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专题突破1 运动图像 追及与相遇问题课件PPT
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这是一份专题突破1 运动图像 追及与相遇问题课件PPT，共49页。
一、匀变速直线运动的图像
1.直线运动的x-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体 位移 随 时间 变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的绝对值:表示物体速度的 大小 。②斜率的正负:表示物体速度的 方向 。
(3)两种特殊的x-t图像
①若x-t图像是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于 静止 状态。(如 图中甲所示)②若x-t图像是一条倾斜的直线,说明物体在做 匀速直线 运动。(如图中 乙所示)
2.直线运动的v-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体 速度 随 时间 变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的绝对值:表示物体 加速度 的大小。②斜率的正负:表示物体 加速度 的方向。(3)两种特殊的v-t图像
①匀速直线运动的v-t图像是与横轴 平行 的直线。(如图中甲所示)②匀变速直线运动的v-t图像是一条 倾斜 的直线。(如图中乙所示)(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义①图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的 位移 。②若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为 正方向 ;若此 面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为 负方向 。注意 x-t图像与v-t图像不是物体的运动轨迹,反映了物体位移或速度随时间 变化的规律。
1.追及问题的两类情况(1)按结果分类①若后者能追上前者,追上时,两者处于 同一 位置,且后者速度一定不小 于前者速度。②若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度 相等 时,两者相距最近。(2)按初始条件分类①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题:速度大者减速(如匀减速直线运动) 追速度小者(如匀速直线运动)。
a.若两者速度相等时,追者位移仍小于被追者位移与s0之和,则永远追不上,此时两者间有最小距离。b.若两者相遇时,速度也相等,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。c.若两者相遇时,追者速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者 的机会,其间速度相等时两者间距有一个极大值。②从同一地点出发开始同向运动的问题:速度小者加速(如初速度为零的匀 加速直线运动)追速度大者(如匀速直线运动)。a.当两者速度相等时两者间有最大距离。b.两者位移相等时,则追上。
2.相遇问题(1)同向运动的两物体追上即相遇,两物体位移大小 之差 等于开始时两物 体间距。(2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和 等于 开始时两物体的距 离时即相遇。注意 追及、相遇问题中速度相等是追上或追不上、距离最大或最小的转 折点,应该注意。
1.判断下列说法对错。(1)x-t图像表示物体的运动轨迹。 ( )(2)x-t图像和v-t图像都不能描述曲线运动。 ( )(3)v-t图像上两图线的交点表示两物体速度相等,不代表相遇。 ( )(4)两物体同向运动恰好不相碰,则此时两物体速度相等。 ( )(5)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小、匀速运动的汽车相 撞。 ( )(6)两个物体在追及过程中,物体之间的距离总是逐渐变小。 ( )
2.(多选)(新人教版必修第一册P18·T5改编)一辆汽车在教练场上沿着平直道 路行驶,以x表示它对于出发点的位移。图为汽车在t=0到t=40 s这段时间的x-t 图像。下列分析正确的是 ( )
A.汽车离出发点最远的距离为30 mB.汽车在10~20 s内匀速运动C.汽车在40 s末回到出发点D.汽车在20~40 s内加速度大小为1.5 m/s2
3.(2020广东湛江模拟)某同学在开展研究性学习的过程中,利用速度传感器 研究某一物体以1 m/s的初速度做直线运动的速度v随时间t变化的规律,并在 计算机上得到了前4 s内物体速度随时间变化的关系图像,如图所示。则下列 说法正确的是 ( )
A.物体在1 s末速度方向改变B.物体在3 s末加速度方向改变C.前4 s内物体的最大位移出现在第3 s末,大小为3.5 mD.物体在第2 s末与第4 s末的速度相同
