2020年北京市海淀区高三一模数学试题（含答案）

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第一部分(选择题共40分)
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 在复平面内,复数对应点位于
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知集合，，则集合可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线离心率为则b的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在展开式中，常数项为（ ）
A. B. 120C. D. 160
6. 如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆时，圆与直线相切于点B，点A运动到点，线段AB的长度为则点到直线的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
7. 已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1，2)内单调递减，则m的取值范围为（ ）
A. [-1，+∞)B. (-∞，-1]C. [-2，+∞)D. (-∞，-2]
8. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）
A. B. C. D.
9. 若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）
(参考数据: lg2≈0.3010 )
A. 9B. 10C. 11D. 12
第二部分(非选择题共110分)
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知点P(1，2)在抛物线C上，则抛物线C的准线方程为___.
12. 在等差数列中，，则数列的前4项的和为___.
13. 已知非零向量 满足，则=__.
14. 在△ABC中，，点D在边BC上，CD=2，则AD=___；△ACD的面积为____.
15. 如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是____.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱中，AB⊥平面，点E为的中点.
(I)求证：平面ABC；
(II)求二面角的大小.
17. 已知函数.
(I)求f(0)的值；
(II)从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.
18. 科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).
(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；
(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.
19. 已知函数.
(I)当a=-1时，
①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②求函数f(x)的最小值；
(II)求证:当时，曲线与有且只有一个交点.
20. 已知椭圆C：的离心率为，的面积为2.
(I)求椭圆C的方程；
(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.
21. 已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得任意的成立，则称数列具有性质.
（1）分别判断下列数列否具有性质； (直接写出结论)
①
②
（2）若数列满足，求证:“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；
（3）已知数列中且.若数列具有性质，求数列的通项公式.