2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与四边形综合问题（二）（word版含解析）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与四边形综合问题（二）（word版含解析），共20页。

（1）设 P 点坐标为 0,m，请求出 B 点坐标；
（2）求 BO+BA 的最小值．

2. ，如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 A3,0，B−1,0，C0,−3．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标．
（3）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求点 P 的坐标．若不存在，请说明理由．

3. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 Mx1,y1，Nx2,y2，定义如下：点 M 与点 N 的“直角距离”为 x1−x2+y1−y2，记作 dMN．
例如：点 M1,5 与 N7,2 的“直角距离”dMN=1−7+5−2=9．
（1）已知点 P1−1,0，P2−32,12，P3−12,14，P4−12,−12，则在这四个点中，与原点 O 的“直角距离”等于 1 的点是 ．
（2）如图，已知点 A1,0，B0,1，根据定义可知线段 AB 上的任意一点与原点 O 的“直角距离”都等于 1．
若点 P 与原点 O 的“直角距离”dOP=1，请在图中将所有满足条件的点 P 组成的图形补全．
（3）已知直线 y=kx+2，点 Ct,0 是 x 轴上的一个动点．
①当 t=3 时，若直线 y=kx+2 上存在点 D，满足 dCD=1，求 k 的取值范围．
②当 k=−2 时，直线 y=kx+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F．若线段 EF 上任意一点 H 都满足 1≤dCH≤4，直接写出 t 的取值范围．

4. 如图，四边形 ABCD 为菱形，已知 A3,0 ， B0,4 ．
（1）求点 C 的坐标；
（2）求经过点 C ， D 两点的一次函数的解析式．

5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上，点 C 在 x 轴的正半轴上，线段 OA，OC 的长分别是 m，n 且满足 m−62+n−8=0．点 D 是线段 OC 上一点，将 △AOD 沿直线 AD 翻折，点 O 落在矩形对角线 AC 上的点 E 处．
（1）求 OA，OC 的长．
（2）求直线 AD 的解析式．
（3）点 M 在直线 DE 上，在 x 轴的正半轴上是否存在点 N，使以 M，A，N，C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

6. 如图，A−2,2，AB⊥x 轴于点 B，AD⊥y 轴于点 D，C−2,1 为 AB 的中点，直线 CD 交 x 轴于点 F．
（1）求直线 CD 的函数关系式．
（2）过点 C 作 CE⊥DF 且交 x 轴于点 E，求证：∠ADC=∠EDC．
（3）点 P 是直线 CE 上的一个动点，求得 PB+PF 的最小值为 ．（请直接写出答案）

7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−23x+4 分别交 x，y 轴于 B，A 两点，将 △AOB 沿直线 l2:y=2x−92 折叠，使点 B 落在 y 轴上的点 C 处．
（1）①点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ．
②求点 C 的坐标．
（2）①点 D 在线段 BA 上，当 △CDB 与 △CDO 面积相等时，求 OD 所在直线的解析式．
②如图，在①的条件下，以 OD 为一边作正方形 OPQD（点 Q 在第二象限），则点 Q 的坐标为 ．
