数学第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）优质第一课时学案

第四章 指数函数与对数函数

4.5.1函数的零点与方程的解

【课程标准】

1. 结合学过的函数图像，了解函数的零点与方程解的关系。
2. 结合具体连续的函数及其图像特点，了解函数零点存在性定理

【知识要点归纳】

1.函数的零点

(1)函数f(x)的零点是使f(x)＝0的__    __.

(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．

思考1：(1)函数的零点是点吗？

(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？

2.函数的零点存在定理

(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__    __，f(a)f(b)<0；

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．

思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?

3.一元二次函数根的分布问题

结合一元二次函数图像，主要从开口方向、对称轴、端点值、判别式四个角度列不等式

【经典例题】

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝－x2－4x－4；

(2)f(x)＝；

(3)；

(4)f(x)＝log3(x＋1)．

总结: 函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

(3)图象法：如果函数F(x)能够写成F（x）=g(x)-h(x)形式，则可以看做y=g(x)和y=h(x)图像交点的横坐标

[跟踪训练]1  (1)求下列函数的零点：

①f(x)＝x2－2x－3零点为__ _；

②g(x)＝lgx＋2零点为__ __.

(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝__ __.

判断零点所在的区间

例2 f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　 　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

[跟踪训练]2  函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　 　)

A．(－2，－1)　　 B．(－1,0)

C．(0,1)　　 D．(1,2)

总结：利用零点的存在性定理，看区间端点值是否异号

函数零点个数的判断

例3 函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，则(　 　)

A．x1<2,2<x2<5 B．x1>2且x2>5

C．x1<2，x2>5 D．2<x1<5，x2>5

[跟踪训练]3  若x0是方程()x＝x的根，则x0属于区间( 　)

A．(，1) B．(，)

C．(，) D．(0，)

