2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（四）（word版含答案）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与三角形综合（四）（word版含答案），共37页。

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 P 在运动的过程中线段 PD 长度的最大值；
（3）△APD 能否构成直角三角形?若能，请直接写出所有符合条件的点 P 坐标；若不能，请说明理由．

2. 关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点为 P，图象与 x 轴交于 A−1,0，B3,0 两点（如图），且 △PAB 为直角三角形．求这个二次函数的解析式．

3. 如图，直线 AB 过 x 轴上的点 A2,0，且与抛物线 y=ax2 相交于 B，C 两点，点 B 的坐标为 1,1．
（1）求直线和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点 D，使得 S△OBC=S△OAD，求点 D 的坐标．

4. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与一直线相交于 A1,0，C−2,3 两点，与 y 轴相交于点 N，其顶点为 D．
（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式．
（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 △APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标．
（3）在对称轴上是否存在一点 M，使 △ANM 的周长最小．若存在，请求出 M 点的坐标和 △ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．

5. 如图，抛物线 y=−x2+4x 交 x 轴于 O，B 两点，A 为抛物线上一点，且横纵坐标相等（原点除外），P 为抛物线上一动点，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Da,0a>0，并与直线 OA 交于点 C．
（1）求 A，B 两点的坐标．
（2）当点 P 在线段 OA 上方时，过 P 作 x 轴的平行线与直线 OA 相交于点 E，求 △PCE 周长的最大值及此时 P 点的坐标．

6. 如图 1，抛物线 y=12x2+mx+4m 与 x 轴交于点 Ax1,0 和点 Bx2,0，与 y 轴交于点 C，且 x1，x2 满足 x12+x22=20，若对称轴在 y 轴的右侧．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图 2，若点 P 为线段 AB 上的一动点（不与 A，B 重合），分别以 AP，BP 为斜边，在直线 AB 的同侧作等腰直角三角形 △APM 和 △BPN，试确定 △MPN 面积最大时 P 点的坐标．
（3）若 Px1,y1，Qx2,y2 是抛物线上的两点，当 a≤x1≤a+2，x2≥92 时，均有 y1≤y2，求 a 的取值范围．

7. 已知抛物线 y=x2−2x−3．
（1）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画岀该抛物线的图象．
x⋯⋯y⋯⋯
（2）当 时，y 随 x 的增大而增大．
（3）当 时，y<0．
（4）求抛物线与 x 轴的交点坐标、与 y 轴的交点坐标，并求此三个交点所构成的三角形的面积．

8. 如图，抛物线 y=x2+bx+c 过点 A3,0，B1,0，交 y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动（点 P 不与 A 重合），过点 P 作 PD∥y 轴交直线 AC 于点 D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 P 在运动的过程中线段 PD 长度的最大值；
（3）△APD 能否构成直角三角形?若能，请直接写出所有符合条件的点 P 坐标；若不能，请说明理由．

9. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与一直线相交于 A−1,0，C2,3 两点，与 y 轴交于点 N．其顶点为 D．
（1）抛物线及直线 AC 的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EF∥BD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 △APC 的面积的最大值．

10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C．且直线 y=x−6 过点 B，与 y 轴交于点 D，点 C 与点 D 关于 x 轴对称，点 P 是线段 OB 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，交直线 BD 于点 N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当 △MDB 的面积最大时，求点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 Q，使得以 Q，M，N 三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．

11. 如图 1 所示，在平面直角坐标系中，抛物线 F1:y=ax−252+6415 与 x 轴交于点 A−65,0 和点 B，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线 F1 的表达式；
（2）如图 2，将抛物线 F1 先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，得到抛物线 F2，若抛物线 F1 与抛物线 F2 相交于点 D，连接 BD，CD，BC．
①求点 D 的坐标；
②判断 △BCD 的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线 F2 上是否存在点 P，使得 △BDP 为等腰直角三角形?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

12. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+5 经过 A−5,0，B−4,−3 两点，与 x 轴的另一个交点为 C，顶点为 D，连接 CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 P 为该抛物线上一动点（与点 B，C 不重合），设点 P 的横坐标为 t．
①当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求 △PBC 的面积的最大值及点 P 的坐标；
②该抛物线上是否存在点 P，使得 ∠PBC=∠BCD?若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

13. 如图，抛物线 y=ax2+bx−3 交 y 轴于点 C，直线 l 为抛物线的对称轴，点 P 在第三象限且为抛物线的顶点．P 到 x 轴的距离为 103，到 y 轴的距离为 1．点 C 关于直线 l 的对称点为 A，连接 AC 交直线 l 于 B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线 y=34x+m 与抛物线在第一象限内交于点 D，与 y 轴交于点 F，连接 BD 交 y 轴于点 E，且 DE:BE=4:1．求直线 y=34x+m 的表达式；
（3）若 N 为平面直角坐标系内的点，在直线 y=34x+m 上是否存在点 M，使得以点 O，F，M，N 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