（3）在射线 BA 上是否还存在其它的点 Dʹ，使得 △CDʹB 与 △CDʹO 面积相等?若存在，求出点 Dʹ 的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 如图，已知一次函数 y=33x+6 的图象分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，点 P 从点 A 出发沿 AO 方向以每秒 3 单位长度的速度向终点 O 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 2 个单位长度向终点 A 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 t 秒，过点 Q 作 QC⊥y 轴，连接 PQ，PC．
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，AB= ．
（2）当点 Q 运动到 AB 中点时，求此时 PC 所在直线的解析式．
（3）若点 D0,2，点 N 在 x 轴上，直线 AB 上是否存在点 M，使以 M，N，B，D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

9. 如图，等腰直角 △ABC 的斜边 AB 在 x 轴上且长为 4，点 C 在 x 轴上方．矩形 ODEF 中，点 D，F 分别落在 x，y 轴上，边 OD 长为 2，DE 长为 4，将等腰直角 △ABC 沿 x 轴向右平移得等腰直角 △AʹBʹCʹ．
（1）当点 Bʹ 与点 D 重合时，求直线 AʹCʹ 的解析式；
（2）连接 CʹF，CʹE．当线段 CʹF 和线段 CʹE 之和最短时，求矩形 ODEF 和等腰直角 △AʹBʹCʹ 重叠部分的面积；
（3）当矩形 ODEF 和等腰直角 △AʹBʹCʹ 重叠部分的面积为 2.5 时，求直线 AʹCʹ 与 y 轴交点的坐标．（本问直接写出答案即可）

10. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−34x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PC⊥AB 于点 C．
（1）当点 P 是 OA 中点时，求 △APC 的面积；
（2）连接 BP，若 BP 平分 ∠ABO，求此时点 P 的坐标；
（3）设点 D 是 x 轴上方的坐标平面内一点，若以点 O，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求点 D 的坐标及此时 OP 的长．
答案
1. （1） 如图，作 BC⊥y 轴于点 C，
∵ 线段 PA 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90∘ 至线段 PB 位置，
∴PA=PB，∠BPA=90∘，
∵BC⊥y 轴，∠POA=90∘，
∴∠BCP=∠POA=90∘，
∴∠OAP+∠OPA=90∘，∠CPB+∠OPA=90∘，
∴∠CPB=∠OAP，
∴△BPC≌△PAOAAS，
∴BC=OP，PC=AO，
∵P0,m，A8,0，
∴BC=OP=m，PC=AO=8，
∴B 点坐标为 m,m+8．
（2） 如图，
∵Bm,m+8，
∴B 点直线 y=x+8 上，
设直线 y=x+8 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，作点 O 关于 y=x+8 的对称点 D，连接 DE，DF，DA，DB，则 EF 垂直平分 OD，
∴BD=BO，
∴OB+AB=BD+AB≥AD，
∴BD+AB 的最小值为 AD，即 BO+AB 的最小值为 AD，
∵OE=OF=8，
∴∠FEO=∠EFO=45∘，
∴ 四边形 DEOF 为正方形，
∴∠DEA=90∘，DE=8，EA=16，
∴AD=82+162=85，
∴BO+AB 的最小值为 85．
2. （1） 把 A3,0，B−1,0，C0,−3 代入抛物线解析式得：9a+3b+c=0,a−b+c=0,c=−3,
解得：a=1,b=−2,c=−3,
则该抛物线解析式为 y=x2−2x−3．
（2） 设直线 BC 解析式为 y=kx−3，
把 B−1,0 代入得：−k−3=0，即 k=−3，
∴ 直线 BC 解析式为 y=−3x−3，
