2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（六）（word版含解析）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（六）（word版含解析），共17页。试卷主要包含了 如图，已知直线 l1， 解答下列各题．等内容，欢迎下载使用。

（1）求直线 AB 的解析式．
（2）求 △OAC 的面积．
（3）是否存在点 M，使 △OMC 的面积是 △OAC 的面积的 14?若存在求出此时点 M 的坐标；若不存在，说明理由．

2. 在平面直角坐标系中，对于两点 A，B，给出如下定义．以线段 AB 为直角边的等腰直角三角形称为点 A，B 的“对称三角形“．
（1）如果点 M 的坐标为 0,2，点 N 的坐标为 4,0，那么点 M，N 的“对称三角形”的面积为 ．
（2）如图①，已知点 A 的坐标为 1,0，点 C 为直线 y=x+2 上的一动点，求点 A，C 的“对称三角形”的面积最小值．
（3）如图②，等腰直角 △ABC 斜边中点为 m,0，直角边 AB=2，且两直角边 AB，AC 分别平行于 x 轴和 y 轴，点 F 在直线 y=−x+2 上，若要使点 B，F 的“对称三角形”的面积最小，且最小面积为 2，求 m 的值．

3. 如图，直线 y=−2x+4 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B．
（1）求 A，B 两点的坐标．
（2）求 △AOB 的面积．
（3）若点 P 是 x 轴上的一个动点，且 △PAB 是等腰三角形，则 P 点的坐标为 ．

4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 过点 A−1,1，B2,0，交 y 轴于点 C，点 D0,n 在点 C 上方，连接 AD，BD．
（1）求直线 AB 的表达式；
（2）当 S△ABD=2 时，在第一象限内求作点 P，使得 BP=BD，且 BP⊥BD．

5. 如图，已知直线 l1:y1=x+b 经过点 A−5,0，交 y 轴于点 B，直线 l2:y2=−2x−4 与直线 l1:y1=x+b 交于点 C，交 y 轴于点 D．
（1）求 b 的值；
（2）求 △BCD 的面积；
（3）当 0≤y2
6. 正三角形 ABC 的边长为 1，P 是 AB 上不与 A，B 重合的任意一点，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB，Q，R，S 为垂足设 BP=x，AS=y．
（1）求 y 与 x 之间的函数解析式，并画出函数图象；
（2）当点 P 与点 S 重合时，BQ 与 AR 的长各是多少?
（3）当 SP=14 时，求 AP 的长．

7. 解答下列各题．
（1）【模型建立】
如图 1，等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90∘，CA=CB，直线 ED 经过点 C，过 A 作 AD⊥ED 于点 D，过 B 作 BE⊥ED 于点 E．
求证：△CDA≌△BEC．
（2）【模型运用】
如图 2，直线 l1:y=43x+4 与坐标轴交于点 A，B，将直线 l1 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 至直线 l2，求直线 l2 的函数表达式．
（3）【模型迁移】
如图 3，直线 l 经过坐标原点 O，且与 x 轴正半轴的夹角为 30∘，点 A 在直线 l 上，点 P 为 x 轴上一动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 30∘ 得到 BP，过点 B 的直线 BC 交 x 轴于点 C，∠OCB=30∘，点 B 到 x 轴的距离为 2，求点 P 的坐标．

8. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−23x+4 分别交 x，y 轴于 B，A 两点，将 △AOB 沿直线 l2:y=2x−92 折叠，使点 B 落在 y 轴上的点 C 处．
（1）①点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ．
②求点 C 的坐标．
（2）①点 D 在线段 BA 上，当 △CDB 与 △CDO 面积相等时，求 OD 所在直线的解析式．
②如图，在①的条件下，以 OD 为一边作正方形 OPQD（点 Q 在第二象限），则点 Q 的坐标为 ．
（3）在射线 BA 上是否还存在其它的点 Dʹ，使得 △CDʹB 与 △CDʹO 面积相等?若存在，求出点 Dʹ 的坐标；若不存在，请说明理由．

9. 如图，直线 y=−43x+8 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B，M 是 OB 的上的一点，若将 △ABM 沿 M 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上的点 Bʹ 处．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）求直线 AM 的表达式；
（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得以点 P，M，Bʹ 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