14. 在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为 −10,0，点 B 在第二象限，OB=10，ct∠AOB=3（如图），一个二次函数 y=ax2+b 的图象经过点 A，B．
（1）试确定点 B 的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）设这个二次函数图象的顶点为 C，△ABO 绕着点 O 按顺时针方向旋转，点 B 落在 y 轴的正半轴上的点 D，点 A 落在点 E 上，试求 sin∠ECD 的值．

15. 如图，平面直角坐标系中，抛物线 y=−13x+ℎ2+k 的对称轴为 x=−1，与 y 轴交于点 D0,133．
（1）求 ℎ 和 k 的值；
（2）点 P 为第二象限对称轴左侧抛物线上一点，过 P 作 x 轴垂线，垂足为 B，点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 A，在对称轴上取点 C，使 ∠BPC>90∘，连接 AC，若 ∠BAC=12∠BPC．求证：PB=PC；
（3）在（2）条件下，过点 A 作 AE∥PC 交抛物线的对称轴于点 E，当 CE:AE=13:5 时，求 P 点坐标．

16. 如图，抛物线 y=ax2+bx+4（a≠0）与 x 轴交于点 B−3,0 和 C4,0 与 y 轴交于点 A．
（1）a= ，b= ．
（2）点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向 B 运动，同时，点 N 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC 向 C 运动，当点 M 到达 B 点时，两点停止运动．t 为何值时，以 B，M，N 为顶点的三角形是等腰三角形?
（3）点 P 是第一象限抛物线上的一点，若 BP 恰好平分 ∠ABC，请直接写出此时点 P 的坐标．

17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2−mx+1 与 x 轴从左到右的交点为 A，B，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作 x 轴的平行线 l，l 与抛物线的另一交点为 D 点．
（1）若点 B 的坐标为 2,0，求抛物线的函数表达式及顶点坐标．
（2）设抛物线顶点的纵坐标为 n，求 n 的取值范围．
（3）若抛物线顶点记为 P，连接 CP，DP，当 ∠CPD=60∘ 时，求 m 的值．

18. 如图①抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 与 x 轴，y 轴分别交于点 A−1,0，B3,0，点 C 三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点 D2,m 在第一象限的抛物线上，连接 BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 P，满足 ∠PBC=∠DBC?如果存在，请求出点 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点 N 在抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，当以 M，N，B，C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 M 的坐标．

19. 如图 1，抛物线 y=−x2+bx+c 过点 A−1,0，点 B3,0 与 y 轴交于点 C．在 x 轴上有一动点 Em,00（1）求抛物线的解析式及 C 点坐标；
（2）当 m=1 时，D 是直线 l 上的点且在第一象限内，若 △ACD 是以 ∠DCA 为底角的等腰三角形，求点 D 的坐标；
（3）如图 2，连接 BM 并延长交 y 轴于点 N，连接 AM，OM，设 △AEM 的面积为 S1，△MON 的面积为 S2，若 S1=2S2，求 m 的值．