∴ 直线 AM 解析式为 y=13x+m，
把 A3,0 代入得：1+m=0，即 m=−1，
∴ 直线 AM 解析式为 y=13x−1，
联立得：y=−3x−3,y=13x−1,
解得：x=−35,y=−65,
则 M−35,−65．
（3） 存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设 Qx,0，Pm,m2−2m−3，
当四边形 BCQP 为平行四边形时，由 B−1,0，C0,−3，
根据平移规律得：−1+x=0+m，0+0=−3+m2−2m−3，
解得：m=1±7，x=2±7，
当 m=1+7 时，m2−2m−3=8+27−2−27−3=3，即 P1+7,2．
当 m=1−7 时，m2−2m−3=8−27−2+27−3=3，即 P1−7,2．
3. （1） P1，P4
【解析】由题意有 dOP1=−1−0=1，
dOP2=−32−0+12−0=2，
dOP3=−12−0+14−0=34，
dOP4=−12−0+−12−0=1，
∴ 与原点 O 的直角距离等于 1 的点是 P1 与 P4．
（2） 如图 1 所示，正方形 ABPQ 上所有的点都满足条件，
∴ 线段 AB 上的所有点都满足与原点的“直角距离”等于 1，
∴ 线段 AB 关于原点的对称线段 QP 满足条件，
线段 AB 与 x 轴，y 轴的对称线段也满足条件，
∴ 所有满足条件的 P 点，组成的图形即为正方形 ABPQ．
（3） ①当 t=3 时，C 点坐标为 3,0，
由（2）可得，若 dCD=1，则 D 点在正方形 EFMN 上 CN=CF=CE=CM=1，
此时：F2,0，M3,−1，N4,0，E3,1，
由图 2 可知，要使 y=kx+2 上存在 D，使 dOD=1，则 k<0，
由图可知 0,2，F2,0，M3,−1 在一条直线上，
则：0=2k+2，k=−1，
当 y=kx+2 过点 E 时，k 有最大值，将 E3,1 代入：1=3k+2，k=−13，
∴k 的取值范围为：−1≤k≤−13．
② −4≤t≤5．
【解析】②当 k=−2 时，直线解析式为：y=−2x+2，
E：当 y=0 时，0=−2x+2，x=1，
∴E 点坐标为 1,0，
F：当 x=0 时，y=2，
∴F 点坐标为 0,2，
则线段 EF 在第一象限，
设 H 点坐标 x,−2x+2（EF 在第一象限，00），
dCH=x−t+−2x+2=x−t−2x+2，
∵1≤dCH≤4，0≤−2x+2≤2，
∴−1≤x−t−2x+2−−2x+2≤4，即 −1≤x−t≤4，
当 t0，x−t=x−t，
∴−1≤x−t≤4，
∵0≤x≤1，
∴−2≤−t≤4，
∴−4≤t≤2，
∵0≤x≤1，t ∴−4≤t≤1，
当 t>x 时，x−t<0，x−t=t−x，
∴−1≤t−x≤4，
∵0≤x≤1，
∴−1≤t≤5，
∵t>x，0≤x≤1，
∴1≤t≤5．
综上所述：t 的取值范围为：−4≤t≤5．
4. （1） 因为四边形 ABCD 为菱形，
所以 AB=BC=AD ， AD∥BC ，
因为 A3,0 ， B0,4 ，
所以 AB=OB2+AO2=42+32=5 ，
所以 OC=1 ， AD=5 ，
因为 ∠AOB=90∘ ，
所以 ∠OAD=90∘ ，
所以点 C 的坐标为 0,−1 ．
（2） 由上面可知，点 D 的坐标为 3,−5 ，
设一次函数解析式为 y=kx+b ，
把 0,−1 ， 3,−5 代入得 b=−1,3k+b=−5,
解得： k=−43,b=−1,
所以经过点 C ， D 两点的一次函数的解析式为 y=−43x−1 ．
5. （1） ∵m−62+n−8=0，
∴m=6，n=8，
∴OA=6，OC=8．
（2） ∵ 翻折，
∴AO=AE=6，OD=DE，
设 OD=x，则 DE=x，CD=8−x，
在 Rt△AOC 中，AO=6，CO=8，
∴AC=AO2+OC2，
∴AC=10，
∴CE=4，
在 Rt△CDE 中，CD2=DE2+CE2，
∴8−x2=x2+16，
即 64−16x+x2=x2+16，
即 64−16x+x2=x2+16，
解得 x=3，
∴D3,0，
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，把 A0,6，D3,0 代入解 b=6,3k+b=0,
