数学4.1 指数精品学案及答案

第三章 指数函数与对数函数

4.1指数

【课程标准】

1. 理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。
2. 掌握根式的性质
3. 掌握实数指数幂的运算性质，学会化简。

【知识要点归纳】

1. n次方根与n次根式

(1)a的n次方根的定义

一般地，如果     ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(2)a的n次方根的表示

(3)根式：式子na叫做根式，这里n叫做      ，a叫做被开方数．

2. 根式的性质

(1)＝   (n∈N*，且n>1)；

(2)＝    (n∈N*，且n>1)；

(3)＝a(n为大于1的奇数)；

(4)＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0，)(n为大于1的偶数)．

3. 分数指数幂

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(3)0的正分数指数幂等于  ,0的负分数指数幂     ．

4.有理数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

(1)aras＝    (a>0，r，s∈Q)；     (2)(ar)s＝    (a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝    (a>0，b>0，r∈Q)．

5.无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的      ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

【经典例题】

例1　根式的化简和运算：

例2 已知x∈[1,2]，化简

[跟踪训练] 2　设－3<x<3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．

根式化简与求值：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简.

注意：①正确区分(na)n与nan两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论.

例3　用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．

（3）

[跟踪训练]3 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：

(1)a2a；(2)a\r(a)；

(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.

例4　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.

(1)5a6；　  (2)13a2；  (3)4b3a2；　   (4)－a6

[跟踪训练] 4 把下列根式化成分数指数幂的形式(a>0，b>0)：

(1)423；(2)14（a3＋b3）2.

注意：(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.

(2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出.

例5 计算下列各式：

（1）     (2)

 [跟踪训练] 5 计算下列各式

(1)23×31.5×612；

(2)\a\vs4\al\co1(2\f(79))0.5＋0.1－2＋\a\vs4\al\co1(2\f(1027))－23－3π0＋3748；

(3)\rc\1\rc\12))6b3.

注意：进行指数幂运算时，有根式的，先将根式化成分数指数幂的形式，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．

例6  已知，求下列各式的值： (1)a＋a－1；   (2)a2＋a－2.

[跟踪训练] 6 （1）已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．

（2）已知67x＝27,603y＝81，求3x－4y的值．

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

2．若，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

3．已知，则　　

A． B． C． D．

4．化简，得　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

5．已知，化简：　　．

6．化简　　．

三．解答题（共1小题）

7．计算：

（1）；

（2）．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用幂的运算和根式的运算判定、、、的结论．

【解答】解：对于，故错误；

对于，故错误；

对于，故错误；

对于，故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：幂的运算，根式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

2．若，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】把等式左边变形为，结合，可得，则答案可求．

【解答】解：由，

可得，即．

实数的取值范围是．

故选：．

【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．

3．已知，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．

4．化简，得　　

A． B． C． D．

【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二．填空题（共2小题）

5．已知，化简：　1　．

【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．

【解答】解：原式，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算，是基础题．

6．化简　　．

【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．

【解答】解：原式．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算，是基础题．

三．解答题（共1小题）

7．计算：

（1）；

（2）．

【分析】根据有理数指数幂及根式混合运算法则计算即可．

【解答】解：（1）原式．

（2）原式

．

【点评】本题考查的是有理数指数幂及根式的运算，掌握有有理数指数幂及根式运算法则是解题的关键，属于基础题．