20. 如图 1，若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A−1,0，B，与 y 轴交于点 C0,4，连接 AC，BC，且抛物线的对称轴为直线 x=32．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点 P 是抛物线在一象限内 BC 上方一动点，且点 P 在对称轴的右侧，连接 PB，PC，是否存在点 P，使 S△PBC=35S△ABC?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图 2，若点 Q 是抛物线上一动点，且满足 ∠QBC=45∘−∠ACO，请直接写出点 Q 坐标．
答案
1. （1） 把点 A3,0 和点 B1,0 代入抛物线 y=x2+bx+c，
得：9+3b+c=0,1+b+c=0,
解得 b=−4,c=3,
∴y=x2−4x+3．
（2） 把 x=0 代入 y=x2−4x+3，得 y=3．
∴C0,3．
又 ∵A3,0，
设直线 AC 的解析式为：y=kx+m，
把点 A，C 的坐标代入得：m=3,k=−1,
∴ 直线 AC 的解析式为：y=−x+3．
PD=−x+3−x2−4x+3=−x2+3x=−x−322+94．
∵0 ∴x=23 时，PD 最大为 94．
即点 P 在运动的过程中，线段 PD 长度的最大值为 94．
（3） ① ∠APD 是直角时，点 P 与点 B 重合，
此时，点 P1,0，
② ∵y=x2−4x+3=x−22−1，
∴ 抛物线的顶点坐标为 2,−1，
∵A3,0，
∴ 点 P 为在抛物线顶点时，∠PAD=45∘+45∘=90∘，
此时，点 P2,−1，
综上所述，点 P1,0 或 2,−1 时，△APD 能构成直角三角形．
2. y=−12x2+x+32 或 y=12x2−x−32．
3. （1） 设直线表达式为 y=ax+b，
因为 A2,0，B1,1 都在 y=ax+b 的图象上，
所以 0=2a+b,1=a+b.
所以直线 AB 的表达式 y=−x+2．
因为点 B1,1 在 y=ax2 的图象上，
所以 a=1，其表达式为 y=x2．
（2） 因为 y=x2,y=−x+2,
解得 x=−2,y=4 或 x=1,y=1.
所以点 C 坐标为 −2,4，设 Da,a2，
所以 S△OAD=12∣OA∣×∣yD∣=12×2×a2=a2，
所以 S△BOC=S△AOC−S△OAB=12×2×4−12×2×1=3，
因为 S△BOC=S△OAD，
所以 a2=3，
即 a=±3．
所以 D 点坐标为 3,3 或 −3,3．
4. （1） 将 A1,0，C−2,3 代入 y=−x2+bx+c，
得：−1+b+c=0,−4−2b+c=3, 解得：b=−2,c=3,
∴ 抛物线的函数关系式为 y=−x2−2x+3；
设直线 AC 的函数关系式为 y=mx+nm≠0，
将 A1,0，C−2,3 代入 y=mx+n，
得：m+n=0,−2m+n=3, 解得 m=−1,n=1,
∴ 直线 AC 的函数关系式为 y=−x+1．
（2） 过点 P 作 PE∥y 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，
过点 C 作 CQ∥y 轴交 x 轴于点 Q，如图 1 所示．
设点 P 的坐标为 x,−x2−2x+3−2则点 E 的坐标为 x,0，点 F 的坐标为 x,−x+1，
∴PE=−x2−2x+3，EF=−x+1，
EF=PE−EF=−x2−2x+3−−x+1=−x2−x+2，
∵ 点 C 的坐标为 −2,3，
∴ 点 Q 的坐标为 −2,0，
∴AQ=1−−2=3，
∴S△APC=12AQ⋅PF=−32x2−32x+3=−32x+122+278,
∵−32<0，
∴ 当 x=−12 时，△APC 的面积取最大值，最大值为 278，
此时点 P 的坐标为 −12,154．
（3） 当 x=0 时，y=−x2−2x+3=3，
∴ 点 N 的坐标为 0,3，
∵y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∵ 点 C 的坐标为 −2,3，
∴ 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称，
令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，如图 2 所示．
∵ 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称，
∴MN=CM，
∴AM+MN=AM+MC=AC，
∴ 此时 △ANM 周长取最小值，
当 x=−1 时，y=−x+1=2，
∴ 此时点 M 的坐标为 −1,2，
∵ 点 A 的坐标为 1,0，点 C 的坐标为 −2,3，点 N 的坐标为 0,3，
∴AC=32+32=32，AN=32+12=10，
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=32+10，
∴ 在对称轴上存在一点 M−1,2，使 △ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为 32+10．
5. （1） 当 y=0，−x2+4x=0，
解得 x1=0，x2=4，
则点 B 坐标为 4,0，
设点 A 坐标为 m,m，
把 Am,m 代入 y=−x2+4x 得，
m=−m2+4m，解得 m1=3，m2=0（舍去），
则点 A 的坐标为 3,3．