4.平直公路上的甲车以10 m/s的速度做匀速直线运动,乙车静止在路面上,当 甲车经过乙车旁边时,乙车立即以大小为1 m/s2的加速度沿相同方向做匀加 速运动,从乙车加速开始计时,则 ( )A.乙车追上甲车所用的时间为10 sB.乙车追上甲车所用的时间为20 sC.乙追上甲时,乙的速度是15 m/sD.乙追上甲时,乙的速度是10 m/s
考点一 运动图像的理解及应用
1.应用运动图像的三点注意(1)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。(2)x-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。(3)x-t图像和v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2.应用运动图像解题“六看”
例1 (多选)如图所示为一质点做直线运动的速度-时间图像,下列说法中正 确的是 ( )
A.整个过程中,CD段和DE段的加速度相同B.整个过程中,BC段的加速度最大C.整个过程中,C点对应时刻离出发点最远D.BC段对应时间运动的路程是34 m
审题关键 (1)0~22 s内,质点的运动方向是否发生变化?什么时刻离出发点最 远?提示:当图线过时间轴时质点运动方向发生改变,t=20 s时图线过时间轴,即速 度方向发生了改变。t=20 s时离出发点最远。(2)v-t图像中图线与时间轴所围的“面积”的含义是什么?提示:v-t图像中图线与时间轴所围的“面积”表示位移。
解析 v-t图像的斜率表示加速度,由图知CD段和DE段在同一直线CE上, 斜率相同,故CD段和DE段加速度相同,A正确;由题图知,整个过程中CE段斜 率绝对值最大,加速度最大,B错误;t=20 s时速度方向改变,所以D点所表示的 状态离出发点最远,C错误;BC段和时间轴围成的面积为34 m,D正确。
解题感悟用速度-时间图像巧得五个运动量(1)运动速度:从速度轴上直接读出,负值表示反向运动。(2)运动时间:从时间轴上直接读出。(3)运动加速度:从图线的斜率得到加速度,斜率的绝对值表示加速度的大小, 斜率的正负反映了加速度的方向。例题中BC段加速度与CD段加速度方向 相反。
(4)运动的位移:从图线与时间轴围成的面积得到位移,图线与时间轴围成的 面积表示位移的大小,横轴以上为“+”值,横轴以下为“-”值,整个过程的位移是它们的代数和,如CD段的位移为正值,DE段为负值,CE段的总位移为0。(5)运动的路程:因为路程是标量。路程是图线与时间轴围成的面积的绝对值 的和。
例2 (多选)(2020山东济宁模拟)甲、乙两质点同时同地在外力的作用下做 匀变速直线运动,其运动的 -t图像如图所示。关于甲、乙两质点的运动情况,下列说法中正确的是 ( )
A.乙质点做初速度为c的匀加速直线运动B.甲质点做加速度大小为 的匀加速直线运动C.t= 时,甲、乙两质点速度大小相等D.t= 时,甲、乙两质点速度大小相等
解析 根据匀变速直线运动的位移时间公式x=v0t+ at2得: =v0+ at,对于乙质点,由图可知, =c, a乙=- ,乙的加速度为a乙=- ,故乙质点做初速度为c、加速度为- 的匀减速直线运动,故A错误;对于甲质点,由图可知, =0, a甲= ,甲的加速度为a甲= ,故甲质点做初速度为0、加速度大小为 的匀加速直线运动,故B正确;t= 时,甲质点的速度v甲=a甲t= · =c,乙的速度v乙= +a乙t=c- · =0,故C错误;t= 时,甲质点的速度v甲=a甲t= · = c,乙的速度v乙= +a乙t=c- · = c,故D正确。
解题感悟非常规图像问题
1.四类图像(1)a-t图像由v=v0+at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv,如图甲所示。(2) -t图像由x=v0t+ at2可得 =v0+ at,图像的斜率为 a,如图乙所示。
(3)v2-x图像由v2- =2ax可知v2= +2ax,图像斜率为2a。(4)x-v图像x与v的关系式:2ax=v2- ,图像表达式: x= v2- 。
2.解题技巧(1)用函数思想分析图像:图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系,因此要由运动学公式推导出 两个物理量间的函数关系,分析图像的意义。(2)要注意应用解析法和排除法,两者结合,提高图像类选择题的解题准确率 和速度。
1.[图像综合问题](2020福建三明质检)如图所示为物体做直线运动的图像,下 列说法正确的是 ( )
A.甲图中,物体在0~t0这段时间内的位移小于 B.乙图中,物体的加速度大小为2 m/s2C.丙图中,阴影面积表示t1~t2时间内物体的加速度变化量D.丁图中,t=3 s时物体的速度大小为25 m/s
2.[x-v图像问题]研究表明,人的刹车反应时间(即图甲中“反应过程”所用时 间)比较短,但饮酒会导致反应时间延长。在某次试验中,志愿者少量饮酒后 驾车以某一速度在试验场的水平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行 驶了一段距离。减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示,此过 程可视为匀变速直线运动。根据图甲和图乙提供的信息,下列说法错误的是 ( )
乙A.汽车在反应过程中运动的速度大小为20 m/sB.汽车在反应过程中运动的位移大小为25 mC.汽车在减速过程中的加速度大小为8 m/s2D.汽车在减速过程中所用的时间为2.5 s
考点二 追及、相遇问题
