2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（四）（word版含解析）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（四）（word版含解析），共14页。试卷主要包含了 解答下列问题．等内容，欢迎下载使用。

（1）求点 E 的坐标；
（2）求 S△BDE．

2. 平面直角坐标系中，直线 y=2x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B，A，直线 BC 与直线 y=−x 交于点 E−4,4．
（1）直接写出直线 AB 关于 x 轴对称的直线 BC 的解析式 ；
（2）如图 1，点 P 为 y 轴上一点，PE=PB，求 P 点坐标；
（3）如图 2，点 P 为 y 轴上一点，∠OEB=∠PEA，直线 EP 与直线 AB 交于点 M，求 M 点的坐标．

3. 如图，直线 AB 经过点 A−3,0，B0,2，经过点 D0,4 并且与 y 轴垂直的直线 CD 与直线 AB 交于第一象限内点 C．
（1）求直线 AB 的表达式；
（2）在 x 轴的正半轴上是否存在一点 P，使得 △OCP 为等腰三角形，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

4. 已知直线 y=−23x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 y=2x+b 经过点 B 且与 x 轴交于点 C．求 △ABC 的面积．

5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−2x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B．
（1）求点 A 和点 B 的坐标．
（2）若点 P 在 y 轴上，且 S△AOP=12S△AOB，求点 P 的坐标．

6. 如图，已知直线 AB 的函数表达式为 y=2x+10，与 x 轴交点为 A，与 y 轴交点为 B．
（1）求 A，B 两点的坐标．
（2）若点 P 为线段 AB 上一个动点，O 为坐标原点，是否存在点 P 使 OP 的值最小?若存在，求出 OP 的最小值；若不存在，请说明理由．

7. 如图，已知点 A−3,0，点 B0,m，直线 l:x=1．直线 AB 与直线 l 交于点 C，连接 OC．
（1）△OBC 的面积与 △OAC 的面积比是否是定值?如果是，请求出面积比；如果不是请说明理由．
（2）若 m=2，点 T 在直线 l 上且 TA=TB，求点 T 的坐标．

8. 直线 y=kx−2 与坐标轴所围图形的面积为 3，点 A3,m 是直线 y=kx−2 上一点．
（1）求点 A 的坐标．
（2）当 k>0 时，点 P 在 y 轴上，且 ∠PAO=30∘，直接写出点 P 坐标．

9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴的正半轴交于点 A，与 x 轴交于点 B−2,0，△ABO 的面积为 2．动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在射线 BO 上运动，动点 Q 从 O 出发，沿 x 轴的正半轴与点 P 同时以相同的速度运动，过 P 作 PM⊥X 轴交直线 AB 于 M．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，设 △MPQ 的面积为 S，点 P 运动的时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；
（3）过点 Q 作 QN⊥x 轴交直线 AB 于 N，在运动过程中（P 不与 B 重合），是否存在某一时刻 t（秒），使 △MNQ 是等腰三角形?若存在，求出时间 t 值．

