2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（三）（word版含解析）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（三）（word版含解析），共11页。

2. 已知点 Px,y 在正比例函数 y=3x 图象上，A−2,0 和 B4,0，S△PAB=12．求 P 的坐标．

3. 如图，直线 y=kx+b 经过点 A1,0 和 B0,2．
（1）求直线的解析式；
（2）已知点 Pm,n 在直线 AB 上，且 m−n=4，求点 P 的坐标；
（3）在（ 2 ）的条件下，过点 B 的直线l经过第一、二、四象限，且M为直线l上一点，且 S△OPM=2，求直线l的解析式．

4. 如图，已知点 A6,0 、点 B0,2．
（1）求直线 AB 所对应的函数表达式；
（2）若 C 为直线 AB 上一动点，当 △OBC 的面积为 3 时，试求点 C 的坐标．

5. 如图，直线 l 经过原点和点 A3,5，点 B 在 x 轴的正半轴上，且 ∠ABO=45∘，AH⊥OB，垂足为点 H．
（1）求直线 l 所对应的函数解析式；
（2）求线段 AH，OB 的长度之比；
（3）如果点 P 是线段 OB 上一点，设 BP=x，△APB 的面积为 S，写出 S 与 x 的函数解析式，并指出自变量 x 的取值范围．当 x 取何值时，∠APB 为钝角?

6. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−2x+10 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B；另一条直线 y=kx+b 经过点 A 和点 C−2,8，且与 x 轴交于点 D．
（1）求直线 AD 的解析式；
（2）求 △ABD 的面积．

7. 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知直线 y=−43x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）如图①，若点 Mx,y 在线段 AB 上运动（不与端点 A，B 重合），连接 OM，设 △AOM 的面积为 S，写出 S 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）如图②，若四边形 OADC 是菱形，求菱形对角线 OD 的长．

8. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1．
给出如下定义：记线段 AB 的中点为 M，当点 M 不在 ⊙O 上时，平移线段 AB，使点 M 落在 ⊙O 上，得到线段 AʹBʹ（Aʹ，Bʹ 分别为点 A，B 的对应点）．线段 AAʹ 长度的最小值称为线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”．
（1）已知点 A 的坐标为 −1,0，点 B 在 x 轴上．
①点 B 与原点 O 重合，则线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 ．
②若线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 2，则点 B 的坐标为 ．
（2）若点 A，B 都在直线 y=43x+4 上，且 AB=2，记线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 d1，求 d1 的最小值．
（3）若点 A 的坐标为 3,4，且 AB=2，记线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 d2，直接写出 d2 的取值范围．

9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+3 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．点 C 在第四象限，BC⊥BA，且 BC=BA．
（1）点 B 的坐标为 ，点 C 的横坐标为 ．
（2）设 BC 与 x 轴交于点 D，连接 AC，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E．若射线 AO 平分 ∠BAC，用等式表示线段 AD 与 CE 的数量关系，并证明．

10. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−34x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PC⊥AB 于点 C．
（1）当点 P 是 OA 中点时，求 △APC 的面积；
（2）连接 BP，若 BP 平分 ∠ABO，求此时点 P 的坐标；
（3）设点 D 是 x 轴上方的坐标平面内一点，若以点 O，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求点 D 的坐标及此时 OP 的长．
答案
1. 6,−3 或 −6,3．
2. P43,4 或 P−43,−4．
3. （1） 将 1,0，0,2 代入 y=kx+b，得 k+b=0,b=2. 解得 k=−2,b=2.
∴ 该直线的解析式为 y=−2x+2；
（2） ∵ 点 Pm,n 在该函数的图象上，
∴n=−2m+2，
∵m−n=4，
∴m−−2m+2=4，解得 m=2，n=−2，
∴ 点 P 的坐标为 2,−2；
（3） 易求 S△BOP=2，则 S△OPM=S△BOP，
∴BM∥OP，易求 OP 的解析式为 y=−x，设直线 BM 的解析式为 y=−x+c，将 B0,2 代入其中得 c=2，
∴ 直线 l 的解析式为 y=−x+2．
4. （1） 设直线 AB 所对应的函数表达式为 y=kx+bk≠0．
由题意得：6k+b=0,b=2, 解得 k=−13，b=2，
∴ 直线 AB 所对应的函数表达式为 y=−13x+2．
（2） 由题意得 OB=2．
又 ∵△OBC 的面积为 3，
∴△OBC 中 OB 边上的高为 3．
当 x=−3 时，y=−13x+2=3；
当 x=3 时，y=−13x+2=1．
∴ 点 C 的坐标为 −3,3 或 3,1．
5. （1） y=53x．
（2） AH:OB=5:8．
（3） S=52x06. （1） 将 x=0 代入 y=−2x+10，得 y=10，
∴A0,10，
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，
将 A0,10 和 C−2,8 分别代入得 b=10,−2k+b=8.
∴b=10,k=1.
∴ 直线 AD 的解析式为 y=x+10．
（2） 将 y=0 代入 y=−2x+10 中，解得 x=5；
将 y=0 代入 y=x+10 中，解得 x=−10，
∴B5,0，D−10,0，
∴BD=5−−10=15，
∴S△ABD=12⋅BD⋅OA=12×15×10=75.
7. （1） 3,0；0,4
【解析】∵ 直线 y=−43x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴ 令 y=0，得 x=3；令 x=0，得 y=4，
∴A3,0，B0,4．
（2） ∵ 点 Mx,y 在直线 y=−43x+4 上，
∴Mx,−43x+4，
∴S=12AO⋅yM=12×3×−43x+4=−2x+60 （3） 由（Ⅰ）得，OA=3，OB=4．
∴ 在 Rt△AOB 中，AB=AO2+OB2=32+42=5．
∵ 四边形 OADC 是菱形，
∴AC⊥OD，OE=12OD．
∴S△OAB=12OA×OB=12AB×OE．
∵12AB×OE=12OA×OB，
∴5OE=3×4，
∴OE=125．
∵OE=12OD，
∴OD=2OE=2×125=245．
∴ 菱形对角线 OD 的长为 245．
8. （1） ① 12
② −5,0 或 7,0
【解析】①点 B 与原点 O 重合时，线段 AB 的中点 M 点的坐标为 −12,0,
将线段 AB 向左平移 12 个单位长度，则 M 点落在 ⊙O 上，
∴ 线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 12．
故答案为：12．
② ∵ 线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 2，AB 的中点 M 也在 x 轴上，
∴ 线段 AB 的中点 M 向左或向右平移 2 个单位长度时，点 M 即落在 ⊙O 上，
∴ 当 M 点坐标为 −3,0 时，则 B 点坐标为 −5,0,
当 M 点坐标为 3,0 时，则 B 点坐标为 7,0,
故 B 点坐标为 −5,0 或 7,0．
（2） 设直线 y=43x+4 与 x 轴交于点 P，与 y 轴交于点 Q，过点 O 作 OH⊥PQ 与点 H，交 ⊙O 与点 N，令 x=0，y=4，即 Q0,4，
令 y=0，43x+4=0，解得 x=−3，即 P−3,0，
∴OP=3，OQ=4，
∴PQ=OP2+OQ2=5，
∵S△OPQ=12OP⋅OQ=12PQ⋅OH，
∴OH=OP⋅OQPQ=125，
∴HN=OH−ON=125−1=75，
∴ 当 AB 的中点 M 与点 H 重合时，又需沿着垂直 PQ 的直线平移 75 个单位长度时，AB 的中点 M 即可落在 ⊙O 上，
∴d1 的最小值为 75．
（3） 3≤d2≤5．
【解析】连接 OA，
∵A 点坐标为 3,4，
∴OA=32+42=5，
∵AB=2，
∴ 点 B 在以 A 为圆心，2 为半径的圆上移动，
∴AB 的中点 M 在以 A 为圆心，1 为半径的圆上移动，
∴ 点 M 到 ⊙O 的最小距离为 5−1−1=3，点 M 到 ⊙O 的最大平移距离为 5−1+1=5，
∴ 线段 AB 的平移距离 d2 的取值范围是 3≤d2≤5．
9. （1） 0,3；3,3−3k
【解析】∵y=kx+3，
∴B0,3，A−3k,0，
∴AB2=91+1k2，
∵kAB=k，
∴kBC=−1k，设 Cx,y，
∴−1k=y−3x−0,AB2=BC2⇒x=k3−y,x2+y−32=91+k2k2,
∴y=±3k+3，
∵y<0，
∴y=3−3k，
∴x=3，
∴C3,3−3k．
（2） CE=3k−3，
∵kBC:y=−xk+3，
令 y=−xk+3=0，
∴x=3k，
∴x3k,0，
∴AD=3k+3k，
∴AD−CE=3k+3k−3k−3=3k+1，
tan∠BAO=k，
∵AO 平分 ∠BAC，
∴tan∠EAC=ECAE=k，
∵AE=3+3k，EC=3k−3，
∴k2+2k−1=0，
∴k=2−1，
∴AD−CE=32．
10. （1） 如图，连接 BP．
∵ 直线 y=−34x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，
∴ 点 A4,0，点 B0,3，
∴AO=4，OB=3，
∴AB=OB2+OA2=16+9=5，
∵ 点 P 是 OA 中点，
∴AP=OP=2，
∵S△ABP=12×AP×OB=12×AB×CP，
∴CP=65，
∴AC=PA2−PC2=4−3625=85，
∴S△APC=12×AC×PC=2425．
（2） ∵BP 平分 ∠ABO，
∴∠OBP=∠CBP，
又 ∵BP=BP，∠BOP=∠BCP=90∘，
∴△BOP≌△BCPAAS，
∴BO=BC=3，OP=CP，
∴AC=AB−BC=5−3=2，
∵AP2=PC2+AC2，
∴4−OP2=OP2+4，
∴OP=32，
∴ 点 P32,0．
（3） 若 OB 为边，如图 2，设点 Ca,−34a+3，连接 OD，
∵ 四边形 OCDB 是菱形，
∴OC=CD=BD=OB=3，BO∥CD，OD⊥BC，
∴a−02+−34a+3−02=9，
∴a1=0（不合题意舍去），a2=7225，
∴ 点 C7225,2125，
∵BO∥CD，OB=CD=3，
∴ 点 D7225,9625，
∴ 直线 OD 解析式为：y=43x，
∵PC∥OD，
∴ 设直线 PC 解析式为 y=43x+b，
∴2125=43×7225+b，
∴b=−3，
∴ 直线 PC 解析式为 y=43x−3，
∴ 当 y=0 时，x=94，
∴ 点 P94,0，
∴OP=94；
若 OB 为对角线，如图 3，设点 Ca,−34a+3，连接 CD，
∵ 四边形 OCBD 是菱形，
∴OB 与 CD 互相垂直平分，
∴ 点 C 在 OB 的垂直平分线上，
∴32=−34a+3，
∴a=2，
∴ 点 C2,32，
∵BO 垂直 CD，
∴ 点 D−2,32，
设直线 PC 解析式为 y=43x+b，
∴32=43×2+b，
∴b=−76，
∴ 设直线 PC 解析式为 y=43x−76，
当 y=0 时，x=78，
∴ 点 P78,0，
∴OP=78．
综上所述：当 OP=78 时，点 D−2,32 或当 OP=94 时，点 D7225,9625．