例3 在水平轨道上有两列火车A和B,相距x,A车在后面做初速度为v0、加速 度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加 速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什 么条件。
解题指导 本题可运用“物理分析法”“数学分析法”“图像分析法”等 方法解题。
答案 v0≤
即 at2+x≥v0t-at2联立得v0≤ 解法二 数学分析法设两车运动了时间t,则xA=v0t-at2xB= at2两车不相撞需要满足Δx=xB+x-xA= at2-v0t+x≥0
则Δxmin= ≥0解得v0≤ 解法三 图像分析法利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图所示
设经过t1时间两车刚好不相撞,则对A车有vt=v0-2at1对B车有vt=at1联立以上两式解得t1= 经时间t1两车发生的位移之差,即原来两车间的距离x,可用图中的阴影面积来 表示,由图像可知x= v0t= v0· = ,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤
解法四 相对运动法巧选参考系求解。以B车为参考系,A车的初速度为v0,加速度为a'=-2a-a=-3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是v=0,这一过程A车相对于B车的位移为x,由运动学公式v2- =2ax得:02- =2·(-3a)·x所以v0= 故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 。
1.追及、相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上或两者距离最大、 最小的临界条件,也是分析判断的切入点。(2)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画过程示意图得 到。
2.常用解题方法(1)物理分析法:寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大 者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上 则在两物体速度相等时有最小距离。(2)数学分析法:设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t) =0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在 正实数解,说明这两个物体能相遇。(3)图像分析法:①若用位移-时间图像求解,分别作出两物体的位移-时间图 线,如果两物体的位移-时间图线相交,则说明两物体相遇;②若用速度-时间图像求解,则注意比较速度-时间图线与时间轴包围的面积。
例4 一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度开 始行驶,恰在这一时刻一辆自行车以v自=6 m/s的速度匀速驶来,从旁边超过汽 车。(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时 距离是多少?(2)什么时候汽车能追上自行车?此时汽车的速度是多少?
审题关键 (1)追上前汽车和自行车相距最远的条件是什么?提示:汽车和自行车速度相等。(2)追上时汽车和自行车的位移关系是什么?提示:位移相等。
解题指导 本题可运用“物理分析法”“相对运动法”“数学分析法” “图像分析法”等方法解题。
解析 (1)解法一 物理分析法如图甲所示,汽车与自行车的速度相等时相距最远,设此时经过的时间为t1,汽 车和自行车间的距离为Δx,则有v自=at1所以t1= =2 sΔx=v自t1- a =6 m。
解法二 相对运动法以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系 的各个物理量为初速度v0=v汽初-v自=0-6 m/s=-6 m/s末速度vt=v汽车-v自=0加速度a'=a-a自=3 m/s2-0=3 m/s2所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为t1= =2 s最大距离Δx= =-6 m
负号表示汽车在后。注意:利用相对运动的方法解题,要抓住三个关键:①选取哪个物体为研究对 象;②选取哪个物体为参考系;③规定哪个方向为正方向。解法三 数学分析法设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距为Δx,则Δx=v自t1- a 代入已知数据得Δx=6t1- 由二次函数求极值的条件知:t1=2 s时,Δx有最大值6 m。所以经过t1=2 s后,汽车和自行车相距最远,为Δx=6 m。
解法四 图像分析法自行车和汽车的v-t图像如图乙所示。由图可以看出,在相遇前,t1时刻汽车和 自行车速度相等,相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积,所以有 乙t1= = s=2 s
Δx= = m=6 m。(2)解法一 物理分析法当汽车和自行车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,则有v自t2= a 解得t2= = s=4 s此时汽车的速度v2=at2=12 m/s。