解得 b=6,k=−2,
∴y=−2x+6．
（3） N12,0或312,0．
【解析】假设存在这样的 N 点，设 N 为 a,0，
∵DE⊥AC，
∴kDE⋅kAC=−1，
∴kDE=43，
∴DE 的直线解析式为 y=43x−4，
设 Mc,43c−4，
①若 AC 为对角线时，有 xA+xC=xM+xN,yA+yC=yM+yN,
即 0+8=c+a,6+0=43c+0, 解得 c=152,a=12,
∴N12,0．
②若 AM 为对角线时，有 xM+xA=xC+xN,yM+yA=yC+yN,
即 c+0=8+a,43c−4+6=0+0, 解得 c=−32,a=−192,
∴N−192,0．
③若 AN 为对角线时，有 xA+xN=xM+xC,yA+yN=yM+yC,
即 0+a=c+8,6+0=43c−4+0, 解得 c=152,a=312,
∴N312,0，
∵N 在 x 轴正半轴上，
∴N12,0或312,0．
6. （1） ∵ 四边形 ABOD 为正方形，A−2,2，
∴AB=BO=OD=AD=2，
∴D0,2，
∵C 为 AB 的中点，
∴BC=1，
∴C−2,1，设直线 CD 解析式为 y=kx+bk≠0，
则有 b=2,−2k+b=1, 解得 b=2,k=12,
∴ 直线 CD 的函数关系式为 y=12x+2．
（2） ∵C 是 AB 的中点，
∴AC=BC，
∵ 四边形 ABOD 是正方形，
∴∠A=∠CBF=90∘，
在 △ACD 和 △BCF 中 ∠A=∠CBF,AC=BC,∠ACD=∠BCF,
∴△ACD≌△BCFASA，
∴CF=CD，
∵CE⊥DF，
∴CE 垂直平分 DF，
∴DE=FE，
∴∠EDC=∠EFC，
∵AD∥BF，
∴∠EFC=∠ADC，
∴∠ADC=∠EDC．
（3） 22
【解析】如图，连接 BD 交直线 CE 于点 P．
由（2）可知点 D 与点 F 关于直线 CE 对称，
PD=PF，
∴PB+PF=PB+PD≥BD，
∴PB+PF 的最小值为 BD 的长，
∵B−2,0，D0,2，
∴BD=22，
∴PB+PF 的最小值为 22．
7. （1） ① 0,4；6,0
②由题意知，C 点为 B 点关于直线 l2:y=2x−92 的对称点，
连接 BC，
则可知直线 BC 与直线 l2 垂直，且与直线 l2 交点为 BC 中点．
∴ 设直线 BC 解析式为 y=kx+b，则解析式满足：
k×2=−1,0=k×6+b, 解之得：k=−12,b=3.
故 BC 解析式为 y=−12x+3．
∴ 可知直线 BC 与直线 l2 交点满足：
y=−12x+3,y=2x−92,
解之得：x=3,y=32.
故交点为 3,32．
∴ 设点 C 的坐标为 x1,y1，则由 BC 中点为交点有：
x1+6=3×2,y1+0=32×2,
解之得：x1=0,y1=3,
故 C 点坐标为 0,3．
【解析】① ∵ 直线 l1:y=−23x+4 分别与 x，y 轴交于 B，A 两点，
∴ 当 x=0 时，y=−23×0+4=4，故 A 坐标 0,4．
当 y=0 时，0=−23x+4，解之得 x=6，故 B 坐标 6,0．
（2） ①点 D 在线段 BA 上，故可设点 D 坐标为 a,−23a+4，且 0≤a≤6，
∴ △CDO 可看为以 OC 为底，D 到 y 轴距离为高的三角形，
故 S△CDO=3×a×12=32a．
又 S△CDB=S△ABO−S△BCO−S△ADC=6×4×12−6×3×12−4−3×a×12=3−12a.
∵△CDB 与 △CDO 面积相等，故 32a=3−12a，解之得 a=32．
∴ 可知 D 坐标为 32,3 .设直线 OD 解析式为 y=k1x+b，将 O，D 两点代入有：3=32×k1+b1,0=k1×0+b1,
解之得：b1=0,k1=2, 故 OD 解析式为 y=2x．
② −32,92．
【解析】②由①可知 D32,3，OD 的解析式为 y=2x．
∵ODQP 为正方形且 OD=322+32=352，
∴ 可知 OD∥QP，且 D 到 QP 的距离 d=352．
∴ 设直线 QP 解析式为 y=k3x+b3，故解析式满足：
k3=2,d=k3×32+b3−3k32+C−D2=352, 解之得：k3=2,b3=±152.