（2） 如图，设点 P 的坐标为 a,−a2+4a0 ∵ 点 A 坐标为 3,3，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=x，
∴Ca,a，
∴OD=CD=a，
∵PE∥x 轴，
∴△PCE 是等腰直角三角形，
∴PC=PE=22CE，
∴△PCE 的周长 =PC+PE=2PC+2PC=2+2PC，
∴ 当 PC 取最大值时，△PCE 周长最大．
∵PC=PD−CD=−a2+4a−a=−a2+3a=−a−322+94，
∴a=32 时，PC 有最大值 94，
∴△PCE 周长的最大值为 2+2×94=18+924，
此时 P 点坐标为 32,154．
6. （1） 12x2+mx+4m=0，x1+x2=−2m,x1⋅x2=8m,
∴x12+x22=x1+x22−2x1x2=4m2−16m，
∵x12+x22=20，
∴4m2−16m=20，m2−4m−5=0，m1=−1，m2=5，
∵ 抛物线对称轴在 y 轴右侧，
∴−m2×12=−m>0，
∴m<0，
∴m=−1，
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−x−4．
（2） 令 12x2−x−4=0，解得 x1=−2，x2=4，
∴A−2,0，B4,0，
设 P 点横坐标为 x，−2 ∵△APM 和 △PBN 均为等腰直角三角形，
∴∠APM=∠BPN=45∘，MP=22AP，PN=22PB，
∴∠MPN=90∘，AP=x+2，PB=4−x，
∴S△MPN=12×AP×BP=12x+24−x=−12x2+x+4=−12x−12+92,
∴ 当 x=1 时，三角形 MPN 的面积最大，
∴P1,0．
（3） ∵−b2a=1，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴x=92 和 x=−52 关于对称轴对称，故其函数值相等，
又 a≤x1≤a+2，x2≥92，均有 y1≤y2，
∴a≥−52,a+2≤92, 解得 −52≤a≤52．
7. （1） x⋯−10123⋯y⋯0−3−4−30⋯
（2） x>1
【解析】由图象看出，当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大．
（3） −1【解析】由图象看出，抛物线开口向上，且当 −1 （4） 令 y=0 得：x1=−1，x2=3，
∴ 图象与 x 轴交点坐标为 −1,0，3,0，
令 x=0 得：y=−3，
∴ 图象与轴交点坐标为 0,−3，
∴S=12×4×3=6．
8. （1） 把点 A3,0 和点 B1,0 代入抛物线 y=x2+bx+c，
得：9+3b+c=0,1+b+c=0, 解得 b=−4,c=3,
∴y=x2−4x+3．
（2） 把 x=0 代入 y=x2−4x+3，得 y=3．
∴C0,3．
又 ∵A3,0，
设直线 AC 的解析式为：y=kx+m，
把点 A，C 的坐标代入得：m=3,k=−1,
∴ 直线 AC 的解析式为：y=−x+3．
PD=−x+3−x2−4x+3=−x2+3x=−x−322+94．
∵0 ∴x=32 时，PD 最大值为 94．
即点 P 在运动的过程中，线段 PD 长度的最大值为 94．
（3） 点 P1,0或2,−1 时，△APD 能构成直角三角形．
【解析】① ∠APD 是直角时，点 P 与点 B 重合，此时，点 P1,0；
② ∵y=x2−4x+3=x−22−1，
∴ 抛物线的顶点坐标为 2,−1，
∵A3,0，
∴ 点 P 为在抛物线顶点时，∠PAD=45∘+45∘=90∘，此时，点 P2,−1．
综上所述，点 P1,0或2,−1 时，△APD 能构成直角三角形．
9. （1） 由抛物线 y=−x2+bx+c 过点 A−1,0 及 C2,3 得，
−1−b+c=0,−4+2b+c=3,
解得 b=2,c=3,
故抛物线为 y=−x2+2x+3；
又设直线为 y=kx+n 过点 A−1,0 及 C2,3，
得 −k+n=0,2k+n=3,
解得 k=1,n=1,
故直线 AC 为 y=x+1．
（2） ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴D1,4，
当 x=1 时，y=x+1=2，
∴B1,2，
∵ 点 E 在直线 AC 上，设 Ex,x+1．
①如图 2，当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方，则 Fx,x+3，
∵F 在抛物线上，
∴x+3=−x2+2x+3，
解得，x=0 或 x=1（舍去），
∴E0,1；
②当点 E 在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，则 Fx,x−1，
∵F 在抛物线上，
∴x−1=−x2+2x+3，
解得 x=1−172 或 x=1+172，
∴E1−172,3−172或1+172,3+172，
综上，满足条件的点 E 的坐标为 0,1 或 1−172,3−172 或 1+172,3+172．
（3） 方法一：如图 3，过点 P 作 PQ⊥x 轴交 AC 于点 Q，交 x 轴于点 H；过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G，
设 Qx,x+1，则 Px,−x2+2x+3，
∴PQ=−x2+2x+3−x+1=−x2+x+2,
又
∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=12PQ⋅AG=12−x2+x+2×3=−32x−122+278,
∴ 面积的最大值为 278．
【解析】方法二：过点 P 作 PQ⊥x 轴交 AC 于点 Q，交 x 轴于点 H；过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G，如图 3，
设 Qx,x+1，则 Px,−x2+2x+3，
又
∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC−S△AGC=12x+1−x2+2x+3+12−x2+2x+3+32−x−12×3×3=−32x2+32x+3=−32x−122+278,
∴△APC 的面积的最大值为 278．
10. （1） 令 y=0，得 y=x−6=0，
解得 x=6，
∴B6,0，
令 x=0，得 y=x−6=6，
∴D0,−6，
∵ 点 C 与点 D 关于 x 轴对称，
∴C0,6，
把 B，C 点坐标代入 y=−x2+bx+c 中，得
−36+6b+c=0,c=6,
解得，b=5,c=6,
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2+5x+6．
（2） 设 Pm,0，则 Mm,−m2+5m+6，Nm,m−6，
则 MN=−m2+4m+12，
∴△MDB 的面积 =12MN⋅OB=−3m2+12m+36=−3m−22+48，
∴ 当 m=2 时，△MDB 的面积最大，
此时，P 点的坐标为 2,0．
（3） 由（2）知，M2,12，N2,−4，
当 ∠QMN=90∘ 时，QM∥x 轴，则 Q0,12；
当 ∠MNQ=90∘ 时，NQ∥x 轴，则 Q0,−4；
当 ∠MQN=90∘ 时，设 Q0,n，则 QM2+QN2=MN2，
即 4+12−n2+4+n+42=12+42，
解得，n=4±55，
∴Q0,4+55 或 0,4−55．
综上，存在以 Q，M，N 三点为顶点的三角形是直角三角形．其 Q 点坐标为 0,12 或 0,−4 或 0,4+55 或 0,4−55．
11. （1） 将点 A−65,0 代入抛物线 F1 的表达式得：a−65−252+6415=0，
解得 a=−53．
则抛物线 F1 的表达式为 y=−53x−252+6415=−53x2+43x+4．
故抛物线 F1 的表达式为 y=−53x2+43x+4．
（2） ①由二次函数的平移规律得：
抛物线 F2 的表达式为 y=−53x−25+12+6415−3，
即 F2:y=−53x+352+1915=−53x2−2x+23，
联立 y=−53x2+43x+4,y=−53x2−2x+23, 解得 x=−1,y=1, 则点 D 的坐标为 D−1,1；
②对于 y=−53x−252+6415=−53x2+43x+4，
当 y=0 时，−53x−252+6415=0，解得 x=2 或 x=−65，
则点 B 的坐标为 B2,0；
当 x=0 时，y=−53×02+43×0+4=4，则点 C 的坐标为 C0,4．
由两点之间的距离公式得：BC=2−02+0−42=25，
BD=2+12+0−12=10，CD=0+12+4−12=10，
则 BD=CD，BD2+CD2=BC2，故 △BCD 是等腰直角三角形．
（3） 抛物线 F2 的表达式为 y=−53x+352+1915=−53x2−2x+23，
设点 P 的坐标为 Pm,n．
由题意，分以下三种情况：
①当 ∠PDB=90∘，PD=BD 时，△BDP 为等腰直角三角形，
∵△BCD 是等腰直角三角形，∠BDC=90∘，BD=CD，
∴PD=CD．
∴ 点 D 是 CP 的中点，
则 0+m2=−1,4+n2=1, 解得 m=−2,n=−2, 即点 P 的坐标为 P−2,−2．
对于抛物线 F2 表达式 y=−53x2−2x+23，
当 x=−2 时，y=−53×−22−2×−2+23=−2，
即点 P−2,−2 在抛物线 F2 上，符合题意；
②当 ∠PBD=90∘，PB=BD 时，△BDP 为等腰直角三角形，
∵∠BDC=90∘，BD=CD，
∴CD∥PB，PB=CD．
∴ 四边形 BCDP 是平行四边形．
∴ 点 C 至点 B 的平移方式与点 D 至点 P 的平移方式相同．
∵C0,4，B2,0，
∴ 点 C 至点 B 的平移方式为先向下平移 4 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，
∵D−1,1，Pm,n，
∴m=−1+2=1,n=1−4=−3, 即点 P 坐标为 P1,−3；
对于抛物线 F2 的表达式 y=−53x2−2x+23，
当 x=1 时，y=−53×12−2×1+23=−3，
即点 P1,−3 在抛物线 F2 上，符合题意；
③当 ∠BPD=90∘，PB=PD 时，△BDP 为等腰直角三角形，
则点 P 在线段 BD 的垂直平分线上．
设直线 BD 的解析式 y=kx+b，
将点 B2,0，D−1,1 代入得：2k+b=0,−k+b=1,
解得 k=−13,b=23,
则直线 BD 的解析式 y=−13x+23，
设 BD 的垂线平分线所在直线的解析式为 y=3x+c．
点 B2,0，D−1,1 的中点的坐标为 2−12,0+12，即 12,12．
将点 12,12 代入 y=3x+c 得：32+c=12，解得 c=−1．
则 BD 的垂线平分线所在直线的解析式为 y=3x−1．
因此有 3m−1=n，即点 P 的坐标为 Pm,3m−1．
由两点之间的距离公式得：PB=m−22+3m−1−02=10m2−10m+5．