解法二 图像分析法由前面画出的v-t图像可以看出,在t1时刻之后,当由图线v自、v汽和t=t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时,汽车与自行车的位移相等,即汽 车与自行车相遇,所以t2=2t1=4 s,v2=at2=3×4 m/s=12 m/s。
解题感悟追及、相遇问题两种典型情况假设物体A追物体B,开始时,两个物体相距x0,有两种典型情况:(1)初速度小的追初速度大的运动的物体。当vA=vB时,两者相距最远。(2)初速度大的追初速度小的运动的物体。当vA=vB时,①若已超越则相遇两次。②若恰好追上,则相遇一次。③若没追上,则无法相遇,两者之间有最小距离。
考向三 运动图像与追及、相遇问题的综合应用
例5 (多选)(2016课标Ⅰ,21,6分)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图 像如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶,则 ( )
A.在t=1 s时,甲车在乙车后B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 mC.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
解析 本题考查运动的图像及追及相遇问题,通过对甲、乙运动情况的 分析,考查学生的推理能力,渗透了科学思维中的模型建构与科学推理要素。 由题中v-t图像得a甲=10 m/s2,a乙=5 m/s2,两车在t=3 s时并排行驶,此时x甲= a甲t2= ×10×32 m=45 m,x乙=v0t+ a乙t2=10×3 m+ ×5×32 m=52.5 m,所以t=0时甲车在前,与乙车的距离为L=x乙-x甲=7.5 m,B项正确。t=1 s时,x甲'= a甲t2=5 m,x乙'=v0t+ a乙t2=12.5 m,此时x乙'=x甲'+L=12.5 m,所以另一次并排行驶的时刻为t=1 s,故A、C项错误;两次并排行驶的位置沿公路方向相距L'=x乙-x乙'=40 m,故D项 正确。
解题感悟追及、相遇问题常见情境(1)速度小者追速度大者
一、匀变速直线运动的图像
1.直线运动的x-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体 位移 随 时间 变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的绝对值:表示物体速度的 大小 。②斜率的正负:表示物体速度的 方向 。
(3)两种特殊的x-t图像
①若x-t图像是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于 静止 状态。(如 图中甲所示)②若x-t图像是一条倾斜的直线,说明物体在做 匀速直线 运动。(如图中 乙所示)
2.直线运动的v-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体 速度 随 时间 变化的规律。(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的绝对值:表示物体 加速度 的大小。②斜率的正负:表示物体 加速度 的方向。(3)两种特殊的v-t图像
①匀速直线运动的v-t图像是与横轴 平行 的直线。(如图中甲所示)②匀变速直线运动的v-t图像是一条 倾斜 的直线。(如图中乙所示)(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义①图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的 位移 。②若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为 正方向 ;若此 面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为 负方向 。注意 x-t图像与v-t图像不是物体的运动轨迹,反映了物体位移或速度随时间 变化的规律。
1.追及问题的两类情况(1)按结果分类①若后者能追上前者,追上时,两者处于 同一 位置,且后者速度一定不小 于前者速度。②若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度 相等 时,两者相距最近。(2)按初始条件分类①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题:速度大者减速(如匀减速直线运动) 追速度小者(如匀速直线运动)。
a.若两者速度相等时,追者位移仍小于被追者位移与s0之和,则永远追不上,此时两者间有最小距离。b.若两者相遇时,速度也相等,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。c.若两者相遇时,追者速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者 的机会,其间速度相等时两者间距有一个极大值。②从同一地点出发开始同向运动的问题:速度小者加速(如初速度为零的匀 加速直线运动)追速度大者(如匀速直线运动)。a.当两者速度相等时两者间有最大距离。b.两者位移相等时,则追上。