∵ 点 Q 在第二象限，故 b3>0，b3=152．
∴QP 解析式为 y=2x+152．
此时又有直线 DQ 垂直于 QP，
∴ 设直线 DQ 解析式为 y=k4x+b4，故有：
k4×2=−1,3=k4×32+b4,
解之得：k4=−12,b4=154,
故 DQ 解析式为 y=−12x+154，
∴Q 为 DQ 与 QP 交点，故有：
y=−12x+154,y=2x+152, 解之得：x=−32,y=92.
故 Q 点的坐标为 −32,92．
（3） 由 2 中①问情况为 D 在线段 BA 上，即 D 为 BA 在第一象限点，
∴ 若射线 BA 上存在其它点 Dʹ，使得 △CDʹB 与 △CDʹO 面积相等，则此 Dʹ 应该在第二象限，
∴ 可设 Dʹ 坐标为 c,−23c+4，c<0．
∴ 可知 S△CDʹO=3×∣c∣×12=−32c．
S△CDʹB=S△CADʹ+S△CBA=4−3×∣c∣×12+4−3×6×12=−12c+3.
∴ 可知 S△CDʹO=S△CDʹB 时，
有 −32c=−12c+3，
解之得 c=−3．
∴ 此时，Dʹ 坐标为 −3,6，
∴ 存在 Dʹ，Dʹ 坐标为 −3,6．
8. （1） −63,0；0,6；12
【解析】把 x=0 代入解析式，求得：y=6，故 B0,6，
把 y=0 代入解析式，求得，x=−63，故 A−63,0，
AB=632+62=12．
（2） 当由题可知，QC⊥OB，AO⊥OB，
∴QC∥AO，
∵Q 为 AB 中点，
∴C0,3，
∴2t=122，t=3，
∴AP=33，PO=63−33=33，
点 P−33,0，
设 PC 解析式为 y=kx+bk≠0，
把 P−33,0 和 C0,3 代入，解得：k=33,b=3,
故 PC 解析式为 y=33x+3．
（3） 存在点 M 使以 M，N，B，D 为顶点四边形的平行四边形，
M 坐标为 −23,4 或 −103,−4 或 23,8．
【解析】由题已知 A−63,0，B0,6，
可求 AB 解析式为 y=33x+6，BD=4，
当 BD 为平行四边形时，
① MN=BD=4，MN⊥x 轴，
把 y=4 代入 AB 解析式得：4=33x+6，解得：x=−23，
∴M−23,4．
②把 y=−4 代入，得 −4=33x+6，解得：x=−103，
∴M2−103,−4．
③当 BD 为平行四边形对角线时，
过点 M3 作 M3G⊥y 轴，
∴M3B=DN，
GB=OD=2，
∴GM3=ON=23，GO=2+6=8，
∴M323,8．
综上所述，存在点 M 使以 M，N，B，D 为顶点四边形的平行四边形，
M 坐标为 −23,4 或 −103,−4 或 23,8．
9. （1） ∵ 点 Bʹ 与 D 重合，OD=2，AB=4．
∴OAʹ=OD=2，
∵△AʹBʹCʹ 是等腰直角三角形，
∴OCʹ⊥AʹBʹ，
∴ 点 Cʹ 在 y 轴上，
∴OCʹ=OD=2，
∴Aʹ−2,0，Cʹ0,2，
设直线 AʹCʹ 的解析式为 y=kx+b，
∴−2k+b=0,b=2.
解得 k=1,b=2.
∴AʹCʹ 的解析式为 y=x+2．
（2） 如图，
∵△ABC 斜边 AB 上的高为 2 ，
∴ 点 Cʹ 在直线 y=2 上移动，
∵ 在矩形 DEFO 中，DE=4，
∴F0,4，
∴ 点 F 和点 O 关于直线 y=2 对称，.
