初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试同步测试题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试同步测试题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.（2020七下·上海期末）下列方程中，一元二次方程有（ ）
① 3x2+x=20−3x(x+1) ；② 2x2−3xy+4=0 ；③ x2+1x=2x ；④ x2=1 ；⑤ x2−x3−8=0 ．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.（2020九上·苏州期中）已知 2−3 是一元二次方程 x2−4x+c=0 的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A. 3 B. 3−2 C. 2−3 D. 2+3
3.下列各数中，是方程x2﹣（1+5）x+5=0的解的有（ ）
①1+5；②1﹣5；③1；④﹣5
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.（2020九上·迁安月考）将方程 2x2+8x+7=0 配方后，得新方程为（ ）
A. (2x+2)2−3=0 B. (2x+2)2+3=0 C. (x+2)2−12=0 D. (x+1)2−12=0
5.（2019九上·平定月考）张老师出示方程 x2－4=0，四位同学给出了以下答案：小丽：x=2 ；子航：x=﹣2；一帆：x1=2，x2=﹣2 ；萱萱：x =±4．你认为谁的答案符合题意？你的选择是（ ）
A. 小丽 B. 子航 C. 一帆 D. 萱萱
6.（2020九上·湖里月考）方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（ ）
A. x1＝﹣2，x2＝1 B. x1＝﹣4，x2＝﹣1 C. x1＝0，x2＝3 D. x1＝x2＝﹣2
7.（2020·晋中模拟）关于x的一元二次方程 ax2﹣3x﹣a=0 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
8.（2020九上·建水期末）若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A. a=1 B. a=-1 C. a=±1 D. a=0
9.（2019九上·富顺月考）对于两个不相等的实数 a,b ，我们规定符号 max{a,b} 表示 a,b 中较大的数，如 max{2,4}=4 ,按这个规定，方程 max{x,−x}=2x+1x 的解为 ( )
A. 1-2 B. 2-2 C. 1-2或1+2 D. 1+2 或-1
二、填空题
10.（2020九上·防城港期末）关于 x 的方程 x2+kx+2=0 的一个根是1，则方程的另一个根是________．
11.（2019八下·瑶海期末）若a是方程x2-2x-1=0的解，则代数式2a2-4a+2019的值为________．
12.（2020八下·杭州期中）已知一元二次方程2x²+bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，则b=________，c=________。
13.（2021七下·江阴期中）已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2014= .
14.（2020九上·姜堰期中）若 x=−1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b=0 的解，则 2a−4b ＝ .
15.已知若分式x2−2x−3x+1的值为0，则x的值为 ．
16.（2021·福建模拟）已知直线 y=kx+4(k<0) 交双曲线 y=mx(m>0) 于 A(x1,y1) ， B(x2,y2) (x1三、解答题
17.（2020九上·台州月考）求证：一元二次方程x2+mx-（m+2）=0必有两个不相等的实数根。

18.（2021九上·汉阳月考）小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一短线段（比如AC）与另一长线段（比如BC）之比，如果正好等于另一长线段（比如BC）同整个线段（AB）的比（即 BC2=AC⋅AB ），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”.
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取 2 ＝1.4， 3 ＝1.7， 5 ＝2.2）
19.阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2 ， 于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
20.（2020九上·商河月考）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？
21.（2019九上·虎林期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= kx （k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22.（2019八下·大庆期中）阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】① 3x2+x=20−3x(x+1) 整理后为4x=20，故不符合定义；
② 2x2−3xy+4=0 ，不符合定义；
③ x2+1x=2x ，不符合定义；
④ x2=1 ，符合定义；
⑤ x2−x3−8=0 ，符合定义；
故答案为：B.

【分析】根据一元二次方程的定义逐项判定即可。
2.【答案】 D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程的另一根为x1 ， 又∵x＝ 2−3 ，
由根与系数关系，得x1＋ 2−3 ＝4，解得x1＝ 2+3 .
故答案为：D.
【分析】设方程的另一根为x1 ， 根据根与系数的关系可得x1＋2−3＝4，求解可得x1的值.
3.【答案】 B
【考点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：a=1，b=﹣（1+5），c=5
△=（1+5）2﹣45=（1﹣5）2＞0
∴x=1+5±1−52
∴x1=1，x2=5 ， 所以四个选项中，是方程的解的只有一个1，故选B．
【分析】利用公式法即可求得方程的解．
4.【答案】 C
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：2x2+8x+7=0，
2x2+8x=-7，
x2+4x=- 72 ，
x2+4x+4=- 72 +4，
（x+2）2= 12 ，
（x+2）2- 12 =0，
故答案为：C．
【分析】移先，配方，即可得出选项．
5.【答案】 C
【考点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】移项：x2=4，
解得：x=±2，
故答案为：C.