2.相遇问题(1)同向运动的两物体追上即相遇,两物体位移大小 之差 等于开始时两物 体间距。(2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和 等于 开始时两物体的距 离时即相遇。注意 追及、相遇问题中速度相等是追上或追不上、距离最大或最小的转 折点,应该注意。
1.判断下列说法对错。(1)x-t图像表示物体的运动轨迹。 ( )(2)x-t图像和v-t图像都不能描述曲线运动。 ( )(3)v-t图像上两图线的交点表示两物体速度相等,不代表相遇。 ( )(4)两物体同向运动恰好不相碰,则此时两物体速度相等。 ( )(5)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小、匀速运动的汽车相 撞。 ( )(6)两个物体在追及过程中,物体之间的距离总是逐渐变小。 ( )
2.(多选)(新人教版必修第一册P18·T5改编)一辆汽车在教练场上沿着平直道 路行驶,以x表示它对于出发点的位移。图为汽车在t=0到t=40 s这段时间的x-t 图像。下列分析正确的是 ( )
A.汽车离出发点最远的距离为30 mB.汽车在10~20 s内匀速运动C.汽车在40 s末回到出发点D.汽车在20~40 s内加速度大小为1.5 m/s2
3.(2020广东湛江模拟)某同学在开展研究性学习的过程中,利用速度传感器 研究某一物体以1 m/s的初速度做直线运动的速度v随时间t变化的规律,并在 计算机上得到了前4 s内物体速度随时间变化的关系图像,如图所示。则下列 说法正确的是 ( )
A.物体在1 s末速度方向改变B.物体在3 s末加速度方向改变C.前4 s内物体的最大位移出现在第3 s末,大小为3.5 mD.物体在第2 s末与第4 s末的速度相同
4.平直公路上的甲车以10 m/s的速度做匀速直线运动,乙车静止在路面上,当 甲车经过乙车旁边时,乙车立即以大小为1 m/s2的加速度沿相同方向做匀加 速运动,从乙车加速开始计时,则 ( )A.乙车追上甲车所用的时间为10 sB.乙车追上甲车所用的时间为20 sC.乙追上甲时,乙的速度是15 m/sD.乙追上甲时,乙的速度是10 m/s
考点一 运动图像的理解及应用
1.应用运动图像的三点注意(1)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。(2)x-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。(3)x-t图像和v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2.应用运动图像解题“六看”
例1 (多选)如图所示为一质点做直线运动的速度-时间图像,下列说法中正 确的是 ( )
A.整个过程中,CD段和DE段的加速度相同B.整个过程中,BC段的加速度最大C.整个过程中,C点对应时刻离出发点最远D.BC段对应时间运动的路程是34 m
审题关键 (1)0~22 s内,质点的运动方向是否发生变化?什么时刻离出发点最 远?提示:当图线过时间轴时质点运动方向发生改变,t=20 s时图线过时间轴,即速 度方向发生了改变。t=20 s时离出发点最远。(2)v-t图像中图线与时间轴所围的“面积”的含义是什么?提示:v-t图像中图线与时间轴所围的“面积”表示位移。
解析 v-t图像的斜率表示加速度,由图知CD段和DE段在同一直线CE上, 斜率相同,故CD段和DE段加速度相同,A正确;由题图知,整个过程中CE段斜 率绝对值最大,加速度最大,B错误;t=20 s时速度方向改变,所以D点所表示的 状态离出发点最远,C错误;BC段和时间轴围成的面积为34 m,D正确。
解题感悟用速度-时间图像巧得五个运动量(1)运动速度:从速度轴上直接读出,负值表示反向运动。(2)运动时间:从时间轴上直接读出。(3)运动加速度:从图线的斜率得到加速度,斜率的绝对值表示加速度的大小, 斜率的正负反映了加速度的方向。例题中BC段加速度与CD段加速度方向 相反。
(4)运动的位移:从图线与时间轴围成的面积得到位移,图线与时间轴围成的 面积表示位移的大小,横轴以上为“+”值,横轴以下为“-”值,整个过程的位移是它们的代数和,如CD段的位移为正值,DE段为负值,CE段的总位移为0。(5)运动的路程:因为路程是标量。路程是图线与时间轴围成的面积的绝对值 的和。
例2 (多选)(2020山东济宁模拟)甲、乙两质点同时同地在外力的作用下做 匀变速直线运动,其运动的 -t图像如图所示。关于甲、乙两质点的运动情况,下列说法中正确的是 ( )
A.乙质点做初速度为c的匀加速直线运动B.甲质点做加速度大小为 的匀加速直线运动C.t= 时,甲、乙两质点速度大小相等D.t= 时,甲、乙两质点速度大小相等
解析 根据匀变速直线运动的位移时间公式x=v0t+ at2得: =v0+ at,对于乙质点,由图可知, =c, a乙=- ,乙的加速度为a乙=- ,故乙质点做初速度为c、加速度为- 的匀减速直线运动,故A错误;对于甲质点,由图可知, =0, a甲= ,甲的加速度为a甲= ,故甲质点做初速度为0、加速度大小为 的匀加速直线运动,故B正确;t= 时,甲质点的速度v甲=a甲t= · =c,乙的速度v乙= +a乙t=c- · =0,故C错误;t= 时,甲质点的速度v甲=a甲t= · = c,乙的速度v乙= +a乙t=c- · = c,故D正确。
