山东省枣庄市第八中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题含答案

    山东省枣庄市第八中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题

第I卷（选择题共52分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔.

一、单项选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合要求.

1.已知集合，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求，再求．

【详解】由已知得，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．

2.已知集合，若，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

元素，则2必需满足集合中的不等式.

【详解】，∴的取值范围为.

【点睛】本题考查对用描述法表示集合理解.

3.函数的定义域为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据分式的定义和根式有意义的条件，列不等式组进行求解即可.

【详解】要使函数解析式有意义，

，

且，

函数的定义域为，故选C.

【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.

4.函数的图象可能是          (　 　)

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

对进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案.

【详解】①当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则A错误；

又时，，则函数过点，故B错误；

②当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则D错误；

又时，，则函数过点，故C正确；

故选：C

【点睛】本题主要考查了判断指数型函数的图象形状以及函数图象的变换，属于基础题.

【此处有视频，请去附件查看】

5.设，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

先通过求出的范围，然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可.

【详解】解：由，得，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选B.

【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，是基础题.

6.已知a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　）

A. c＜a＜b B. a＜b＜c C. b＜a＜c D. c＜b＜a

【答案】D

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性可以判断，的大小，根据幂函数的单调性可以判断，的大小，综合可得结果.

【详解】∵，可得是单调减函数，

∵，∴，

∵，可得为减函数，

∵，∴ ，

综上可得，故选D.

【点睛】本题考查大小比较，解题的关键是利用指数函数、幂函数的单调性，常见的做法还有可能与 1比较，属于基础题.

7.命题，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

全称命题的否定是特称命题，根据已知写出即可.

【详解】解：命题，则，

故选B.

【点睛】本题考查全称命题否定的书写，是基础题.

8.设，则使幂函数的定义域为且为奇函数的所有的值为（    ）

A. ，， B. ， C. ，3 D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】

根据幂函数的性质逐一判断即可.

【详解】当时，幂函数的定义域为，不为；

当时，幂函数的定义域为且为奇函数；

当时，幂函数的定义域为且为非奇非偶函数；

当时，幂函数的定义域为且为奇函数.

故选C.

【点睛】本题考查幂函数的性质，是基础题.

9.设恒成立，则实数的最大值为（   ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】

将不等式左边展开，然后利用基本不等式求得其最小值，由此求得的最大值.

【详解】由于，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，也即的最大值为.

故选B.

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查恒成立问题的求解策略，属于基础题.

10.已知是定义在上的减函数,则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分段函数单调性以及一次函数单调性列不等式，解得结果.

【详解】因为是定义在上的减函数，

所以

故选：B

【点睛】本题考查分段函数单调性以及一次函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.

二、多项选择题：本题共3个小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分.

11.若集合，则下列结论正确的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项.

【详解】由于，即是的子集，故，，从而，.

故选ABCD.

【点睛】本小题主要考查子集的概念，考查集合并集、交集的概念和运算，属于基础题.

12.如果，那么下列不等式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】

利用作差法逐一判断即可.

详解】解：

A. ，故错误；

B. ，当时，，故错误；

C. ，故正确；

D. ，，故正确.

故选CD.

【点睛】本题考查作差法判断不等式是否成立，作差法是判断不等式成立与否的重要方法，要牢记.

13.关于函数，下列结论正确的是（    ）

A. 的图象过原点 B. 是奇函数

C. 在区间(1，＋∞)上单调递增 D. 是定义域上的增函数

【答案】A

【解析】

【分析】

作出的图像，根据图像逐一判断即可.

【详解】解：，

将的图像向右平移一个单位，然后向上平移1个单位即可得到，图像如下：

观察图像可得A正确，

故选A.

【点睛】本题考查函数的性质的判断，如果能画出函数图像，根据图像观察则快速而准确.

第Ⅱ卷（非选择题共98分）

三、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.

14._______________..

【答案】3

【解析】

【分析】

利用幂指数的运算性质计算即可.

【详解】解：，

故答案为3.

【点睛】本题考查幂指数的运算性质，是基础题.

15.若，则的范围为_______________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用已知条件画出可行域，通过目标式的几何意义求解.

【详解】解：，表示的可行域如图：

则的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，
显然的斜率是最大值，的斜率是最小值，由题意可知
，因为不是可行域内的点，
所以的范围为：．
故答案为．

【点睛】本题考查线性规划的简单应用，数形结合，判断目标函数的几何意义是解题的关键．

16.已知,若,则_______________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据，可得，从而根据，可求的值．