10. 如图，直线 y=−2x+4 交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 B，点 C0,−2 在 y 轴上，连接 AC．
（1）求点 A 和点 B 的坐标．
（2）若点 P 是直线 AB 上一点，若 △APC 的面积为 4，求点 P．
（3）过点 B 作直线 BE 交 x 轴于点 H（H 点在点 A 右侧），当 ∠ABE=45∘ 时，求直线 BE．
答案
1. （1） 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，
根据题意得：4k+b=2,6k+b=0,
解得：k=−1,b=6,
则直线的解析式是：y=−x+6．
（2） 在 y=−x+6 中，令 x=0，解得：y=6，S△OAC=12×6×4=12．
（3） 设 OA 的解析式是 y=mx，则 4m=2，
解得：m=12，
则直线的解析式是：y=12x，
∵ 当 △OMC 的面积是 △OAC 的面积的 14 时，
∴ 当 M 的横坐标是 14×4=1，
在 y=12x 中，当 x=1 时，y=12，则 M 的坐标是 1,12；
在 y=−x+6 中，x=1 则 y=5，则 M 的坐标是 1,5．
则 M 的坐标是：M11,12 或 M21,5．
当 M 的横坐标是：−1，
在 y=−x+6 中，当 x=−1 时，y=7，则 M 的坐标是 −1,7；
综上所述：M 的坐标是：M11,12 或 M21,5 或 M3−1,7．
2. （1） 10
【解析】∵ M0,2，N4,0，
∴ MN=4−02+0−22=25，
∴ S=12⋅MN⋅MN=12×25×25=10．
（2） 若三角形面积最小，则 AC 最小，
过点 A 作 AC⊥l，
∵ y=x+2，
∴ ∠CDA=45∘．
令 y=x+2 中，y=0 得，
x=−2，
∴ D−2,0．
又 ∵ A1,0，
∴ AD=3，
∴ AC=3sin45∘=322，
∴S=12AC⋅AC=12×322×322=94.
（3） 过点 B 作 BF⊥l，
交直线 y=−x+2 于点 F，
由题知 12BF2=2 ，
∴ BF=2 ，
设 Bn,−1，设 Ff,−f+2．
∵ BF=2，
∴ ∣xB−xF∣=2，∣yB−yF∣=2，
即 ∣n−f∣=2，∣−1−−f+2∣=2，
∴ n1=3+22,f1=3+2, n2=3−22,f2=3−2,
∴ B3+22,−1 或 B3−22,−1，
∴ P2+22,0 或 P2−22,0．
∴ m 的值为 2+22，2−22．
3. （1） ∵ 当 y=0 时，x=2，当 x=0 时，y=4，
∴A2,0，B0,4．
（2） ∵A2,0，B0,4，
∴OA=2，OB=4，
∴S△AOB=12×2×4=4．
（3） −3,0 或 −2,0 或 2+25,0 或 2−25,0
【解析】∵A2,0，B0,4．
∴AB=22+42=25，
当 AB 为腰长时，P 的坐标为 2+25,0，2−25,0 或 −2,0，
当 AB 为底时，则 AP=BP，设 Px,0，
则 AP=2−x，
故在 Rt△BOP 中，
BO2+OP2=BP2，
即 42+x2=2−x2，
解得：x=3，
故 P 点坐标为 −3,0．
综上，点 P 的坐标为 −3,0 或 −2,0 或 2+25,0 或 2−25,0．
4. （1） 设直线 AB 的解析式为：y=kx+b，
把点 A−1,1，B2,0 代入得 −k+b=1,2k+b=0,
解得：k=−13,b=23,
∴ 直线 AB 的解析式为：y=−13x+23；
（2） 由（1）知：C0,23，
∴CD=n−23，
∴△ABD的面积=12×n−23×1+12n−23×2=32n−1；
∵△ABD的面积=32n−1=2，
∴n=2，
∴D0,2，
∴OD=OB，
∴△BOD 三等腰直角三角形，
∴BD=22，
如图，
∵ 点 P 在第一象限内，BP=BD，且 BP⊥BD，
∴△DBP 是等腰直角三角形，DB=BP=22，
∴∠BDP=45∘，
∴∠BDP=∠DBO=45∘，
∴DP∥x轴，
∴PD=2DB=4，
∴P4,2．
5. （1） 把 A−5,0 代入 y1=x+b，得 −5+b=0，
解得 b=5．
（2） 由（1）知，直线 l1:y1=x+5，且 B0,5，
根据题意知，y=x+5,y=−2x+5,
解得 x=−3,y=2, 即 C−3,2，