【分析】直接解出一元二次方程即可解答.
6.【答案】 B
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 ∵ 方程a(x+m)2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴ 方程a(x+m+2)2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：B．
【分析】根据方程a(x+m)2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，可知方程a(x+m+2)2+b＝0的解比方程a(x+m)2+b＝0的解小2，从而可以得到方程a(x+m+2)2+b＝0的解．
7.【答案】 A
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为方程ax2﹣3x﹣a=0是一元二次方程，所以a≠0，
则 Δ=(−3)2−4a(-a)=9+4a2>0 ，
所以方程ax2﹣3x﹣a=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】判断一元二次方程根的情况，通常先求出根的判别式“Δ”，再根据其符号进行判断.
8.【答案】 A
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程的根
【解析】【解答】解：依题意得：|a|−1＝0且a+1≠0，
解得a＝1．
故答案为：A．
【分析】将x=0代入方程可得|a|−1＝0，根据一元二次方程的定义可得a+1≠0，据此解答即可.
9.【答案】 D
【考点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 x<−x ，即 x<0 时，所求方程变形为 −x=2x+1x ，
去分母得： x2+2x+1=0 ，即 （x+1）2=0 ,
解得： x1=x2=−1，
经检验 x=−1 是分式方程的解；
当 x>−x ，即 x>0 时，所求方程变形为 x=2x+1x ，
去分母得： x2−2x−1=0， 代入公式得： x=2±222=1±2 ，
解得： x3=1+2，x4=1−2 （舍去），
经检验 x=1+2 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 1+2 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 x<−x 和 x>−x 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
二、填空题
10.【答案】 x=2
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x1 ，
∵方程 x2+kx+2=0 的一个根是1，
∴x1·1=2，即x1=2，
故答案为：2．
【分析】由一元二次方程根与系数的乘积关系式把1代入，即可求得 方程的另一个根 .
11.【答案】 2021
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是方程x2-2x-1=0的一个解，
∴a2-2a=1，
则2a2-4a+2019=2（a2-2a）+2019=2×1+2019=2021；
故答案为：2021．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入已知方程，即可求得a2-2a=1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
12.【答案】 -6；4
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x²+bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，
∴x1+x2=−b2=3，x1x2=2=c2
解之 ：b=-6，c=4.
故答案为：-6，4.
【分析】利用一元二次方程根与系数，根据两根之和为3，两根之积为2，建立关于a，b的方程，解方程求出a，b的值。
13.【答案】 2015
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】∵m2+m﹣1=0，
∴m2+m=1，
∴m3+2m2+2014
=m（m2+m）+m2+2014
=m2+m+2014
=1+2014
=2015.
故答案为2015.

【分析】根据降次可得m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014，根据m2+m﹣1=0可得m2+m=1，代入可得结果.
14.【答案】 2
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由 x=−1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b=0 的解，可得：
1−a+2b=0 ，
∴ a−2b=1 ，
∴ 2a−4b=2(a−2b)=2 ；
故答案为：2.
【分析】将x=-1代入方程中可得1-a+2b=0，求出a-2b的值，将待求式变形为2(a-2b)，据此计算.
15.【答案】 3
【考点】分式的值为零的条件，因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵分式x2−2x−3x+1的值为0，
∴
解得x=3，
即x的值为3．
故答案为：3．
【分析】首先根据分式值为零的条件​；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出x的值为多少即可．
16.【答案】 -3
【考点】一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵直线 y=kx+4 交双曲线 y=mx 于A， B 两点，
∴联立 {y=kx+4y=m4 ，可得 kx2+4x−m=0 ，
∴ x1+x2=−4k ， x1⋅x2=−mk .
如图，分别过点A， B 作 AD ， BE⊥x 轴于点 D ， E ，
∴ AD//BE .
∵直线 y=kx+4 交 x 轴于点 C ，
∴点 C 的坐标为 (−4k,0) ，
∵ AB=2BC ，
∴ DEEC=ABBC=2 ，
∴ DE=2EC ，
∴ x2−x1=2(−4k−x2)=2(x1+x2−x2)=2x1 ，
∴ x2=3x1 ，
∴ x1+3x1=−4k ，
∴ x1=−1k ， x2=−3k .
∵ x1⋅x2=−mk ，
∴ (−1k)⋅(−3k)=−mk ，
即 3k2=−mk ，
∴ mk=−3 ，
故答案为：-3.
【分析】联立直线与双曲线的解析式可得kx2+4x-m=0，由根与系数的关系可得x1+x2 ， x1·x2 ， 分别过点A、B作AD⊥x，BE⊥x轴于点D、E，易得C（−4k ， 0），根据AB=2BC可得DE=2EC，进而得到x2=3x1 ， 然后结合x1+x2 ， x1·x2进行求解即可得到mk的值.