解题感悟非常规图像问题
1.四类图像(1)a-t图像由v=v0+at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv,如图甲所示。(2) -t图像由x=v0t+ at2可得 =v0+ at,图像的斜率为 a,如图乙所示。
(3)v2-x图像由v2- =2ax可知v2= +2ax,图像斜率为2a。(4)x-v图像x与v的关系式:2ax=v2- ,图像表达式: x= v2- 。
2.解题技巧(1)用函数思想分析图像:图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系,因此要由运动学公式推导出 两个物理量间的函数关系,分析图像的意义。(2)要注意应用解析法和排除法,两者结合,提高图像类选择题的解题准确率 和速度。
1.[图像综合问题](2020福建三明质检)如图所示为物体做直线运动的图像,下 列说法正确的是 ( )
A.甲图中,物体在0~t0这段时间内的位移小于 B.乙图中,物体的加速度大小为2 m/s2C.丙图中,阴影面积表示t1~t2时间内物体的加速度变化量D.丁图中,t=3 s时物体的速度大小为25 m/s
2.[x-v图像问题]研究表明,人的刹车反应时间(即图甲中“反应过程”所用时 间)比较短,但饮酒会导致反应时间延长。在某次试验中,志愿者少量饮酒后 驾车以某一速度在试验场的水平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行 驶了一段距离。减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示,此过 程可视为匀变速直线运动。根据图甲和图乙提供的信息,下列说法错误的是 ( )
乙A.汽车在反应过程中运动的速度大小为20 m/sB.汽车在反应过程中运动的位移大小为25 mC.汽车在减速过程中的加速度大小为8 m/s2D.汽车在减速过程中所用的时间为2.5 s
考点二 追及、相遇问题
例3 在水平轨道上有两列火车A和B,相距x,A车在后面做初速度为v0、加速 度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加 速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什 么条件。
解题指导 本题可运用“物理分析法”“数学分析法”“图像分析法”等 方法解题。
答案 v0≤
即 at2+x≥v0t-at2联立得v0≤ 解法二 数学分析法设两车运动了时间t,则xA=v0t-at2xB= at2两车不相撞需要满足Δx=xB+x-xA= at2-v0t+x≥0
则Δxmin= ≥0解得v0≤ 解法三 图像分析法利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图所示
设经过t1时间两车刚好不相撞,则对A车有vt=v0-2at1对B车有vt=at1联立以上两式解得t1= 经时间t1两车发生的位移之差,即原来两车间的距离x,可用图中的阴影面积来 表示,由图像可知x= v0t= v0· = ,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤
解法四 相对运动法巧选参考系求解。以B车为参考系,A车的初速度为v0,加速度为a'=-2a-a=-3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是v=0,这一过程A车相对于B车的位移为x,由运动学公式v2- =2ax得:02- =2·(-3a)·x所以v0= 故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 。
1.追及、相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上或两者距离最大、 最小的临界条件,也是分析判断的切入点。(2)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画过程示意图得 到。
2.常用解题方法(1)物理分析法:寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大 者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上 则在两物体速度相等时有最小距离。(2)数学分析法:设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t) =0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在 正实数解,说明这两个物体能相遇。(3)图像分析法:①若用位移-时间图像求解,分别作出两物体的位移-时间图 线,如果两物体的位移-时间图线相交,则说明两物体相遇;②若用速度-时间图像求解,则注意比较速度-时间图线与时间轴包围的面积。
例4 一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度开 始行驶,恰在这一时刻一辆自行车以v自=6 m/s的速度匀速驶来,从旁边超过汽 车。(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时 距离是多少?(2)什么时候汽车能追上自行车?此时汽车的速度是多少?