又由 y2=−2x−4 知，D0,−4，
所以 BD=9，
所以 S△BCD=12BD⋅xC=12×9×3=272．
（3） −3【解析】由（2）知，C−3,2，
当 y=0 时，−2x−4=0，此时 x=−2，
所以由图象知，当 0≤y26. （1） y=14+18x0 （2） 由 x+y=1 知 x=23，y=13，
所以 BQ=12BP=13，AR=2AS=23．
（3） ①当 S，P 两点还没有相遇时，由题意，得 x+y+14=1．
又因为 y=14+x8，
所以 x+14+x8+14=1．
解得 x=49．
因为 BP=49，
所以 AP=1−49=59．
②当 S，P 两点相遇之后时，
由题意，得 x+y−14=1．
因为 y=14+18x，
所以 x+14+18x−14=1．
解得 x=89．
所以 AP=1−89=19．
7. （1） ∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D=∠E=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCE=∠CBE，
且 CA=BC，∠D=∠E=90∘，
∴△CDA≌△BECAAS．
（2） 如图 2，在 l2 上取 D 点，使 AD=AB，过 D 点作 DE⊥OA，垂足为 E，
∵ 直线 y=43x+4 与坐标轴交于点 A，B，
∴A−3,0，B0,4，
∴OA=3，OB=4，
由（1）得 △BOA≌△AED，
∴DE=OA=3，AE=OB=4，
∴OE=7，
∴D−7,3，
设 l2 的解析式为 y=kx+b，
得 3=−7k+b,0=−3k+b, 解得 k=−34,b=−94,
∴ 直线 l2 的函数表达式为：y=−34x−94．
（3） 若点 P 在 x 轴正半轴，如图 3，过点 B 作 BE⊥OC，
∵BE=2，∠BCO=30∘，BE⊥OC，
∴BC=4，
∵ 将线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 30∘ 得到 BP，
∴AP=BP，∠APB=30∘，
∵∠APC=∠AOC+∠OAP=∠APB+∠BPC，
∴∠OAP=∠BPC，且 ∠OAC=∠PCB=30∘，AP=BP，
∴△OAP≌△CPBAAS，
∴OP=BC=4，
∴ 点 P4,0，
若点 P 在 x 轴负半轴，如图 4，过点 B 作 BE⊥OC，
∵BE=2，∠BCO=30∘，BE⊥OC，
∴BC=4，
∵ 将线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 30∘ 得到 BP，
∴AP=BP，∠APB=30∘，
∵∠APE+∠BPE=30∘，∠BCE=30∘=∠BPE+∠PBC，
∴∠APE=∠PBC，
∵∠AOE=∠BCO=30∘，
∴∠AOP=∠BCP=150∘，且 ∠APE=∠PBC，PA=PB，
∴△OAP≌△CPBAAS，
∴OP=BC=4，
∴ 点 P−4,0．
综上所述：点 P 坐标为 4,0 或 −4,0．
8. （1） ① 0,4；6,0
②由题意知，C 点为 B 点关于直线 l2:y=2x−92 的对称点，
连接 BC，
则可知直线 BC 与直线 l2 垂直，且与直线 l2 交点为 BC 中点．
∴ 设直线 BC 解析式为 y=kx+b，则解析式满足：
k×2=−1,0=k×6+b, 解之得：k=−12,b=3.
故 BC 解析式为 y=−12x+3．
∴ 可知直线 BC 与直线 l2 交点满足：
y=−12x+3,y=2x−92,
解之得：x=3,y=32.
故交点为 3,32．
∴ 设点 C 的坐标为 x1,y1，则由 BC 中点为交点有：
x1+6=3×2,y1+0=32×2,
解之得：x1=0,y1=3,
故 C 点坐标为 0,3．
【解析】① ∵ 直线 l1:y=−23x+4 分别与 x，y 轴交于 B，A 两点，
∴ 当 x=0 时，y=−23×0+4=4，故 A 坐标 0,4．
当 y=0 时，0=−23x+4，解之得 x=6，故 B 坐标 6,0．
（2） ①点 D 在线段 BA 上，故可设点 D 坐标为 a,−23a+4，且 0≤a≤6，
∴ △CDO 可看为以 OC 为底，D 到 y 轴距离为高的三角形，
故 S△CDO=3×a×12=32a．
又 S△CDB=S△ABO−S△BCO−S△ADC=6×4×12−6×3×12−4−3×a×12=3−12a.