又 ∵BD=10，△BDP 为等腰直角三角形，
∴PB=22BD=5，则 10m2−10m+5=5，
解得 m=0 或 m=1．
当 m=0 时，3m−1=3×0−1=−1，即点 P 坐标为 P0,−1；
当 m=1 时，3m−1=3×1−1=2，即点 P 的坐标为 P1,2．
对于抛物线 F2 的表达式 y=−53x2−2x+23，
当 x=0 时，y=−53×02−2×0+23=23，
即点 P0,−1 不在抛物线 F2 上，不符合题意，舍去；
当 x=1 时，y=−53×12−2×1+23=−3，
即点 P1,2 不在抛物线 F2 上，不符合题意，舍去．
综上，符合条件的点 P 的坐标为 P−2,−2 或 P1,−3．
12. （1） 将点 A，B 坐标代入二次函数表达式得：25a−5b+5=0,16a−4b+5=−3, 解得：a=1,b=6,
故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5, ⋯⋯①
令 y=0，则 x=−1或−5，
即点 C−1,0．
（2） ①如图 1，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G，
将点 B，C 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 BC 的表达式为：y=x+1, ⋯⋯②
设点 Gt,t+1，则点 Pt,t2+6t+5，
S△PBC=12PGxC−xB=32t+1−t2−6t−5=−32t2−152t−6，
∵−32<0，
∴S△PBC 有最大值，当 t=−52 时，其最大值为 278．
②设直线 BP 与 CD 交于点 H，
当点 P 在直线 BC 下方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴ 点 H 在 BC 的中垂线上，
线段 BC 的中点坐标为 −52,−32，
过该点与 BC 垂直的直线的 k 值为 −1，
设 BC 中垂线的表达式为：y=−x+m，将点 −52,−32 代入上式并解得：
直线 BC 中垂线的表达式为：y=−x−4, ⋯⋯③
同理直线 CD 的表达式为：y=2x+2, ⋯⋯④
联立③④并解得：x=−2，即点 H−2,−2，
同理可得直线 BH 的表达式为：y=12x−1, ⋯⋯⑤
联立①⑤并解得：x=−32或−4（舍去 −4），
故点 P−32,−74；
当点 PPʹ 在直线 BC 上方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴BPʹ∥CD，
则直线 BPʹ 的表达式为：y=2x+s，将点 B 坐标代入上式并解得：s=5，
即直线 BPʹ 的表达式为：y=2x+5, ⋯⋯⑥
联立①⑥并解得：x=0或−4（舍去 −4），
故点 P0,5；
故点 P 的坐标为 P−32,−74或0,5．
13. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx−3 交 y 轴于点 C，
∴C0,−3，则 OC=3．
∵P 到 x 轴的距离为 103，P 到 y 轴的距离是 1，且在第三象限，
∴P−1,−103．
∵C 关于直线 l 的对称点为 A，
∴A−2,−3．
将点 A−2,−3，P−1,−103 代入 y=ax2+bx−3，
有 4a−2b−3=−3,a−b−3=−103, 解得：a=13,b=23,
∴ 抛物线的表达式为 y=13x2+23x−3．
（2） 过点 D 作 DG⊥y 轴于 G，则 ∠DGE=∠BCE=90∘．
∵∠DEG=∠BEC，
∴△DEG∽△BEC．
∵DE:BE=4:1，
∴DGBC=DEBE=41，则 DG=4．
将 x=4 代入 y=13x2+23x−3，得 y=5，则 D4,5．
∵y=34x+m 过点 D4,5，
∴5=34×4+m，则 m=2．
∴ 所求直线的表达式为 y=34x+2．
（3） 存在，M185,165，M2−85,45，M3−43,1，M4−4825,1425．
14. （1） 过点 B 作 BH⊥AO，垂足为 H，
在 Rt△BHO 中，ct∠AOB=OHHB=3，
设 HB=x，则 OH=3x，
因为 OB=10，OH2+HB2=OB2，
所以 3x2+x2=102，
所以 x=1，
所以 HB=1，OH=3，
因为点 B 在第二象限，
所以点 B 的坐标是 −3,1．
（2） 由二次函数 y=ax2+b 的图象经过点 A，B，点 A 的坐标为 −10,0，
所以 −102⋅a+b=0,−32⋅a+b=1,
解此方程，得：a=−1,b=10,
所以这个二次函数的解析式是 y=−x2+10．
（3） 根据题意得：∠AOB=∠EOC，点 E 在第二象限，
过点 E 作 EG⊥CO，垂足为 G，
与（1）的解法一样可得：点 E 的坐标是 −1,3，
所以 EG=1，CG=3，
由（2），得：这个二次函数 y=−x2+10 的图象的顶点是 C0,10，
所以 OC=10，
所以 CG=OC−OG=7，
在 Rt△CGE 中，CG2+EG2=CE2，
所以 EC=52，sin∠ECD=EGEC=152=210．
15. （1） ∵ 抛物线的对称轴为：x=−ℎ=−1，
∴ℎ=1，
∴y=−13x+12+k 过 D0,133，
∴133=−130+12+k，
解得：k=143．
（2） 如图 1，连接 BC，过 P 作 PH⊥BC 于 H，
∵B，A 关于对称轴对称，
∴CB=CA，∠CBA=∠CAB，
∵PB⊥BA，
∴∠CBA+∠PBC=90∘，
