辽宁省沈阳市五校协作体2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份辽宁省沈阳市五校协作体2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年辽宁省沈阳市五校协作体
高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若全集U={1，2，3，4}且∁UA={2，3}，则集合A的真子集共有（ ）
A. 3个 B. 5个 C. 7个 D. 8个
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先确定集合A，然后由子集个数公式求解其真子集的个数即可.
【详解】由题意可得：，则集合A的真子集共有个.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查补集的定义，子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.若函数y=f（lnx）的定义域为[e，e2]，则函数y=f（ex）的定义域为
A. [0，ln2] B. [0，2]
C. [1，2] D. [e，e2]
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知函数的定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的范围可得结果.
【详解】由函数y=f（lnx）的定义域为[e，e2]，得e≤x≤e2，
从而lnx∈[1，2]．由1≤ex≤2，得0≤x≤ln2．
∴函数y=f（ex）的定义域为[0，ln2],故选A．
【点睛】本题考查抽象函数的定义域及其求法，是基础题. 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出；已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.
3.函数f（x）=（）|x|+1的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合绝对值的性质和指数函数的性质求解函数的值域即可.
【详解】由题意可得：，结合指数函数的性质可得：
的值域为.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查绝对值函数的性质，函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.下列函数与y=x是相同函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合选项确定所给的函数是否是相同函数即可.
【详解】逐一考查所给的函数：
A. ，对应法则不同，不是同一个函数；
B.定义域为，与的定义域不同，不是同一个函数；
C. ，且定义域相同，是同一个函数；
D.定义域为，与的定义域不同，不是同一个函数；
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查函数相等的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.若方程lnx+3x-10=0的解为x0，则不等式x≤x0的最大整数解是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的单调性和函数在区间端点的函数值确定不等式x≤x0的最大整数解即可.
【详解】易知函数是定义域内的单调递增函数，
且，，据此可得，
据此可知不等式x≤x0的最大整数解是2.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意逐一考查所给函数的奇偶性即可.
【详解】逐一考查所给的函数：
A.函数的定义域为R，且，函数为偶函数；
B.函数的定义域为R，且，函数为奇函数；
C. 函数的定义域为R，
且，函数为奇函数；
D.，函数的定义域为R，
且，
，且，函数为非奇非偶函数.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定及其应用，意在考查学生的转化能力和知识理解应用能力.
7.若a=π-0.3，b=0.3-π，c=lgπ0.3，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合对数函数的性质和指数函数的性质比较所给的数的大小即可.
【详解】由指数函数的性质可知：，
由对数函数的性质可知：，则.
本题选择C选项.
【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．
8.函数f（x）=ax2+bx+a-2b是定义在[a-3，2a]上的偶函数，则f（a）+f（b）=（ ）
A. 3 B. 2 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先求得实数a，b的值，然后求解f（a）+f（b）的值即可.
【详解】偶函数的定义域关于坐标原点对称，则，据此可得，
即，偶函数的对称轴为，故，
据此可得，，.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，偶函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9.函数f（x）=lnx2图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】函数是偶函数，其图象关于轴对称，故选项CD错误；
由复合函数的单调性法则可知函数在区间是增函数，选项A错误.
本题选择B选项.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
10.已知函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意分段考查函数的单调性，然后考查处的函数值即可确定实数a的取值范围.
【详解】函数是增函数，则：，
，函数在区间上单调递增，则，解得，
且当时，，即，解得：，
综上可得，实数a的取值范围为.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，由函数的单调性求解参数的取值范围的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（-1）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，则不等式＜0的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的性质零点分段列表讨论不等式的解集即可.
【详解】由题意可知函数的近似的函数图象如图所示：
由奇函数的性质可知不等式＜0即，
不等式等价于，列表讨论不等式的符号如下：
据此可得，＜0的解集为.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.已知x1、x2分别是函数f（x）=ex+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合函数的对称性和函数图像确定的值即可.
【详解】绘制函数的图像如图所示，
由题意可知的值分别为图中点点的横坐标，
则的值分别为图中点点的纵坐标，
注意到反函数的图像关于直线对称，设直线与的交点为，
易知，结合对称性可知.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查反函数的性质及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数f（x）=，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式求解函数值即可.
