数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第二课时学案设计

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

第2课时一元二次方程

【课程标准】

1. 掌握一元二次方程的求解方法。
2. 掌握一元二次方程根与系数的关系。
3. 一元二次方程根的分布

【知识要点归纳】

1.恒等式

平方差公式：             .

两数和（差）的平方公式：=             .

立方差与立方和公式：                .

2.十字相乘法

关于的二次三项式可分解为

1    a

1    b

十字左边相乘等于1，是二次项的系数.

十字右边相乘等于，是常数项.

交叉相乘为和，再相加就是，是一次项的系数.

助记法则：竖分常数交叉验，横写因式不能乱

图示解读：

1        7        1      2

1                3   5 

3.一元二次方程的解法

4.方程的解集

把一个方程所有解组成的          ，称为这个方程的           .

5. 一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根的判别式是       ，通常用符号        来表示，利用根的判别式，不解方程就可以判断方程根的情况：当         时，方程有两个不相等的实数根；当        时，方程有两个相等的实数根；当        时，方程没有实数根。

当一元二次方程的解集不是空集时，设这个方程的两根为，则        ，        。

【经典例题】

例1解方程

1.       2.

3.       4.

例2.求关于的方程的解集，其中是常数.

例3  已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值.

 （1）    （2）

例4　已知关于的方程的两根同号，求范围.

【当堂检测】

一．选择题（共2小题）

1．方程的解集为　　

A．， B．， C．， D．，

2．已知关于的方程有一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

3．若方程的两根满足一根大于0，一根小于0，则的取值范围是　　．

4．方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是　 　．

5．已知，是方程的两根，则的值为　　．

6．若和分别是一元二次方程的两根．则　　．

三．解答题（共1小题）

7．已知关于的方程有实数根．

（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数的值；

（2）若两根均大于1，求实数的取值范围．

当堂检测答案

一．选择题（共2小题）

1．方程的解集为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】因式分解法求解一元二次方程．

【解答】解：，

，

，

或1，

方程的解集为，．

故选：．

【点评】本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题．

2．已知关于的方程有一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据方程和函数之间的关系，设，利用根的分布，转化为（1）即可．

【解答】解：设，

若方程有一根大于1，另一根小于1，

则只需要（1），

即（1），得，

即实数的取值范围是，

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布，结合函数与方程之间的关系转化为函数问题是解决本题的关键．

二．填空题（共4小题）

3．若方程的两根满足一根大于0，一根小于0，则的取值范围是　　．

【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得的范围．

【解答】解：方程的两根满足一根大于0，一根小于0，

设，则有，解得，

则的取值范围是，

故答案为：．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．

4．方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是　　．

【分析】设，则，（1），（2），（3）

【解答】解：设，

则的一个零点在内，另一零点在内．

，即，

解得．

故答案为

【点评】本题考查了二次函数的根的分布与系数的关系，结合函数图象找到，（1），（2），（3）的函数值得符号是关键．

5．已知，是方程的两根，则的值为　0　．

【分析】，是方程的两根，可得，．即可得出．

【解答】解：，是方程的两根，

则，．

．

故答案为：0．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．若和分别是一元二次方程的两根．则　　．

【分析】由韦达定理得， ，进而求解．

【解答】解：由韦达定理：， ，

，

故答案为：．

【点评】考查韦达定理，两根之差与两根之和、两根之积的关系．

三．解答题（共1小题）

7．已知关于的方程有实数根．

（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数的值；

（2）若两根均大于1，求实数的取值范围．

【分析】（1）由题意可得，由此求得的值．

（2）由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得的范围．

【解答】解：（1）关于的方程有实数根，两根的平方和比两根之积大21，

故有，即，求得．

（2）若方程的两根均大于1，令，

则，求得且．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．