10. 解答下列问题．
（1）【数学阅读】
如图 1，在 △ABC 中，AB=AC，点 P 为边 BC 上的任意一点，过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为 D，E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足为 F，求证：PD+PE=CF．
小尧的证明思路是：如图 2，连接 AP，由 △ABP 与 △ACP 面积之和等于 △ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF．
（2）【推广延伸】
如图 3，当点 P 在 BC 延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想 PD，PE 与 CF 的数量关系，并证明．
（3）【解决问题】
如图 4，在平面直角坐标系中有两条直线 l1，l2，分别是函数 y1=−34x+3 和 y2:y=3x+3 的图象，l1，l2 与 x 轴的交点分别为 A，B．
（1）两条直线的交点 C 的坐标为 ；
（2）说明 △ABC 是等腰三角形；
（3）若 l2 上的一点 M 到 l1 的距离是 1，运用上面的结论，求点 M 的坐标．
答案
1. （1） 解方程组 y=2x−4,y=−3x+3, 得 x=75,y=−65,
∴E75,−65．
（2） 将 x=0 代入 y=2x−4，解得：y=−4，
∴B0,−4，
将 x=0 代入 y=−3x+3，解得：y=3，
∴D0,3，
∴BD=3−−4=7，
∴S△BDE=12×7×75=4910．
2. （1） y=−2x−4
【解析】∵ 直线 y=2x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B，A．
∴A0,4，B−2,0，
∵ 直线 AB 与直线 BC 关于 x 轴对称，
∴C0,−4，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，
∴−2k+b=0,b=−4, 解得，k=−2,b=−4,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−2x−4．
（2） ∵E−4,4，
∴AE⊥AO，
设 OP=a，AP=4−a，
在 Rt△BOP 和 Rt△EAP 中，
BP2=4+a2，PE2=16+4−a2，
∵PE=PB，
∴4+a2=16+4−a2，解得 a=3.5．
∴P0,3.5．
（3） ①如图，当点 P 在点 A 的下方，
∵∠OEB=∠PEA，∠AEO=45∘，
∴∠PEB=45∘，
过点 B 作 BN⊥BE 交直线 EP 于点 N，过点 N 作 NQ⊥OB 于 Q，过点 E 作 EH⊥OB 于点 H，
∴△EBN 为等腰直角三角形，
∴EB=BN，
∵∠BEH+∠EBH=90∘，∠EBH+∠NBQ=90∘，
∴∠BEH=∠NBQ，
又 ∵∠EHB=∠BQN=90∘，
∴△EHB≌△BQNAAS，
∴NQ=BH=2，BQ=EH=4，
∴N2,2，
设直线 EN 的解析式为 y=kx+b，
由 −4k+b=4,2k+b=2, 解得 k=−13,b=83,
∴ 直线 EN 的解析式为 y=−13x+83，OP=83，
∴PA=4−83=43，
由 y=−13x+83,y=2x+4, 解得 x=−47,y=207,
即 M−47,207；
② P 点在 A 点的上方，
由①知，PA=43，
∴OP=OA+PA=4+43=163，
设直线 EP 的解析式为 y=mx+163，
∵E−4,4，
∴−4m+163=4，解得 m=13，
∴ 直线 EP 的解析式为 y=13x+163，
由 y=13x+163,y=2x+4, 解得 x=45,y=285,
∴M45,285．
综合以上可得点 M 的坐标为 −47,207 或 45,285．
3. （1） 设直线 AB 的表达式为：y=kx+b，
把 A−3,0，B0,2 代入表达式得：
0=−3k+b,2=b, 解得：k=23,b=2,
∴ 直线 AB 的表达式为：y=23x+2．
（2） ∵ 经过点 D0,4 并且与 y 轴垂直的直线 CD 与直线 AB 交于第一象限内点 C，
∴ 点 C 的纵坐标为：4，
∴4=23x+2，解得：x=3，
∴ 点 C 的坐标为：3,4，
∴OC=32+42=5，
分三种情况：如图，
①当 OP=PC 时，
设点 P 的坐标为：a,0，则 OP2=PC2，
即 a2=a−32+42，解得：a=256，
∴ 点 P 的坐标为：256,0；
②当 OC=OP=5 时，点 P 的坐标为：5,0；
③当 OC=CP 时，由点 C 的横坐标为 3，可得点 P 的横坐标为 6，
∴ 点 P 的坐标为：6,0．
综上所述，△OCP 为等腰三角形，点 P 的坐标为 256,0 或 5,0 或 6,0．
4. ∵ 当 y=0 时，x=92；当 x=0 时，y=3，
∴A92,0，B0,3，
∵ 直线 y=2x+b 经过点 B，
∴b=3，
∴ 直线 y=2x+b 的解析式为 y=2x+3，
∴C−32,0，
∴AC=92+32=6，
∴S△ABC=12×6×3=9．
5. （1） 令 x=0，得 y=4．
令 y=0，得 x=2．
∴A0,4，B2,0．
（2） ∵S△AOB=12×2×4=4，
∴S△BOP=12S△AOB=2．
∴12×OA×OP=2，
∴12×2×OP=2，