【详解】解：∵

∴
∵

故答案为．

【点睛】本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，解题的关键是判断，是一道基础题．

17.已知函数

（1）当1时，函数的值域是________；

（2）若函数的图像与直线至少有一个公共点，则实数的取值范围是______

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

（1）分别求解y=﹣x2+2x，x≤1，和y=x，x＞1的值域，可得f（x）的值域；（2）作出

分段函数的图象数形结合，可得实数a的取值范围．

【详解】（1）当a=1时，即当x≤1时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，

当x＞1时，f（x）=x＞1，综上所述当a=1时，函数f（x）的值域是R，

（2）由f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，其对称轴x=1，

当a＞1时，x≤a时f（x）=﹣x2+2x≤1，x＞a时，f（x）=x＞a>1，存在直线y=a与f（x）没有交点；

当0≤a≤1时，x≤a时 f（x）=﹣x2+2x≤﹣a2+2a, x＞a时，f（x）=x＞a，此时﹣a2+2a>a,所以直线y=a与f（x）至少有一个交点，

当a＜0时，x≤a时f（x）=﹣x2+2x≤﹣a2+2a, x＞a时，f（x）=x＞a，此时﹣a2+2a<a, 存在直线y=a与f（x）没有交点；

要使函数f（x）的图象与直线y=a至少有一个公共点，则实数a的取值范围是[0，1]；

故答案为R；[0，1]．

【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题.

四、解答题：本大题共6个大题，满分82分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.

18.已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

(1)解一元二次不等式,得集合A,把代入,得集合B,求出A并B即可；

(2)根据子集的定义,结合数轴,得到关于m的不等式组,即可得到m的取值范围．

【详解】(1)由得,

当时, ,

则．

(2)由,则有,解方程组知得,

即实数m的取值范围为．

【点睛】本题考查了集合的运算和集合之间的关系,属于基础题．

19.若不等式的解集为，

(1)若，求的值．

(2)求关于的不等式的解集．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

⑴，已知方程的两个根，运用根与系数之间的关系求出结果

⑵先求出之间的关系，计算得，然后代入求出结果

【详解】(1)

关于的方程的两个根分别为和，

 (2) 的解集为，

，且关于的方程的两个根分别为和，

∴，

不等式可变为,

即， ，所以，

所以所求不等式的解集为.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，运用根与系数之间的关系即可求出结果，在解答多元时需要将其转化为一元问题来求解．

20.已知.

（1）判断的奇偶性，并说明理由；

（2）当时，判断并证明函数在(0，2]上的单调性，并求其值域.

【答案】（1）是奇函数，不是偶函数，详见解析（2）函数在(0，2]内是减函数，证明见解析，值域为

【解析】

【分析】

（1）求得的定义域，计算与比较即可得到；
（2）运用定义法证明，取值、作差和变形、定符号和下结论．

【详解】解（1）由题意得的定义域为，它关于原点对称，

对于任意，，

∴是奇函数.

，，，∴，

∴不是偶函数，

∴是奇函数，不是偶函数.

(2)函数在(0，2]内是减函数.

证明：任取，不妨设

，∴，，∴.

∴.

∴，因此，函数在(0，2]内是减函数.

无最大值，

所以的值域为.

【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于中档题．

21.经观测，某公路段在某时段内的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间有函数关系：．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)

（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

【答案】（1）v＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时（2）汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内

【解析】

【分析】

（1）将已知函数化简，利用基本不等式求车流量y最大值；
（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使，解之即可得汽车的平均速度的控制范围．

【详解】解:(1)＝≤＝≈11.08，

当v＝，即v＝40千米/小时，车流量最大，最大值11.08千辆/小时．

(2)据题意有：，

化简得，即，

所以，

所以汽车的平均速度应控制在这个范围内．

【点睛】本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，属于基础题．

22.已知函数是定义在上的偶函数，当时，.

（1）直接写出函数的增区间（不需要证明）；

（2）求出函数，解析式；

（3）若函数，，求函数的最小值.

【答案】（1）增区间为；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据奇偶性，结合函数简图可得函数的增区间；（2）因为，，所以根据函数是定义在上的偶函数，, 且当时,, 时函数的解析式，综合可得函数的解析式；（3）根据（1）可得函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，对进行分类讨论，进而可得函数的最小值的表达式.

试题解析：（1）的增区间为 .

（2）设，则，，

由已知，当时，，故函数的解析式为：.

（3）由（2）可得：，对称轴为：，

当时，，此时函数在区间上单调递增，故的最小值为，           

当时，，此时函数在对称轴处取得最小值，故的最小值为，     

当时，，此时函数在区间上单调递减，故的最小值为.

综上：所求最小值为 .

【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及二次函数在闭区间上的最值，属于难题. 二次函数在区间上的最小值的讨论方法：(1) 当时，(2) 当时，

(3) 时，.本题讨论的最小值时就是按这种思路进行的.

23.已知函数是定义在上的奇函数．

（I）求实数的值；

（II）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；

（III）当时，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（I）2;（II）证明见解析；（II）.

【解析】

【分析】

（I）由奇偶性可得，从而可求实数的值；（II）任取且，可得，从而可得结论；（III）设，恒成立，等价于，利用二次函数列不等式可求实数的取值范围．

【详解】（I）因为数是定义在上的奇函数，

所以，可得；

（II）证明：任取且

，

即所以是R上的增函数．

（III）不等式：

令则．

于是，当时，恒成立，

即：当时，恒成立；

令，而，

所以．

【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.