∵△CDB 与 △CDO 面积相等，故 32a=3−12a，解之得 a=32．
∴ 可知 D 坐标为 32,3 .设直线 OD 解析式为 y=k1x+b，将 O，D 两点代入有：3=32×k1+b1,0=k1×0+b1,
解之得：b1=0,k1=2, 故 OD 解析式为 y=2x．
② −32,92．
【解析】②由①可知 D32,3，OD 的解析式为 y=2x．
∵ODQP 为正方形且 OD=322+32=352，
∴ 可知 OD∥QP，且 D 到 QP 的距离 d=352．
∴ 设直线 QP 解析式为 y=k3x+b3，故解析式满足：
k3=2,d=k3×32+b3−3k32+C−D2=352, 解之得：k3=2,b3=±152.
∵ 点 Q 在第二象限，故 b3>0，b3=152．
∴QP 解析式为 y=2x+152．
此时又有直线 DQ 垂直于 QP，
∴ 设直线 DQ 解析式为 y=k4x+b4，故有：
k4×2=−1,3=k4×32+b4,
解之得：k4=−12,b4=154,
故 DQ 解析式为 y=−12x+154，
∴Q 为 DQ 与 QP 交点，故有：
y=−12x+154,y=2x+152, 解之得：x=−32,y=92.
故 Q 点的坐标为 −32,92．
（3） 由 2 中①问情况为 D 在线段 BA 上，即 D 为 BA 在第一象限点，
∴ 若射线 BA 上存在其它点 Dʹ，使得 △CDʹB 与 △CDʹO 面积相等，则此 Dʹ 应该在第二象限，
∴ 可设 Dʹ 坐标为 c,−23c+4，c<0．
∴ 可知 S△CDʹO=3×∣c∣×12=−32c．
S△CDʹB=S△CADʹ+S△CBA=4−3×∣c∣×12+4−3×6×12=−12c+3.
∴ 可知 S△CDʹO=S△CDʹB 时，
有 −32c=−12c+3，
解之得 c=−3．
∴ 此时，Dʹ 坐标为 −3,6，
∴ 存在 Dʹ，Dʹ 坐标为 −3,6．
9. （1） 当 x=0 时，y=8，
∴B0,8，
当 y=0 时，−43x+8=0，x=6，
∴A6,0．
（2） 在 Rt△AOB 中，∠AOB=90∘，OA=6，OB=8，
∴AB=10，
由折叠得：AB=ABʹ=10，
∴OBʹ=10−6=4，
设 OM=a，则 BM=BʹM=8−a，
由勾股定理得：a2+42=8−a2，a=3，
∴M0,3，
设 AM:y=kx+b，
则 6k+b=0,b=3, 解得：k=−12,b=3,
∴ 直线 AM 的解析式为：y=−12x+3．
（3） P 点的坐标为 −9,0 或 1,0 或 4,0 或 −78,0．
【解析】在 x 轴上存在点 P，使得以点 P，M，Bʹ 为顶点的三角形是等腰二角形，如图．
∵M0,3，Bʹ−4,0，
∴BʹM=5，
当 PBʹ=BʹM 时，P1−9,0，P21,0；
当 BʹM=PM 时，P34,0，
当 PBʹ=PM 时，作 BM 的垂直平分线，交 x 轴于 P4，交 BʹM 与 Q，连接 MP4，
设 OP4=m，则 P4M=P4Bʹ=4−m，
∵PM2=OP2+PM2，
∴4−m2=m2+32，解得 m=78，
∴P4−78,0．
综上，P 点的坐标为 −9,0 或 1,0 或 4,0 或 −78,0．
10. （1） 直线 y=−2x+4 交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 B，
当 x=0 时，y=4，
当 y=0 时，x=2，
∴A2,0，B0,4．
（2） ∵S△ABC=6，
∴ 点 P 可在 AB 上或 BA 的延长线上，Px,−2x+4，
①当点 P 可在 AB 上时，
S△APC=S△ABC−S△BPC=6−12BC×x=6−12×6×x=4.
当 x=23，则 y=−2×23+4=83，
∴P123,83．
②当 P 在或 BA 的延长线上时，
S△APC=S△BPC−S△ABC=12BC×x−12BC×OA=12×6×x−6=3x−6=4.
当 x=103，则 y=−2×103+4=−83，
∴P2103,−83．
∴ 点 P 的坐标为 P123,83，P2103,−83．
（3） 如图所示，作 AD⊥BE，DG⊥DE，BH⊥GH．
设 a=AG，DG=b，a+b=4,a+2=b,
∴a=1，b=3，
∴D3,3，B0,4，
把点 D，B 代入 y=kx+b，得 3=3k+b,4=b,
∴b=4,k=−13,
∴BE 所在解析式为：y=−13x+4．