三、解答题
17.【答案】 证明：∵b2-4ac=m2+4（m+2）=（m+2）2+4
当m取任意实数时（m+2）2≥0
∴（m+2）2+4＞0
∴此方程有两个不相等的实数根.
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先求出b2-4ac，再将其转化为（m+2）2+4，再利用平方的非负性进行说明即可。
18.【答案】 解：设 AC=xm ，则 BC=AB−AC=(20−x)m ，
∴由题意得：当 BC2=AC⋅AB 即 (20−x)2=20x ，
∴ x2−60x+400=0 ，
解得 x1=30−105 ， x2=30+105 （舍去），
∴此时主持人从A点到B点走 30−10×2.2=8m ，
当 AC2=BC⋅AB 即 x2=20(20−x) ，
∴ x2+20x−400=0 ，
解得 x3=105−10 ， x4=10+105 （舍去），
∴此时主持人从A点到B点走 10×2.2−10=12m ，
∴综上所述，主持人从A点到B点走8m或12m时他的站台最得体.
答：主持人从A点到B点走8m或12m时他的站台最得体.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设AC=xm，则BC=(20-x)m，当BC2=AC·AB时，代入求解可得x，进而可得主持人从A点到B点走的距离；当AC2=BC·AB时，同理可得主持人从A点到B点走的距离，据此解答.
19.【答案】 解：y=x2+x，则由原方程，得
y2﹣4y﹣12=0，
整理，得
（y﹣6）（y+2）=0，
解得y=6或y=﹣2，
当y=6时，x2+x=6，即（x+3）（x﹣2）=0，
解得x1=﹣3，x2=2．
当y=﹣2时，x2+x=﹣2，即x2+x+2=0，该方程无解．
综上所述，该方程的解为：x1=﹣3，x2=2．
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】设y=x2+x，将原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解方程求得y即x2+x的值，然后再来解关于x的一元二次方程．
20.【答案】 解：设运动x秒时，它们相距15cm，则BP=xcm，BQ=（21-x）cm，依题意有
x2+（21-x）2=152 ，
解得x1=9，x2=12．
故运动9秒或12秒时，它们相距15cm
【考点】一元二次方程的应用，矩形的性质
【解析】【分析】可设运动x秒时，它们相距15cm，根据题意表示出BP，BQ的长，再根据勾股定理列出方程求解即可．
21.【答案】 （1）解：x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，
∴x1=1，x2=2，
∵OA＞OC，
∴OA=2，OC=1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）
（2）解：将C（1，0）代入y=﹣x+b中，
得：0=﹣1+b，解得：b=1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
将点E（﹣1，2）代入y= kx （k≠0）中，得：2= k−1 ，
解得：k=﹣2．
（3）解：假设存在，
设点M的坐标为（m，﹣m+1），
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，
∴B（0，4），
∴BE= 12 AB= 1222+42=5 ．
∵四边形BEMN为菱形，
∴EM= (m+1)2+(−m+1−2)2 =BE= 5 ，
解得：m1= −2−52 ，m2= −2+52
∴M（ −2−52 ，2+ 52 ）或（ −2+52 ，2﹣ 52 ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（﹣ 52 ，4+ 52 ）或（ 52 ，4﹣ 52 ）；
②以线段BE为对角线时，MB=ME，
∴ (m+1)2+(−m+1−2)2=m2+(−m+1−4)2 ，
解得：m3=﹣ 72 ，
∴M（﹣ 72 ， 92 ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（0﹣1+ 72 ，4+2﹣ 92 ），即（ 52 ， 32 ）．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣ 52 ，4+ 52 ）、（ 52 ，4﹣ 52 ）或（ 52 ， 32 ）
【考点】因式分解法解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质
【解析】【分析】（1）通过解方程x2﹣3x+2=0，可得OA、OC的长，再结合A、C两点的位置即可写出A、C坐标；
（2）根据（1）中C的坐标可求出直线CD解析式，再根据线段AB两端点的横坐标可知中点E的横坐标，结合直线CD的解析式即可求出点E坐标，从而求出反比例函数中的k值；
（3）设出点M的坐标，分线段BE是菱形边和对角线两种情况，利用菱形的四边都相等及对角线垂直平分的性质，借助两点间距离公式即可列方程求解。
22.【答案】 解：当x﹣1≥0即 x≥1时，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
∵x≥1，∴x＝1；
当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1
∵x＜1，∴x＝﹣2，
∴原方程的根为x1＝1，x2＝﹣2．
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，即为|x﹣1|的值，利用绝对值的代数意义即可求出x的值，即为原方程的解．