Nm,mk+k，即：mk+k=−m+4, ⋯⋯①
则点 M52m+32,5km+12，
将点 M 的坐标代入二次函数表达式得：
5km+12=−5m2+322+35m2+32+4, ⋯⋯②
联立①②并整理得：5m2−2m+3=0，
Δ<0，故方程无解，
故不存在符合条件的 M 点；
②当 ∠ANB=2∠ACB 时，如下图，则 ∠NAC=∠NCA，
∴CN=AN，
直线 BC 的表达式为：y=−x+4，
设点 Nn,−n+4，
由 CN=AN，即：n2+4−n−42=n+12+4−n2，
解得：n=176，则点 N176,76，
将点 N，A 坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 NA 的表达式为：y=723x+723, ⋯⋯③
将③式与二次函数表达式联立并解得：x=8523，
故点 M8523,252193．