2021年广东省深圳市南山学校、育才三中等中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2021年广东省深圳市南山学校、育才三中等中考数学一模试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省深圳市南山学校、育才三中等中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）方程x（x+2）＝0的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
2．（3分）一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
3．（3分）人体中成熟红细胞的平均直径为0.0000077m，用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×10﹣5m B．77×10﹣6m C．77×10﹣5m D．7.7×10﹣6m
4．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＝2 D．x≠2
5．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC、BD交于点O，E为CD的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（　　）

A．5 B．8 C．10 D．12
6．（3分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．60° C．56° D．68°
9．（3分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝　 　．
12．（3分）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为　 　．
13．（3分）观察下列一组数：…，它们是按一定规律排列的，那么第7个数是　 　．
14．（3分）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝25，则S2的值为　 　．

15．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　．

三、解答题（16题5分，17题6分，18题8分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分）
16．（5分）计算：．
17．（6分）化简求值：，其中x＝2．
18．（8分）某市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查，根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了统计图（如图）：
分数
59.5分以下
59.5分以上
69.5分以上
79.5分以上
89.5分以上
人数
3
42
32
20
8
（1）被抽查的学生为　 　人．
（2）请补全频数分布直方图．
（3）若全市参加考试的学生大约有9000人，请估计成绩优秀的学生约有多少人（80分及以上为优秀）？
（4）若此次表中测试成绩的中位数为78分，请写出78.5～89.5之间的人数最多有多少人？

19．（8分）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求海岛B到航线AC的距离；
（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？

20．（8分）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：　 　，　 　；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°．写出线段DC，AC，BC的数量关系为　 　．

21．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠FAB．
（2）求证：BC2＝CE•CP．
（3）当AB＝4时，求劣弧BC长度（结果保留π）．

22．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．


2021年广东省深圳市南山学校、育才三中等中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）方程x（x+2）＝0的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：x（x+2）＝0，
⇒x＝0或x+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
2．（3分）一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是偶数，则处于中间位置的两个数的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：这组数据的众数为1，
从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义．
3．（3分）人体中成熟红细胞的平均直径为0.0000077m，用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×10﹣5m B．77×10﹣6m C．77×10﹣5m D．7.7×10﹣6m
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题n＜0，n＝﹣6．
【解答】解：0.000 007 7＝7.7×10﹣6．
故选：D．
【点评】用科学记数法表示一个数的方法是
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
4．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＝2 D．x≠2
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
5．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC、BD交于点O，E为CD的中点，BD＝6，则△DOE的周长为（　　）

A．5 B．8 C．10 D．12
【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为20，
∴2（BC+CD）＝20，则BC+CD＝10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，
∴OD＝OB＝BD＝3．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD+OE+DE＝BD+（BC+CD）＝5+3＝8，
即△DOE的周长为8．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
6．（3分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＜0是解题的关键．
7．（3分）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．
B、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，本选项不符合题意．
C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．
D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．60° C．56° D．68°
【分析】接OC，由AO∥DC，得出∠ODC＝∠AOD＝68°，再由OD＝OC，得出∠ODC＝∠OCD＝68°，求得∠COD＝44°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
【解答】解：如图，

连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝68°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝68°，
∴∠COD＝44°，
∴∠AOC＝112°，
∴∠B＝∠AOC＝56°．
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
9．（3分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以﹣即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（﹣，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题．
②③如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．
④设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
⑤当BE＝a时，设DG＝m，则EG＝m+a，利用勾股定理构建方程可得m＝0.5a即可解决问题．
【解答】解：①如图1，在BC上截取BH＝BE，连接EH．

∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，
故①正确，
②③如图2，延长AD到H，使得DH＝BE，

在正方形ABCD中，
BC＝CD，∠B＝∠CDH＝90°，
∴△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG；
故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a；
故②错误；
④设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，
∴S△AEF＝•（a﹣x）•x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，
∵﹣＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2；
故④正确，
⑤当BE＝a时，设DG＝m，则EG＝m+a，
在Rt△AEG中，则有（m+a）2＝（a﹣m）2+（a）2，
解得a＝0（舍）或m＝，
∴AG＝GD，
故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝　a（a﹣2）2　．
【分析】观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方式，利用完全平方公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣4a2+4a，
＝a（a2﹣4a+4），
＝a（a﹣2）2．
故答案为：a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
12．（3分）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为　　．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为6+9+3＝18，黑球的数目为3．
【解答】解：根据题意可得：一袋中装有红球6个，白球9个，黑球3个，共18个，
任意摸出1个，摸到黑球的概率是＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．（3分）观察下列一组数：…，它们是按一定规律排列的，那么第7个数是　　．
【分析】分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，由此得出第n个数是．
【解答】解：观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n个数是，
第7个数是＝．
故答案为：．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
14．（3分）点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝25，则S2的值为　5　．

【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（ ，2a），R（ ，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝2S2，S3＝3S2，根据S1+S3＝25，求出S1，S3，S2即可．
【解答】解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（ ，2a），R（ ，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝2S2，S3＝3S2，
∵S1+S3＝25，
∴2S2+3S2＝25，
∴S2＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 　　．

【分析】连接OG，QG，证明△DOG∽△DFC，得出，设OG＝OF＝x，则，求出圆的半径为，证明△OFQ为等边三角形，求出CQ，CG，则可由三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：连接OG，QG，

∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴，
设OG＝OF＝x，则，
解得：x＝，即⊙O的半径是．
连接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边三角形；同理△OGQ为等边三角形；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，
∴QH＝＝，
∴CQ＝
∵四边形OHCG为矩形，
∴OH＝CG＝，
∴S阴影＝S△CGQ＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．
三、解答题（16题5分，17题6分，18题8分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分）
16．（5分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣2﹣1+2
＝3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（6分）化简求值：，其中x＝2．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝÷[]
＝÷
＝•
＝，
当x＝2时，
原式＝＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）某市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查，根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了统计图（如图）：
分数
59.5分以下
59.5分以上
69.5分以上
79.5分以上
89.5分以上
人数
3
42
32
20
8
（1）被抽查的学生为　45　人．
（2）请补全频数分布直方图．
（3）若全市参加考试的学生大约有9000人，请估计成绩优秀的学生约有多少人（80分及以上为优秀）？
（4）若此次表中测试成绩的中位数为78分，请写出78.5～89.5之间的人数最多有多少人？

【分析】（1）根据表格中的数据，可以写出被抽查的学生人数；
（2）根据频数分布直方图中的数据，可以计算出76.5～84.5的学生人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据表格中的数据，可以计算出成绩优秀的学生约有多少人；
（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出78.5～89.5之间的人数最多有多少人．
【解答】解：（1）由表格可得，
被抽查的学生为：3+42＝45（人），
故答案为：45；
（2）76.5～84.5的学生有：45﹣3﹣7﹣10﹣8﹣5＝12（人），
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）9000×＝4000（人），
即估计成绩优秀的学生约有4000人；
（4）由题意可得，
45﹣23﹣8＝14（人），
即78.5～89.5之间的人数最多有14人．

【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求海岛B到航线AC的距离；
（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？

【分析】（1）过点B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD＝x在Rt△BDA中，∠BDA＝90°，根据AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2求出x即可解决问题；
（2）由PQ∥AC，推出＝，即：＝，得t＝8，由△BPQ∽△BAC，推出＝，即：＝，可得PQ＝12；
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
设CD＝x，则BD＝x，
∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°
∴AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2
x 2+30x﹣4000＝0，
∴x＝50或﹣80（舍弃），
∴BD＝50．

（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4）．BC＝100
若点Q在点P的正东方向，则PQ∥AC，
∴＝，即：＝，得t＝8，
由∵△BPQ∽△BAC，
∴＝，即：＝，
得PQ＝12．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：　矩形　，　正方形　；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°．写出线段DC，AC，BC的数量关系为　DC2+BC2＝AC2　．

【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【解答】解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形；
故答案为：矩形，正方形；
（2）如图，

（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2+BC2＝AC2．
证明：如图2，连接CE，

由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，
又∵∠CBE＝60°，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴DC2+EC2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
故答案为：DC2+BC2＝AC2．
【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
21．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠FAB．
（2）求证：BC2＝CE•CP．
（3）当AB＝4时，求劣弧BC长度（结果保留π）．

【分析】（1）连接AC，BC，由切线的性质得出∠OCP＝∠F＝90°，由平行线的判定得出AF∥OC，由平行线的性质得出∠FAC＝∠OCA，则可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠CBD＝90°，证明△BCE∽△PCB，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）由直角三角形的性质得出∠BCE＝30°，证明△COB是等边三角形，求出OB＝2，由弧长公式可得出答案．
【解答】（1）证明：连接AC，BC，

∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP＝∠F＝90°，
∴AF∥OC，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OAC，
∴CA平分∠FAB．
（2）证明：∵CD是直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠CBP＝90°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEB＝∠CBP＝90°，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠PCB＝∠CAB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，
∵∠CAB＝∠BCE，
∴∠PCB＝∠BCE，
∴△BCE∽△PCB，
∴，
∴BC2＝CE•CP；
（3）解：，
设CF＝3a，CP＝4a，
∵BC2＝CE•CP＝3a•4a＝12a2，
∴BC＝2a，
在Rt△BCE中，sin∠CBE＝，
∴∠CBE＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∴△COB是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OB＝BC＝2，
∴劣弧BC的长＝＝π．
【点评】本题是圆的综合题，考查切线的性质、角平分线的判定、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．

【分析】（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）先求出直线BC解析式，设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），P（m，m﹣3），由题意：△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，可得到关于m的一元二次方程，求出m即可得到答案；
（3）连接BI，OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，根据三角形内心可证明△BIO≌△BIE，再结合三角形外接圆及等腰直角三角形性质求得：CM，MI，依据两点之间线段最短可得答案．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
（3）如图2，连接BI，OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，
∵EF⊥x轴，
∴∠BFE＝90°，
∴∠FBE+∠FEB＝90°，
∵△BEF的内心为I，
∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，
∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，
∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，
∴∠BIE＝135°，
在△BIO和△BIE中，
，
∴△BIO≌△BIE（SAS），
∴∠BIO＝∠BIE＝135°，
∵⊙M是△OBI的外接圆，
∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，
∴OM＝BM＝OB＝，
∴MI＝OM＝，
∴∠MOB＝∠MOH＝45°，
∵MH⊥y轴，
∴∠HOM＝∠HMO＝45°，
∴OH＝HM＝OM＝，
∴CH＝OH+OC＝+3＝，
∴CM＝＝，
∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，
∴CI的最小值为﹣．


【点评】本题考查了二次函数综合，待定系数法，三角形内心、外接圆，几何变换﹣对折，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质等知识点，充分利用三角形内心，合理作辅助线是解题关键．
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日期：2021/11/15 14:11:19；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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