人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优质学案

第五章 三角函数

5.5三角恒等变换

第2课时 简单的三角恒等变换

【课程标准】

1. 能用二倍角公式导出半角公式，并能进行简单运算
2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法
3. 掌握三角恒等变换在三角函数图像及性质中的应用

【知识要点归纳】

1.升（降）幂缩（扩）角公式

升幂公式：， 

降幂公式：，

注意：

利用二倍角公式的等价变形：，

2.辅助角公式

形如的三角函数式的变形：

=

令，则

==

（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，

或由和共同确定．）

3.半角公式(以下公式只要求会推导，不要求记忆)

，   ，

以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．

；

以上两个公式称作半角正切的有理式表示．

4.积化和差公式

注意：

规律1：公式右边中括号前的系数都有．

规律2：中括号中前后两项的角分别为和．

规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．

5.和差化积公式

【经典例题】

例1．化简：（是第一象限角）．

【解析】原式

          ．

【变式1】化简．

【解析】∵，∴cos＞0，则由半角公式得，

∴原式，又，∴，

从而．即原式=．

例2．已知，且，则sinx+cosx=________．

【答案】【解析】∵，∴，则

又，∴，解得，

则．

例3．已知，求：

（1）的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

（2）的单调区间．

\

【解析】（1）=

由，时，即时，．

（2），即，是单增函数．

，即，是单减函数．

【变式1】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（    ）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称      B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称      D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

【答案】D【解析】由题意知的图象关于对称，∴。

∴a=－b，，∴。

∴为奇函数且其图象关于（π，0）对称

【变式2】设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，求sinA.

【解析】（1）f(x)=cos(2x+)+sinx=

所以函数f(x)的最大值为，最小正周期.

（2）f()==－，所以，

所以，所以，所以sinA =cosB=.

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．　　

A．1 B． C． D．

2．计算：　　

A． B． C． D．

3．已知，且，则　　

A． B． C．或1 D．或1

4．　　

A． B．1 C． D．

二．填空题（共2小题）

5．已知函数对任意都有，则　　．

6．函数的图象过点，，则的值域为　　．

三．解答题（共3小题）

7．已知．

（1）求的值；

（2）已知，，且，求的值．

8．（1）求值：；

（2）已知是第二象限角，化简．

9．化简求值：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

课堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．　　

A．1 B． C． D．

【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求值得解．

【解答】解：

．

故选：．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及三角函数化简求值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

2．计算：　　

A． B． C． D．

【分析】由已知利用平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题主要考查了平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

3．已知，且，则　　

A． B． C．或1 D．或1

【分析】由已知可求可得，，利用二倍角公式化简已知等式可得，分类讨论即可求解．

【解答】解：，

可得，，

，

，

当时，可得；

当时，可得，可得，解得；

综上，，或．

故选：．

【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属于基础题．

4．　　

A． B．1 C． D．

【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．

【解答】解：

．

故选：．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

二．填空题（共2小题）

5．已知函数对任意都有，则　0　．

【分析】由题意令，代入中，即可求得的值．

【解答】解：由函数对任意都有，

所以，

即，

所以，

解得．

故答案为：0．

【点评】本题考查了三角函数求值的应用问题，是基础题．

6．函数的图象过点，，则的值域为　，　．

【分析】由函数的解析式，代入点，的坐标，解得的值，从而可求函数的解析式．

【解答】解：由题意可得，

可得，

所以，

所以，，即的值域为，．

故答案为：，．

【点评】本题主要考查了正弦函数的性质，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．

三．解答题（共3小题）

7．已知．

（1）求的值；

（2）已知，，且，求的值．

【分析】（1）利用已知化简可得的值，然后把所求的关系式化弦为切，代入正切值即可求解；

（2）利用已知可求出的值，然后再求出的值，根据，的取值范围即可求解．

【解答】解：（1）由已知可得，则，

所以；

（2）由，可得，

则，

因为，所以，又，

则，

因为，，则，

则，

所以．

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及化简，考查了学生的运算能力，属于基础题．

8．（1）求值：；

（2）已知是第二象限角，化简．

【分析】（1）利用诱导公式及和差角公式化简求值即可；

（2）利用平方关系及绝对值的性质化简即可．

【解答】解：（1）

；

（2）是第二象限角，

，，

原式．

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，涉及了诱导公式，和差角公式，平方关系等知识点的运用，考查化简变形能力，属于基础题．

9．化简求值：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦函数公式化简即可求解；

（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）

．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．