2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列算式中，计算结果是负数的是（ ）
A．3×（﹣2）B．|﹣1|C．（﹣2）+7D．（﹣1）2
2．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≤0B．x≥1C．x≥0D．x≤1
4．（3分）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是（ ）
A．x≤2B．x＞1C．1≤x＜2D．1＜x≤2
5．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A．1B．xC．D．
6．（3分）如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是（ ）
A．60°B．55°C．45°D．35°
7．（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→④→③→①B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→③→①→④
8．（3分）已知圆锥的高为，高所在的直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为（ ）
A．πB．1.5πC．2πD．3π
9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
10．（3分）已知b＜0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）分解因式：x3﹣4xy2＝ ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为 ．
14．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为 ．
15．（3分）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠P的度数为 ．
16．（3分）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34…在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．若斐波那契数列中的第n个数记为an，则1+a3+a5+a7+a9+..+a2021与斐波那契数列中的第 个数相同．
三、简答题（本大题9小题，共72分）
17．（4分）解不等式：2（x﹣1）＜4﹣x．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，BE＝DF．求证：CE＝AF．
19．（6分）已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程x+x﹣＝0的解，求P的值．
20．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校学生对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图，根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查 名学生，条形统计图中m＝ ．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 名学生不了解“概率发展的历史背景“；
（3）调查结果中，该校初三（2）班学生中了解程度为“很了解“的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景“知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率．
21．（8分）某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天胎生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩生产的时间比甲厂单独完成同样数量的口罩生产的时间要多用5天．
（1）将60万只用科学记数法表示为 只；
（2）求甲、乙两厂每天分别可以生产多少万只口罩？
22．（10分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）已知点P的坐标为（0，），求证△CDP∽△ODC．
23．（10分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2．
（1）作∠ABC的角平分线BM交⊙O于点M，连接MA，MC，并求⊙O半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：AB+BC＝BM．
24．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A，B．
（1）求a，b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
（3）当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF，已知AD＝3，CD＝3，设CP的长为x．
（1）线段PB的最小值为 ．
（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度；
（3）当点P在运动的过程中：①试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；
若改变，请说明理由；②当x为何值时，△AFP是等腰三角形？
2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）下列算式中，计算结果是负数的是（ ）
A．3×（﹣2）B．|﹣1|C．（﹣2）+7D．（﹣1）2
【分析】针对各个选项进行计算，根据计算的结果进行判断即可．
【解答】解：3×（﹣2）＝﹣6，|﹣1|＝1，（﹣2）+7＝5，（﹣1）2＝1，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握计算法则是正确解答的关键．
2．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、左图与右图的形状不同，所以A选项错误；
B、左图与右图的大小不同，所以B选项错误；
C、左图通过翻折得到右图，所以C选项错误；
D、左图通过平移可得到右图，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
3．（3分）要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≤0B．x≥1C．x≥0D．x≤1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使有意义，
则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
4．（3分）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是（ ）
A．x≤2B．x＞1C．1≤x＜2D．1＜x≤2
【分析】根据数轴表示出解集即可．
【解答】解：根据题意得：不等式组的解集为1＜x≤2．
故选：D．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）计算﹣的结果为（ ）