∴OP=2，
∵P 点在 y 轴上，
∴P10,−2，P20,2．
6. （1） ∵ 一次函数 y=2x+10，
令 x=0，则 y=10，令 y=0，则 x=−5，
∴ 点 A 坐标为 −5,0，点 B 坐标为 0,10．
（2） 存在点 P 使得 OP 的值最小，理由如下：
∵ 点 P 为线段 AB 上一个动点，O 为坐标原点，
∴ 当 OP 最小时满足 OP⊥AB，此时 OP 即为 Rt△AOB 中 AB 边上的高，
∵ 点 A 坐标为 −5,0，点 B 坐标为 0,10，
∴ OA=5，OB=10，
∴ 由勾股定理得：AB=55，
∵ △AOB 的面积 =12OA⋅OB=12AB⋅OP，
∴ OP=5×1055=25，
∴ 存在点 P 使 OP 的值最小，此时 OP=25．
7. （1） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
∵ 点 A−3,0，点 B0,m，
∴−3k+b=0,b=m,
∴k=m3,b=m,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=m3x+m．
当 x=1 时，y=4m3，
∴C1,4m3，
∴S△OBCS△OAC=12×3×4m3−12×3×m12×3×4m3=14，
∴△OBC 的面积与 △OAC 的面积比是定值．
（2） ∵m=2，
∴ 点 B0,2，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=23x+2．
∵ 点 T 在直线 l 上且 TA=TB，
∴ 点 T 在线段 AB 的垂直平分线上，
设 AB 的垂直平分线的解析式为：y=−32x+n．
∵ 线段 AB 的中点坐标为 −1.5,1，
∴n=−54，
∴AB 的垂直平分线的解析式为：y=−32x−54，
当 x=1 时，y=−114，
∴T1,−114．
8. （1） 直线 y=kx−2 与 x 轴的交点为 2k,0，与 y 轴的交点为 0,−2．
∵ 直线 y=kx−2 与坐标轴所围图形的面积为 3，
∴12×2k×−2=3，解得 k=±23，
当 k=23 时，y=23x−2，则 m=23×3−2=0；
当 k=−23 时，y=−23x−2，则 m=−23×3−2=−4，
∴ 点 A 的坐标为 3,0 或 3,−4．
（2） 0,3 或 0,−3．
【解析】∵k>0，
∴ 点 A 的坐标为 3,0．
如图，画出图象．
∵ 点 P 在 y 轴上，∠PAO=30∘，
∴OP=33OA=3，
∴ 点 P 的坐标为 0,3 或 0,−3．
9. （1） S△ABO=12×OA×OB=12×AO×2=2，则 OA=2，即点 A0,2，
将点 A，B 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b 得：
n=2,0=−2m+n, 解得：m=1,n=2,
直线 AB 的表达式为：y=x+2．
（2） t 秒时，点 P 的坐标为 −2+t,0，则 MP=BP=t，
S=12×PQ×MP=12×2t=t0 （3） 存在，理由：
t 秒时，点 M，N，Q 的坐标分别为 −2+t,t，t,t+2，t,0，
则：MN2=4+4=8，MQ2=4+t2，NQ2=t+22，
当 MN=MQ 时，即：8=4+t2，t=2（负值已舍去），
当 MN=NQ 时，同理可得：t=22−2（负值已舍去），
当 MQ=NQ 时，同理可得：t=0（舍去），
故：当 △MNQ 是等腰三角形时，t=2 或 22−2．
10. （1） 如图②，连接 AP．
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF，
又 ∵AB=AC，
∴PD+PE=CF．
（2） 猜想：PD−PE=CF．
证明：如图③，连接 AP．
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，
∵S△ABP−S△ACP=S△ABC，
∴12AB⋅PD−12AC⋅PE=12AB⋅CF，
又 ∵AB=AC，
∴PD−PE=CF．
（3） （1）0,3
（2）l1:y=−34x+3，令 y=0，则 x=4，
∴A4,0．
l2:y=3x+3，令 y=0，则 x=−1，
∴B−1,0，
∴AB=5，
在 Rt△AOC 中，∠AOC=90∘，
∴AC2=AO2+CO2，
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
∴△ABC 是等腰三角形．
（3）当 M 在线段 BC 上时，过 M 分别作 MP⊥x 轴，MQ⊥AC，垂足分别为 P，Q，
∵l2 上的一点 M 到 l1 的距离是 1，
∴MQ=1，
由图②的结论得：MP+MQ=3，
∴MP=2，
∴M 点的纵坐标为 2，
又 ∵M 在直线 y=3x+3，
∴ 当 y=2 时，x=−13，
∴M 坐标为 −13,2；
同理，由前面结论可知当 M 点在线段 AC 外时，有 MP−MQ=OC，
可求得 MP=4 或 MP=−2，即 M 点的纵坐标为 4 或 −2，
分别代入 y=3x+3，可求得 x=13 或 x=53（舍，因为它到 l1 的距离不是 1），
∴M 点的坐标为 13,4．
综上可知，M 点的坐标为 −13,2 或 13,4．
【解析】（1）由题意得 y=−34x+3,y=3x+3, 解得 x=0,y=3,
则两条直线的交点 C 的坐标为 0,3．