一元二次方程根的分布问题

例4 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；

(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．

[跟踪训练]4  函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．

【当堂检测】

一．选择题（共6小题）

1．已知函数，那么方程的解是　　

A． B． C． D．或

2．已知函数，若，则实数　　

A．1 B． C． D．

3．函数的零点所在的区间是　　

A． B． C． D．

4．函数的零点所在的区间是　　

A． B．， C．， D．，

5．已知方程有两个不相等的实数根，且都大于2，则实数的取值范围是　　

A．，， B． 

C． D．，，

6．若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则的取值范围是　　

A． B．， 

C． D．，，

二．填空题（共3小题）

7．设，若关于的方程有一个正根、一个负根，则的取值范围是　　．

8．若函数有3个零点，则实数的取值范围是　　．

9．函数的零点所在区间为，，则　　．

三．解答题（共2小题）

10．已知函数．

（Ⅰ）设，用定义证明：函数在上是增函数；

（Ⅱ）若函数，且在区间上有零点，求实数的取值范围．

11．已知函数．

（1）当时，求证：；

（2）讨论函数的零点的个数．

当堂检测答案

一．选择题（共6小题）

1．已知函数，那么方程的解是　　

A． B． C． D．或

【分析】根据题意，由函数的解析式可得，解可得的值，即可得答案．

【解答】解：函数，方程即，变形可得，解可得，

故选：．

【点评】本题考查对数的运算的运算性质，涉及函数的解析式，属于基础题．

2．已知函数，若，则实数　　

A．1 B． C． D．

【分析】结合已知分段函数的解析式，然后对进行分类讨论，求出的解析式，进而可求．

【解答】解：当，；

当，；

当，，

此时．

故选：．

【点评】本题主要考查了分段函数的应用，体现了分类讨论思想的应用．

3．函数的零点所在的区间是　　

A． B． C． D．

【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可．

【解答】解：函数是连续函数，

，

（1）

时，（2），

（1）（2），

由零点判定定理可知函数的零点在．

因为，，，函数的零点所在的区间是，

故选：．

【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．

4．函数的零点所在的区间是　　

A． B．， C．， D．，

【分析】连续函数在上单调递增，推出，，根据函数的零点的判定定理可求．

【解答】解：连续函数在上单调递增，

，

，

，

的零点所在的区间为，，

故选：．

【点评】本题主要考查了函数零点的定义及判定定理的应用，属于中档题．

5．已知方程有两个不相等的实数根，且都大于2，则实数的取值范围是　　

A．，， B． 

C． D．，，

【分析】利用二次函数根的分布求解即可．

【解答】解：令，

则由已知可得函数与轴有两个不同的交点，且都在2的右侧，

如图所示：

由图可得：，解得：，

故的取值范围为：，

故选：．

【点评】本题考查了二次函数根的分布问题，涉及到数形结合思想，属于基础题．

6．若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则的取值范围是　　

A． B．， 

C． D．，，

【分析】令，则由题意利用二次函数的性质，求得实数的取值范围．

【解答】解：令，

由题意，可得，

即，所以，

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了函数思想，属于基础题．

二．填空题（共3小题）

7．设，若关于的方程有一个正根、一个负根，则的取值范围是　　．

【分析】根据二次的性质可得，必有，且△，即可求解的取值范围．

【解答】解：令，由方程有一个正根、一个负根，

则，

即，

解得，

故答案为．

【点评】本题考查二次函数与方程的关系的应用，考查计算能力．属于基础题．

8．若函数有3个零点，则实数的取值范围是　，　．

【分析】由题意，当，有2个零点2和4，故当时，只有1个零点，数形结合，求得的范围．

【解答】解：函数，当，由，求得，或，

故当，有2个零点2和4．

故当时，只有1个零点．

故 的图象和直线有且只有一个交点．

做出函数的图象，如图：在，上单调递减，在，上单调递增，

当时，取得最小值1，时，，

故，或，

故答案为：，，

【点评】本题主要考查函数的零点，函数的图象特征，属于中档题．

9．函数的零点所在区间为，，则　2　．

【分析】由函数的解析式可得（2）（3），根据函数零点的判定定理可得 函数的零点所在的区间是，由此可得．

【解答】解：函数的零点所在的区间是，且为整数，（2），（3），

（2）（3），根据函数零点的判定定理可得，

函数的零点所在的区间是，

故，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．

三．解答题（共2小题）

10．已知函数．

（Ⅰ）设，用定义证明：函数在上是增函数；

（Ⅱ）若函数，且在区间上有零点，求实数的取值范围．

【分析】（Ⅰ）将整理为，取，验证即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，则也单调递增，故要满足条件则需（3），（5），解之即可

【解答】解：（Ⅰ）由题意得．

任取，则，

因为，所以，，，

所以，

所以函数在上是增函数．

（Ⅱ）由题意的定义域为，，．

由（Ⅰ）知，在上单调递增，

所以在上单调递增．

因为在区间上有零点，

所以

所以．

【点评】本题考查函数单调性的证明，考查函数的零点所需条件，属于中档题．

11．已知函数．

（1）当时，求证：；

（2）讨论函数的零点的个数．

【分析】（1）当时，求出函数以及函数，研究的单调性和极值，利用最值问题进行求解．

（2）求出函数的导数，讨论的取值范围以及函数单调性以及极值关系，根据极值和函数零点的关系进行讨论求解即可．

【解答】（1）证明：当时，，则．（1分）

由，得．

当时，；

当时，，

所以函数在区间内是减函数．在区间内是增函数，（3分）

所以是的极小值点，也是最小值点．最小值，

故当时．恒成立．（5分）

（2）解：据题意，得．．

①当时，恒成立．则函数在上是减函数．

又，所以函数有且只有一个零点．（6分）

②当时．由，得．

当时，；

当时，，

所以在区间内是减函数，在区间，内是增函数．

所以是函数的极小值点，也是最小值点，

即．（7分）

令，，

则，

当时，；

当时，；

当时，，

所以函数在区间内是增函数，在区间内是减函数，

从而是函数的极大值点．也是最大值点，所以（1），

即（当且仅当时取等号）（9分）

当，即时，函数只有一个零点（10分）

当，即，且时，分和两种情况讨论：

当时，，

因为，所以在区间内有一个零点；

又，因此有两个零点．

当时，；

由（1），得．即，亦即．

令．则得，即，

所以，

所以在区间，内有一个等点．

又，

因此函数有两个零点．

由和，得当或时，函数有两个零点．

综上，当或时，函数只有一个零点；

当．且时，函数有两个零点．（12分）

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求的导数，研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．