高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀学案设计，共9页。学案主要包含了课程标准，知识要点归纳，经典例题，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
第五章 三角函数5.1任意角和弧度制第2课时弧度制【课程标准】了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。掌握并能熟练运用弧长公式和扇形面积公式。【知识要点归纳】1．角度制：用度作为单位度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的2.．弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.单位圆：半径为1的圆叫做单位圆4．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)5．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.注解：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.   【经典例题】例1．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。        【解析】（1）如下图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即，而rad，∴所求集合为。（2）如上图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即，而rad，∴所求集合为。例2．设角，，，。（1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）将，用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角。       【解析】（1），。所以在第二象限，在第一象限。（2），设=k·360°+（k∈Z），因为－720°≤＜0°，所以－720°≤k·360°+108°＜0，解得k=―2或k=―1，所以在―720°～0°间与有相同终边的角是―612°和―252°。同理=―420°，在―720°～0°间与有相同终边的角是－60°。例3．已知一扇形的圆心角为（＞0），所在圆的半径为R．（1）若=60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该扇形的面积；（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？       【解析】（1）设弧长为l，弓形面积为S，则，R=10，（cm），设扇形面积为S， （2）设扇形的半径为R，弧为为l，则l+2R=20，即l=20－2R，（0＜R＜10）．∴扇形的面积．∴当R=5 cm时，S有最大值25 cm2，此时l=10 cm，．因此，当=2 rad时，扇形的面积取最大值【变式1】扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦AB的长。   【解析】设长为cm，扇形半径为R cm，则由题意，得，解得  或  （不合题意，舍去）。∴（rad）。∴弦（cm）。【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．　　A． B． C． D．2．化成弧度是　　A． B． C． D．3．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长是　　A． B． C． D．4．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为　　A． B． C． D．二．填空题（共2小题）5．已知扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为　　．6．已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为　　．三．解答题（共2小题）7．已知扇形的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．8．已知扇形的圆心角为，半径为．（1）若，，求圆心角所对的弧长．（2）若扇形的周长是，面积是，求和．
当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．　　A． B． C． D．【分析】利用弧度，1弧度即可求得答案．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了弧度和角度的互化，考查了转化思想，属于基础题．2．化成弧度是　　A． B． C． D．【分析】根据，计算即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查了弧度与角度的计算问题，是基础题．3．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长是　　A． B． C． D．【分析】连接圆心与弦的中点，可得半弦长，，解得半径为2，代入弧长公式求弧长即可．【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由题意可得，，，在中，半径，由弧长公式可得所求弧长．故选：．【点评】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属基础题．4．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为　　A． B． C． D．【分析】由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，由已知利用扇形的面积公式，三角形的面积公式可求弓形的面积，由于外侧的圆弧以为直径，可求半圆的面积，即可求解月牙形的面积．【解答】解：由已知可得，的外接圆半径为1，由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，则弓形的面积为，外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，则月牙形的面积为．故选：．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，三角形的面积公式的综合应用，考查了数形结合扇形和转化思想，属于中档题．二．填空题（共2小题）5．已知扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为　1　．【分析】利用扇形的弧长公式、面积公式，即可得出结论．【解答】解：扇形的圆心角为2弧度，半径为，扇形的弧长，扇形的面积为．故答案为：1．【点评】本题考查扇形的弧长公式、面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．6．已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为　　．【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解．【解答】解：由弧长公式可得．故答案为：【点评】本题主要考查了弧长公式的简单应用，属于基础试题．三．解答题（共2小题）7．已知扇形的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．【分析】设扇形的半径为，中心角为，则．，．（1）由题意可得：，又．联立解得．（2），利用基本不等式的性质、直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：设扇形的半径为，中心角为，则．，．（1）由题意可得：，又．联立解得或．（2），当且仅当．．．【点评】本题考查了弧长公式、扇形计算公式、直角三角形的边角关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于较易题．8．已知扇形的圆心角为，半径为．（1）若，，求圆心角所对的弧长．（2）若扇形的周长是，面积是，求和．【分析】（1）利用弧长公式即可得出．（2）由题意可得：，，联立解得即可得出．【解答】解：（1），弧长．（2）由题意可得：，，联立解得．【点评】本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题