审题关键 (1)追上前汽车和自行车相距最远的条件是什么?提示:汽车和自行车速度相等。(2)追上时汽车和自行车的位移关系是什么?提示:位移相等。
解题指导 本题可运用“物理分析法”“相对运动法”“数学分析法” “图像分析法”等方法解题。
解析 (1)解法一 物理分析法如图甲所示,汽车与自行车的速度相等时相距最远,设此时经过的时间为t1,汽 车和自行车间的距离为Δx,则有v自=at1所以t1= =2 sΔx=v自t1- a =6 m。
解法二 相对运动法以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系 的各个物理量为初速度v0=v汽初-v自=0-6 m/s=-6 m/s末速度vt=v汽车-v自=0加速度a'=a-a自=3 m/s2-0=3 m/s2所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为t1= =2 s最大距离Δx= =-6 m
负号表示汽车在后。注意:利用相对运动的方法解题,要抓住三个关键:①选取哪个物体为研究对 象;②选取哪个物体为参考系;③规定哪个方向为正方向。解法三 数学分析法设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距为Δx,则Δx=v自t1- a 代入已知数据得Δx=6t1- 由二次函数求极值的条件知:t1=2 s时,Δx有最大值6 m。所以经过t1=2 s后,汽车和自行车相距最远,为Δx=6 m。
解法四 图像分析法自行车和汽车的v-t图像如图乙所示。由图可以看出,在相遇前,t1时刻汽车和 自行车速度相等,相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积,所以有 乙t1= = s=2 s
Δx= = m=6 m。(2)解法一 物理分析法当汽车和自行车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,则有v自t2= a 解得t2= = s=4 s此时汽车的速度v2=at2=12 m/s。
解法二 图像分析法由前面画出的v-t图像可以看出,在t1时刻之后,当由图线v自、v汽和t=t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时,汽车与自行车的位移相等,即汽 车与自行车相遇,所以t2=2t1=4 s,v2=at2=3×4 m/s=12 m/s。
解题感悟追及、相遇问题两种典型情况假设物体A追物体B,开始时,两个物体相距x0,有两种典型情况:(1)初速度小的追初速度大的运动的物体。当vA=vB时,两者相距最远。(2)初速度大的追初速度小的运动的物体。当vA=vB时,①若已超越则相遇两次。②若恰好追上,则相遇一次。③若没追上,则无法相遇,两者之间有最小距离。
考向三 运动图像与追及、相遇问题的综合应用
例5 (多选)(2016课标Ⅰ,21,6分)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图 像如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶,则 ( )
A.在t=1 s时,甲车在乙车后B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 mC.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
解析 本题考查运动的图像及追及相遇问题,通过对甲、乙运动情况的 分析,考查学生的推理能力,渗透了科学思维中的模型建构与科学推理要素。 由题中v-t图像得a甲=10 m/s2,a乙=5 m/s2,两车在t=3 s时并排行驶,此时x甲= a甲t2= ×10×32 m=45 m,x乙=v0t+ a乙t2=10×3 m+ ×5×32 m=52.5 m,所以t=0时甲车在前,与乙车的距离为L=x乙-x甲=7.5 m,B项正确。t=1 s时,x甲'= a甲t2=5 m,x乙'=v0t+ a乙t2=12.5 m,此时x乙'=x甲'+L=12.5 m,所以另一次并排行驶的时刻为t=1 s,故A、C项错误;两次并排行驶的位置沿公路方向相距L'=x乙-x乙'=40 m,故D项 正确。
解题感悟追及、相遇问题常见情境(1)速度小者追速度大者
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