A．1B．xC．D．
【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可得解．
【解答】解：﹣
＝
＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减运算，是基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（3分）如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是（ ）
A．60°B．55°C．45°D．35°
【分析】依据PC⊥OB，PD∥OB，可得∠CPD＝90°，再根据∠OPC＝35°，即可得出∠APD＝55°．
【解答】解：∵PC⊥OB，PD∥OB，
∴∠CPD＝90°，
又∵∠OPC＝35°，
∴∠APD＝55°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
7．（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→④→③→①B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→③→①→④
【分析】根据数据的收集、整理、制作扇形统计图及根据统计图分析结果的步骤可得答案．
【解答】解：将本校图书馆最受学生欢迎的图书种类情况制作扇形统计图的步骤如下：
②去图书馆收集学生借阅图书的记录；
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表；
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；
故选：A．
【点评】本题主要考查扇形统计图，制作扇形图的步骤：①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
8．（3分）已知圆锥的高为，高所在的直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为（ ）
A．πB．1.5πC．2πD．3π
【分析】利用含30度的直角三角形三边的关系得到圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
和扇形的面积公式计算．
【解答】解：∵高所在的直线与母线的夹角为30°，
∴圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，
所以圆锥的侧面积＝•2π1•2＝2π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
10．（3分）已知b＜0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据抛物线开口向上a＞0，抛物线开口向下a＜0，然后利用抛物线的对称轴或与y轴的交点进行判断，从而得解．
【解答】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x＝﹣＝0，
解得b＝0，
与b＜0相矛盾；
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，
经过坐标原点，a2﹣1＝0，
解得a1＝1，a2＝﹣1（舍去），
对称轴x＝﹣＝﹣＞0，
所以b＜0，符合题意，
故a＝1，
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，
经过坐标原点，a2﹣1＝0，
解得a1＝1（舍去），a2＝﹣1，
对称轴x＝﹣＝﹣＞0，
所以b＞0，不符合题意，
综上所述，a的值等于1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c图象与系数的关系，a的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出b的正负情况，然后与题目已知条件b＜0比较．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ 3 ．
【分析】原式利用算术平方根性质，以及零指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）分解因式：x3﹣4xy2＝ x（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣4y2）＝x（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：x（x+2y）（x﹣2y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为 15° ．
【分析】根据正方形性质得出∠ADC＝90°，AD＝DC，根据等边三角形性质得出DE＝DC，∠EDC＝60°，推出∠ADE＝150°，AD＝ED，根据等腰三角形性质得出∠DAE＝∠DEA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠AED＝（180°﹣∠ADE）＝（180°﹣150°）＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了正方形性质，三角形的内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质机械能推理和计算的能力，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．
14．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为 3 ．
【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），
∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，
∵D（5，0），
∴OD＝5，
∵点P是边AB的一点，
∴OD＝DP＝5，
∵AD＝3，
∴PA＝＝4，
∴PB＝3
故答案为：3．
【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．
15．（3分）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠P的度数为 72° ．
【分析】根据切线的性质求出∠PAB，根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．
【解答】解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，
∴∠CAP＝90°，PA＝PB，
又∵∠BAC＝36°，
∴∠PAB＝54°，
∴∠PBA＝∠PAB＝54°，
∴∠P＝180°﹣54°﹣54°＝72°．
故答案是：72°．
【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理，此题综合运用了切线的性质和切线长定理，解答本题需要判断出△PAB为等腰三角形．
16．（3分）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34…在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．若斐波那契数列中的第n个数记为an，则1+a3+a5+a7+a9+..+a2021与斐波那契数列中的第 2022 个数相同．