∴CʹF=CʹO，
∴ 当点 E，Cʹ，O 在同一条直线上时，CʹF+CʹE 最小，即此时 CʹF+CʹE 取得最小值．
设直线 OE 的解析式为 y=kx，
∵E2,4，
∴4=2k，
解得 k=2，
∴ 直线 OE 的解析式为 y=2x，
∴Cʹ1,2，
设直线 AʹCʹ 的解析式为 y=x+b，
把 1,2 代入，得 b=1，
∴ 直线 AʹCʹ 的解析式为 y=x+1，
当 x=0 时，y=1，
∴G0,1，
∴OG=OAʹ=1，
∴DH=DBʹ=AʹBʹ−OAʹ−OD=1，H2,1，
∴ 重叠部分的面积为：S=12AʹBʹ⋅OP−12OAʹ⋅OG−12DBʹ⋅DH=3．
（3） 0,2+22 或 0,2−22．
【解析】如图，
S重合=2.5 时，易知点 Cʹ 在矩形内，
S△AʹOM+S△BʹDN=S△AʹBʹCʹ−S重合=4−2.5=1.5，
设 OAʹ=x，则 DBʹ=2−x0 ∵OAʹ=OM，DBʹ=DN，
∴12x⋅x+122−x2=1.5，
解得：x=2±22，
∴ 直线 AʹCʹ 与 y 轴交点的坐标为 0,2+22 或 0,2−22．
10. （1） 如图，连接 BP．
∵ 直线 y=−34x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，
∴ 点 A4,0，点 B0,3，
∴AO=4，OB=3，
∴AB=OB2+OA2=16+9=5，
∵ 点 P 是 OA 中点，
∴AP=OP=2，
∵S△ABP=12×AP×OB=12×AB×CP，
∴CP=65，
∴AC=PA2−PC2=4−3625=85，
∴S△APC=12×AC×PC=2425．
（2） ∵BP 平分 ∠ABO，
∴∠OBP=∠CBP，
又 ∵BP=BP，∠BOP=∠BCP=90∘，
∴△BOP≌△BCPAAS，
∴BO=BC=3，OP=CP，
∴AC=AB−BC=5−3=2，
∵AP2=PC2+AC2，
∴4−OP2=OP2+4，
∴OP=32，
∴ 点 P32,0．
（3） 若 OB 为边，如图 2，设点 Ca,−34a+3，连接 OD，
∵ 四边形 OCDB 是菱形，
∴OC=CD=BD=OB=3，BO∥CD，OD⊥BC，
∴a−02+−34a+3−02=9，
∴a1=0（不合题意舍去），a2=7225，
∴ 点 C7225,2125，
∵BO∥CD，OB=CD=3，
∴ 点 D7225,9625，
∴ 直线 OD 解析式为：y=43x，
∵PC∥OD，
∴ 设直线 PC 解析式为 y=43x+b，
∴2125=43×7225+b，
∴b=−3，
∴ 直线 PC 解析式为 y=43x−3，
∴ 当 y=0 时，x=94，
∴ 点 P94,0，
∴OP=94；
若 OB 为对角线，如图 3，设点 Ca,−34a+3，连接 CD，
∵ 四边形 OCBD 是菱形，
∴OB 与 CD 互相垂直平分，
∴ 点 C 在 OB 的垂直平分线上，
∴32=−34a+3，
∴a=2，
∴ 点 C2,32，
∵BO 垂直 CD，
∴ 点 D−2,32，
设直线 PC 解析式为 y=43x+b，
∴32=43×2+b，
∴b=−76，
∴ 设直线 PC 解析式为 y=43x−76，
当 y=0 时，x=78，
∴ 点 P78,0，
∴OP=78．
综上所述：当 OP=78 时，点 D−2,32 或当 OP=94 时，点 D7225,9625．