∴∠CAB+∠PBC=90∘，
又 ∵∠PBH+∠BPH=90∘，
∴∠CAB=∠BPH，
∵∠BAC=12∠BPC，
∴∠BPH=12∠BPC，
∴∠CPH=∠BPH，
在 △PBH 和 △PCH 中，
∠BPH=∠CPH,PH=PH,∠BHP=∠PHC,
∴△PBH≌△PCHASA，
∴PB=PC．
（3） 如图 2，设对称轴与 x 轴交于点 N，过点 P 作 PQ⊥CE 于 Q，
∵AE∥CP，
∴∠PCQ=∠AEN，PQ=BN=AN，
在 △PQC 和 △ANE 中，
∠PCQ=∠AEN,∠CQP=∠ENA,PQ=AN,
∴△PQC≌△ANEAAS，
∴EN=CQ，设 CE=13m，则 AE=CP=5m，
∴PB=QN=5m，
∴CQ=EN=1213m−5m=4m，
∴PQ=3m，
∴P−3m−1,5m，
代入 y=−13x+12+143，
5m=−13−3m−1+12+143，
解得：m1=23，m2=−73（不合题意舍去），
∴P−3,103．
16. （1） −13；13
【解析】将点 B−3,0，C4,0 代入 y=ax2+bx+4，得：
9a−3b+4=0,16a+4b+4=0, 解得 a=−13,b=13,
故答案为：−13，13．
（2） 当 x=0 时，y=ax2+bx+4=4，
∴ 点 A 的坐标为 0,4．
过点 M 作 ME⊥y轴 于点 E，如图 1 所示．
在 Rt△AOB 中，OB=3，OA=4，∠AOB=90∘，
∴AB=OA2+OB2=5．
∵ME∥BN，
∴△AME∽△ABN，
∴MEBN=AEAO=AMAB，
∴ME=35t，AE=45t，
∴ 点 M 的坐标为 −35t,4−45t．
∵ 点 B 的坐标为 −3,0，点 N 的坐标为 t−3,0，
∴BM=5−t，BN=t，
MN=t−3−−35t2+0−4−45t2=165t2−16t+25.
分三种情况考虑：
①当 BM=BN 时，5−t=t，解得：t=52；
②当 BM=MN 时，5−t=165t2−16t+25，
整理，得：115t2−6t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=3011；
③当 BN=MN 时，t=165t2−16t+25，
整理，得：115t2−16t+25=0，
解得：t1=5（舍去），t2=2511．
综上所述：当 t 为 52，2511 或 3011 时，以 B，M，N 为顶点的三角形是等腰三角形．
（3） 52,114．
【解析】设 BP 交 y 轴于点 F，过点 F 作 FG⊥AB 于点 G，如图 2 所示．
设点 F 的坐标为 0,m，则 AF=4−m．
∵BP 平分 ∠ABC，
∴FG=FO=m．
∵S△ABF=12AB⋅FG=12AF⋅BO，
即 12×5m=12×3×4−m，
∴m=32，
∴ 点 F 的坐标为 0,32．
设直线 BP 的解析式为 y=kx+c（k≠0），
将 B−3,0，F0,32 代入 y=kx+c，得：
−3k+c=0,c=32, 解得：k=12,c=32,
∴ 直线 BP 的解析式为 y=12x+32．
联立直线 BP 和抛物线的解析式成方程组，得：y=12x+32,y=−13x2+13x+4,
解得：x1=−3,y1=0, x2=52,y2=114,
∴ 点 P 的坐标为 52,114．
17. （1） 将 B2,0 带入 y=x2−mx+1，
得：0=4−2m+1，
解得：m=52，
∴ 抛物线的函数表达式为 y=x2−52x+1，
∵y=x2−52x+1=x−542−916，
故顶点坐标为 54,−916．
（2） y=x2−mx+1=x−m22−m24+1，
故顶点坐标可表示为 m2,1−m24，
令 n=1−m24，
∵m2≥0，
∴n≤1，
即顶点纵坐标 n 的取值范围为 n≤1．
（3） 如图，连接 PC，PD，
则 △CPD 为等边三角形，
设 Pm2,1−m24，
过 P 点作 PM⊥CD 交 x 轴于 N 点，
则 CM=DM=m2，
∵PM=CM⋅tan60∘=32m，
∴MN=PM−PN=32m−m24−1=32m−m24+1.
令 MN=1，
即 32m−m24+1=1，
解得：m=0（舍去）或 m=23，
故 m=23 时，∠CPD=60∘．
18. （1） 如图：
∵ 抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 与 x 轴，y 轴分别交于点 A−1,0，B3,0，点 C 三点．
∴a−b+3=0,9a+3b+3=0, 解得 a=−1,b=2,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） 存在．理由如下：
y=−x2+2x+3=−x−12+4．
∵ 点 D2,m 在第一象限的抛物线上，
∴m=3，∴D2,3，
∵C0,3，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45∘．
连接 CD，∴CD∥x 轴，
∴∠DCB=∠OBC=45∘，
∴∠DCB=∠OCB，
在 y 轴上取点 G，使 CG=CD=2，
再延长 BG 交抛物线于点 P，
在 △DCB 和 △GCB 中，
CB=CB，∠DCB=∠OCB，CG=CD，
∴△DCB≌△GCBSAS，
∴∠DBC=∠GBC．
设直线 BP 解析式为 yBP=kx+bk≠0，把 G0,1，B3,0 代入，得
k=−13，b=1，
∴BP 解析式为 yBP=−13x+1，
yBP=−13x+1，y=−x2+2x+3，
当 y=yBP 时，−13x+1=−x2+2x+3，