【分析】由于斐波那契数列中的前两个数均为1，故数列1+a3+a5+a7+a9+..+a2021中的1可记作a2，这样1+a3＝a2+a3＝a4，a4+a5＝a6，•••，依次化简，结论可得．
【解答】解：∵斐波那契数列中a1＝a2＝1，
∴1＝a2．
∴1+a3+a5+a7+a9+•••+a2021
＝a2+a3+a5+a7+a9+•••+a2021
＝a4+a5+a7+a9+•••+a2021
＝a6+a7+a9+•••+a2021
＝a8+a9+••••+a2021
＝a10+•••+a2021
＝•••
＝a2020+a2021
＝a2022．
故答案为：2022．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，数学常识，准确找出数字变化的规律是解题的关键．
三、简答题（本大题9小题，共72分）
17．（4分）解不等式：2（x﹣1）＜4﹣x．
【分析】先去括号，然后合并同类项，系数化为1，即可求得所求不等式的解集．
【解答】解：2（x﹣1）＜4﹣x，
去括号，得
2x﹣2＜4﹣x，
移项及合并同类项，得
3x＜6，
系数化为1，得
x＜2．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，BE＝DF．求证：CE＝AF．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，又由BE＝DF，证得四边形AECF是平行四边形，则可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，关键是根据平行四边形的性质解答．
19．（6分）已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程x+x﹣＝0的解，求P的值．
【分析】（1）根据单项式乘多项式以及平方差公式进行计算；
（2）将方程将a代入方程，得到关于a的方程，然后带入P的代数式求值．
【解答】解：（1）P＝3a2+3a﹣a2+1
＝2a2+3a+1；
（2）∵a为方程x+x﹣＝0的解，
∴a+a﹣＝0，
解得a＝0，
∴P＝2a2+3a+1＝1．
【点评】本题考查了整式的混合运算以及一元一次方程的解法，正确利用平方差公式是解题的关键．
20．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校学生对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图，根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查 60 名学生，条形统计图中m＝ 18 ．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 300 名学生不了解“概率发展的历史背景“；
（3）调查结果中，该校初三（2）班学生中了解程度为“很了解“的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景“知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）根据了解很少的有24人，占40%，即可求得总人数；再利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得m的值；
（2）利用1500乘以不了解“概率发展的历史背景”的人所占的比例即可求解；
（3）画出树状图即可求出恰好抽中一男生一女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为24÷40%＝60（人），条形统计图中m＝60﹣（12+24+6）＝18，
故答案为：60、18；
（2）该校不了解“概率发展的历史背景”的人数约为1500×＝300（名），
故答案为：300；
（3）画树形图得：
∵共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有4种情况，
∴恰好抽中一男生一女生的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识，读懂统计图，正确画出树状图是解题的关键．
21．（8分）某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天胎生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩生产的时间比甲厂单独完成同样数量的口罩生产的时间要多用5天．
（1）将60万只用科学记数法表示为 6×105 只；
（2）求甲、乙两厂每天分别可以生产多少万只口罩？
【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；
（2）设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成60万只口罩的生产任务时甲厂比乙厂少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）60万＝600000＝6×105，
故答案是：6×105；
（2）设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，
依题意，得：﹣＝5，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝6．
答：甲厂每天能生产口罩6万只，乙厂每天能生产口罩4万只．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（10分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）已知点P的坐标为（0，），求证△CDP∽△ODC．
【分析】（1）因为OA＝，tan∠AOC＝，则可过A作AE垂直x轴，垂足为E，利用三角函数和勾股定理即可求出AE＝1，OE＝3，从而可知A（3，1），又因点A在反比例函数y＝的图象上，由此可求出开k＝3，从而求出反比例函数的解析式．
（2）因为一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B的坐标为（m，﹣2）．所以3＝﹣2x．即m＝﹣，B（﹣，﹣2）．然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式，得到关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，最终写出一次函数的解析式．
（3）根据点P的坐标和一次函数图象上点的坐标特征求出PD，OP的长，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以推知＝即可证得：△CDP∽△ODC．
【解答】解：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，
∵tan∠AOC＝，
∴OE＝3AE．
∵OA＝，OE2+AE2＝10，
∴AE＝1，OE＝3．
∴点A的坐标为（3，1）．
∵A点在双曲线上，
∴＝1，
∴k＝3．
∴双曲线的解析式为y＝；
（2）∵点B（m，﹣2）在双曲线y＝上，
∴﹣2＝，
∴m＝﹣．
∴点B的坐标为（﹣，﹣2）．
∴，
∴．
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1．
（3）证明：由（2）知，一次函数的解析式为y＝x﹣1，且点D是一次函数图象与y轴的交点，
∴D（0，﹣1）．
∵点P的坐标为（0，），
∴PD＝|﹣1﹣|＝，OP＝．
∵C，D两点在直线y＝x﹣1上，
