人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）优质学案

第三章 函数的概念与性质

3.4函数的应用（一）

【课程标准】

1. 掌握常见的函数模型。
2. 根据题意，建立函数模型解题。

【知识要点归纳】

1.常见的函数模型

2. 解决函数应用问题的步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.

【经典例题】

　一次函数、二次函数模型

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意：

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.

(2)取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

例1 商场销售进价为30元的商品，在销售中发现商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：

(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；

(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．

[跟踪训练] 1 某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少.

分段函数模型

分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．

例2 某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：

P＝(t∈N*)

设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？

[跟踪训练] 2 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：

H(x)＝

其中x是仪器的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；

(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)

用幂函数模型解决实际问题

步骤：确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题．

例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．

(1)写出函数解析式（可带参数）；

(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式；

【当堂检测】

一．解答题（共5小题）

1．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足．

（1）当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？

2．盐田港与深汕港相距约，在两地连线之间距盐田港处拟再建一核电机组专给两港供电，为保证港区安全，核电机组距两港距离均不得少于，已知供电费用与供电距离的平方以及供电量之积成正比，比例系数．若盐田港供电量为20亿度月，深汕港为10亿度月．

（1）把月供电总费用表示成的函数，并写出其定义域．

（2）核电机组建在距盐田港多远，才能使供电费用最小．

3．数据显示，在线直播带货可为卖家赚取更多的利润，双十一活动将至，某猫平台利用带货直播优势邀请著名主播李某琪带货某农产品，助力脱贫攻坚，假设直播在线购买人数（单位：人）与某产品销售单价（单位：元）满足的关系式：，，其中为常数，当产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015人．

（1）求的值；

（2）假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，试确定销售单价，使得销售利润最大，并求最大利润．

4．某工厂可以生产甲、乙两类产品，设甲、乙两种产品的年利润分别为、百万元，根据调查研究发现，年利润与前期投人资金百万元的关系分别为（其中，，都为常数），函数、的图象分别是、，如图所示，曲线、均过点．

（1）求函数、的解析式；

（2）若该工厂用于投资生产甲、乙产品共有5百万元资金，问：如何分配资金能使一年的总利润最大，最大总利润是多少万元？

5．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润销售额成本）；

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

当堂检测答案

一．解答题（共5小题）

1．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足．

（1）当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？

【分析】（1）当甲项目的投入为25万元时，则乙项目的投入为55万元，分别代入甲、乙的收益函数即可求出结果．

（2）由题意可知，当时，利用基本不等式求出的最大值，当时利用单调性求出的最大值，再比较两者取较大的即为总收益的最大值．

【解答】解：（1）当甲项目的投入为25万元时，则乙项目的投入为55万元，

甲乙两个项目的总收益为：（万元）．

（2）设甲项目的投入万元，则乙项目的投入万元，

由，解得，

甲城市收益，乙城市收益，

甲、乙两个项目的总收益为，

当时，，当且仅当即时，等号成立，

所以当时，取得最大值70万元，

当时，单调递减，

所以当时，取得最大值65万元，

因为，

故当时，取得最大值70万元．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．

2．盐田港与深汕港相距约，在两地连线之间距盐田港处拟再建一核电机组专给两港供电，为保证港区安全，核电机组距两港距离均不得少于，已知供电费用与供电距离的平方以及供电量之积成正比，比例系数．若盐田港供电量为20亿度月，深汕港为10亿度月．

（1）把月供电总费用表示成的函数，并写出其定义域．

（2）核电机组建在距盐田港多远，才能使供电费用最小．

【分析】（1）由题意可得盐田港月供电费用与深汕港月供电费用，得月供电总费用，整理即可，再由核电机组距两港距离均不得少于列式求解的范围，可得函数定义域；

（2）直接利用二次函数求最值．

【解答】解：（1）由题意，盐田港月供电费用为，

深汕港月供电费用．

月供电总费用为：，

核电站距盐田港，则距深汕港，

且，解得．

函数的定义域为．

（2）函数，

其图象是开口向上的抛物线，则当时，此函数取得最小值．

故核电机组建在距盐田港处时，能使供电费用最小．

【点评】本题考查了二次函数模型的应用，训练了二次函数最值的求法，是基础题．

3．数据显示，在线直播带货可为卖家赚取更多的利润，双十一活动将至，某猫平台利用带货直播优势邀请著名主播李某琪带货某农产品，助力脱贫攻坚，假设直播在线购买人数（单位：人）与某产品销售单价（单位：元）满足的关系式：，，其中为常数，当产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015人．

（1）求的值；

（2）假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，试确定销售单价，使得销售利润最大，并求最大利润．

【分析】（1）把，代入，即可求得值；

（2）由题意写出利润函数，再由配方法求最值．

【解答】解：（1）由，，

且当时，，

得，解得，

故；

（2）依题意可得利润

．

当时，取得最大值为10100元，

故销售单价元时，销售利润最大，最大利润为10100元．

【点评】本题考查函数模型的性质及应用，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是基础题．

4．某工厂可以生产甲、乙两类产品，设甲、乙两种产品的年利润分别为、百万元，根据调查研究发现，年利润与前期投人资金百万元的关系分别为（其中，，都为常数），函数、的图象分别是、，如图所示，曲线、均过点．

（1）求函数、的解析式；

（2）若该工厂用于投资生产甲、乙产品共有5百万元资金，问：如何分配资金能使一年的总利润最大，最大总利润是多少万元？

【分析】（1）分别把，代入，可得关于与的方程组，求得与的值，可得的解析式；把代入，求得的值，得到的解析式；

（2）结合（1）写出总利润，换元后利用配方法求最值．

【解答】解：（1）由函数的图象过点，，得，；

由函数的图象过点，，得，．

；

（2）设投资甲产品为百万元，则投资乙产品为百万元，，

则总利润，

设，

则，

当，即时，最大为．

即投资甲产品225万元，投资乙产品275万元，获得最大利润为105万元．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题．

5．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润销售额成本）；

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）根据2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润关于的解析式即可．

（2）根据（1）求出的利润的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取两者中较大的利润值，即为年企业最大利润．

【解答】解：（1）由题意可知，2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，

①当时，，

②当时，，

所以．

（2）①当时，，此时函数为开口向下的二次函数，

所以当时，取得最大值，最大值为（万元），

②当时，，

因为，所以，当且仅当即时，等号成立．

即当时，取得最大值（万元），

综上所述，当时，的值最大，最大值为8000（万元），

故当2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．