解得 x1=−23，x2=3（舍去），
∴y=119，
∴P−23,119．
（3） M1−2,−5；M24,−5；M32,3
【解析】M1−2,−5，M24,−5，M32,3．
设点 N1,n，
当 BC，MN 为平行四边形对角线时，
由 BC，MN 互相平分，M2,3−n，
代入 y=−x2+2x+3，
3−n=−4+4+3，解得 n=0，∴M2,3；
当 BM，NC 为平行四边形对角线时，
由 BM，MC 互相平分，M−2,3+n，
代入 y=−x2+2x+3，
3+n=−4−4+3，解得 n=−8，∴M−2,−5；
当 MC，BN 为平行四边形对角线时，
由 MC，BN 互相平分，M4,n−3，
代入 y=−x2+2x+3，
n−3=−16+8+3，解得 n=−2，∴M4,−5．
综上所述，点 M 的坐标为：M1−2,−5，M24,−5，M32,3．
19. （1） ① ∠EAB=∠CBA，BE=2CF．
② BE=2CF 仍然成立，如答案图 1．
过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，并廷长 CM 交 BE 于点 N，连接 FN．
∵AC=BC，∠CAB=45∘，
∴∠ADE=45∘．
∴AM=CM=BM，∠BMC=∠BMN=90∘．
∵∠DAE=90∘，
∴AE∥MN．
∴EN=BN．
∵DF=BF，
∴DE∥FN．
∴∠MFN=∠ADE=45∘．
∴MF=MN．
∴△CMF≌△BMN．
∴CF=NB=12BE．
∴BE=2CF．
如答案图 2，结论：BE=23CF．
过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，连接 FM．
∵AC=BC，∠CAB=30∘，
∴∠ADE=60∘．
∴AM=BM=3CM，∠BMC=90∘．
∵DF=BF，
∴MFAD=12，MF∥AD．
∴∠FMB=∠DAB．
∴∠CMF=∠BAE．
∵∠ADE=60∘，AE=3AD，
∴MFAE=CMAB=123．
∴△CMF∽△BAE．
∴BECF=ABCM=23．
∴BE=23CF．
−1−b+c=0,−9+3b+c=0,
解得 b=2,c=3.
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
∴ 点 C0,3．
（2） 分两种情况讨论：
①如答案图 3，
当 DA=DC 时，设 D1,t，
则 4+t2=1+t−32，解得 t=1．
∴D1,1．
②如答案图 4，
当 MC=AD 时，由题意得，
12+32=22+t2，解得 t=±6．
又点 D 在第一象限，
∴D1,6．
综上：D1,6，1,1．
（3） 设 Mm,−m2+2m+3，由题意得，△BOM∽△BEM．
∴BEBO=MEON．
∴−m2+2m+3ON=3−m3．
∴ON=3m+1．
∵AE=m+1，
∴ON=3AE．
∵S1=2S2，
∴12AE⋅EM=2×12ON⋅OE．
即 −m2+2m+3=6m．
∴m=−2±7．
又 ∵ 点 D 在第一象限，
∴m=−2+7．
20. （1） 根据题意得，−b2a=32,a−b+c=0,c=4,
∴a=−1,b=3,c=4.
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+3x+4．
（2） 如图（1），
由（1）知，抛物线的解析式为 y=−x2+3x+4，
令 y=0，则 −x2+3x+4=0，
∴x=1 或 x=4，
∴B4,0，
∵A−1,0，C0,4，
∴AB=5，OC=4，
∴S△ABC=12AB⋅OC=12×5×4=10，
∴S△PBC=35S△ABC=6，
设 P1,−t2+3t+432过点 P 作 PK∥OC 交 BC 于 K，
∵B4,0，C0,4，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+4，
∴Kt,−t+4，
∴PK=−t2+3t+4−−t+4=−t2+4t，
∴S△PBC=12PK×xB−xC=12−t2+4t×4=6，
∴t=3 或 t=1（舍），
∴P3,4．
（3） 1+5,1+5 或 −34,1916．
【解析】如图 2，
Ⅰ、当点 Q 在直线 BC 上方时，过点 C 作 CQ⊥AC 交抛物线于 Q，
∴∠ACQ=45∘，
由（2）知 OB=OC=4，
∴∠OCB=45∘，
∴∠ACO+∠BCQ=45∘，
∵∠QBC=45∘−∠ACO，
∵∠BCQ=∠CBQ，
∴CQ=BQ，
连接 OQ，
∴ 点 Q 在 BC 的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴ 点 O 在 BC 的垂直平分线上，
∴OQ 垂直平分 BC，交点记作点 M，
∴CM=BM，
∵B4,0，C0,4，
∴M2,2，
∴ 直线 OQ 的解析式为 y=x. ⋯⋯①
由（1）知，抛物线的解析式为 y=−x2+3x+4, ⋯⋯②
联立①②解得，x=1+5,y=1+5 或 x=1−5,y=1−5,（舍）
∴Q1+5,1+5．
Ⅱ、当点 Q 在直线 BC 下方时，
∵∠OBC=45∘，
∴∠CBQʹ+∠ABQʹ=45∘，
∵∠QBC=45∘−∠ACO，
∴∠ACO=∠ABQʹ，
∵∠BON=∠COA=90∘，OB=OC=4，
∴△BON≌△COAAAS，
∴ON=OA=1，
∴ 直线 BN 的解析式为 y=−14x+1. ⋯⋯③
联立①③解得，x=4,y=0（舍）或 x=−34,y=1916,
∴Qʹ−34,1916．
即满足条件的点 Q1+5,1+5或−34,1916．