∴C，D的坐标分别是：C（，0），D（0，﹣1）．
即：OC＝，OD＝1，
∴DC＝．
∴＝＝，＝＝，
∴＝．
又∵∠PDC＝∠ODC，
∴△CDP∽△ODC．
【点评】本题考查的是反比例函数，此类题目往往和三角函数相联系，在考查学生待定系数法的同时，也综合考查了学生的解直角三角形、相似三角形的知识，是数形结合的典型题例，它的解决需要学生各方面知识的灵活运用．
23．（10分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2．
（1）作∠ABC的角平分线BM交⊙O于点M，连接MA，MC，并求⊙O半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：AB+BC＝BM．
【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．
【解答】解：（1）如图，图形如图所示：
连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AH＝AC＝，
∴OA＝＝2，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
在△ACB和△MCE中，
，
∴△ACB≌△MCE（SAS），
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．
24．（12分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A，B．
（1）求a，b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
（3）当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点A、B的坐标，即可求解；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即﹣≥0，即可求解；
（3）过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，则|yP﹣yQ|＝1，即可求解．
【解答】解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，
则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，
将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，
则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，
即﹣≥0，解得：a≥﹣，
故a的取值范围为：﹣≤a＜0；
（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠PQH＝45°，
S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，
则PQ＝yP﹣yQ＝1，
在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，
故：|yP﹣yQ|＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），
即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，
解得：x＝﹣1或﹣1±，
故点P（﹣1，2）或（﹣1+，）或（﹣1﹣，﹣）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF，已知AD＝3，CD＝3，设CP的长为x．
（1）线段PB的最小值为 ．
（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度；
（3）当点P在运动的过程中：①试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；
若改变，请说明理由；②当x为何值时，△AFP是等腰三角形？
【分析】（1）求出AC，用面积法即可求出BP的最小值；
（2）先证明△ABP是等边三角形，再说明BF是AP的垂直平分线，H是PF中点，GH＝AF，在Rt△PBF中，求出PF即可得到答案；
（3）①过P作MN⊥AD于M，交BC于N，用x的代数式表示BN、PM，再证明△PMF∽△BNP，＝＝，从而说明∠FBP＝30°，不会变化；
②用x的代数式表示△AFP三边，分情况列方程，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，CD＝3，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝3，∠ABC＝∠D＝90°，
∴AC＝＝6，
当BP⊥AC时，BP最小，此时BP为Rt△ABC斜边AC上的高，
∴S△ABC＝AB•BC＝AC•BP，即3×3＝6×BP，
∴BP＝，
故答案为：；
（2）如图：
∵P运动到AC的中点，AC＝6，
∴AP＝3＝AB，
Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝BP＝3，
又∠BAF＝∠BPF＝90°，BF＝BF，
∴△BAF≌△BPF（HL），
∴AF＝PF，
∴BF是AP的垂直平分线，
∴G是AP中点，
∵H是PF中点，
∴GH＝AF，
∵△ABP是等边三角形，G是AP中点，
∴∠PBF＝∠PBA＝30°，
在Rt△PBF中，tan∠PBF＝，
∴tan30°＝得PF＝，
∴AF＝，
∴GH＝；
（3）①∠FBP不会发生变化，∠FBP＝30°，理由如下：
过P作MN⊥AD于M，交BC于N，如图：
∵MN⊥AD，四边形ABCD是矩形，
∴MN⊥BC，MN＝AB＝3，
Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
Rt△CPN中，CP＝x，
∴PN＝CP•sin30°＝x，CN＝CP•cs30°＝x，
∴BN＝BC﹣CN＝3﹣x，PM＝MN﹣PN＝3﹣x，
∵∠BPF＝90°，
∴∠FPM＝90°﹣∠BPN＝∠PBN，
而∠PMF＝∠BNP＝90°，
∴△PMF∽△BNP，
∴＝＝＝，
在Rt△BPF中，tan∠FBP＝，
∴tan∠FBP＝，
∴∠FBP＝30°；
②当F在A右侧时，过P作MN⊥AD于M，交BC于N，如图：
由①知：△PMF∽△BNP，＝，PN＝x，BN＝3﹣x，PM＝3﹣x，
∴＝，
∴FM＝x，
∴AF＝AM﹣FM＝BN﹣FM＝3﹣x，
Rt△PFM中，PF＝＝＝，
而AP＝AC﹣CP＝6﹣x，
△AFP是等腰三角形，分三种情况：
（一）AP＝AF，则6﹣x＝＝3﹣x，解得x＝﹣3（舍去），
（二）AP＝PF，则6﹣x＝，解得x＝9（大于6，舍去）或x＝（此时AF＝0，舍去），
（三）AF＝PF，则3﹣x＝，解得x＝3或x＝6（P与A重合，舍去），
当F在A左侧时，如图：
此时AF＝FM﹣AM＝，
同理可得x＝3，
综上所述，△AFP是等腰三角形，x＝3或x＝3．
【点评】本题考查矩形性质及应用，涉及三角形全等、相似判定，等腰三角形等知识，解题的关键是用x的代数式表示相关的线段的长度．
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日期：2021/11/15 14:13:46；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.cm；学号：41479226

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