【详解】由题意结合函数的解析式可知：，
则.
【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
14.已知函数f（x）=|2x-e|-a在R上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
将原问题转化为函数图像有两个交点的问题求解实数a的取值范围即可.
【详解】由题意可知，函数f（x）=|2x-e|-a在R上有两个不同的零点即：
函数y=|2x-e|与函数y=a有两个不同的交点，绘制函数图像如图所示，观察可得：
实数a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查函数图像的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，有f（x）=，则f（x）在R上的解析式为f（x）=______．
【答案】
【解析】
【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，有f（x）=，
∴当x=0时，f（x）=0，
当x＞0时，，即，
∴f（x）在R上的解析式为：f（x）=．
【点睛】本题主要考查奇函数的性质，函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.已知函数f（x）=lg2（x+），则f[ln（lg2）]+f[ln（lg210）]=______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合真数的性质和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】设m=ln（lg2），则ln（lg210）=-m，
f（m）+f（-m）=lg28=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.化简求值：
（1）+（1.5）-2．
（2）（lg5）2+lg2•lg50+lg54•lg85•eln3．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意结合指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果；
(2)由题意结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】（1）原式=-1-+=+=．
（2）原式=（lg5）2+lg2•（lg5+1）+×3=lg5（lg5+lg2）+lg2+2=lg5+lg2+2=3．
【点睛】本题主要考查指数的运算法则、对数的运算法则 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.已知全集U=R，集合A={x|＜ex＜e}，B={x|-1≤lg2x≤3}，C={x|a-4＜x≤2a-7}．
（1）求（∁UA）∩B；
（2）若A∩C=C，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)首先确定集合A,B，然后进行集合的混合运算即可；
(2)由题意分类讨论集合C是否为空集求解实数a的取值范围即可.
【详解】（1）；
∴∁UA={x|x≤-1，或x≥1}；
∴（∁UA）∩B={x|1≤x≤8}；
（2）∵A∩C=C；
∴C⊆A；
∴①C=∅时，a-4≥2a-7；∴a≤3；
②C≠∅时，；
∴3＜a＜4；
综上，实数a的取值范围为（-∞，4）．
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%，则用户人数会增加万人．
（1）若要保证该公司月总收入不减少，试求x的取值范围；
（2）为了布局“5G网络”，该公司拟定投入资金进行5G网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求x的值．
（总盈利资金=总收入资金-总投入资金）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意结合数量关系得到关于x的不等式，求解不等式即可确定x的取值范围；
(2)由题意得到关于x的函数，结合函数的解析式讨论函数的最值即可.
【详解】（1）根据题意，设该公司的总收入为W万元，
则W=50（10+）（1-），0＜x＜100，
若该公司月总收入不减少，则有50（10+）（1-）≥10×50，
解可得：0＜x≤20；
（2）设该公司盈利为y万元，
则y=50（10+）（1-）-2（10+）=-+x+480，0＜x＜100，
结合二次函数的性质分析可得：当x=8时，该公司的总盈利最大．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质及其应用，等价转化的数学思想，实际问题与数学建模的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1+x）=f（1-x），且不等式f（x）＜2x的解集为（1，3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知关于x的方程f（x）=tx-t+4有两个实数根x1、x2，且x1＜0、x2＞2，求实数t的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；
(2)由题意得到关于实数t的不等式组，求解不等式组即可确定实数t的取值范围.
【详解】（1）由f（1+x）=f（1-x）知：f（x）关于x=1对称，
故-=1，即b=-2a，
又f（x）＜2x的解集是（1，3），
即ax2-（2a+2）x+c=0的两根是1，3，
即，解得：，
故f（x）=x2-2x+3；
（2）x2-2x+3=tx-t+4，
即x2-（2+t）x+t-1=0的实根x1＜0，x2＞2，
故，
解得：-1＜t＜1．
【点睛】求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
21.已知函数f（x）=，设F（x）=f（x）+a．
（1）已知F（x）是定义在R上的奇函数，试求实数a的值并判断F（x）的单调性（需写出具体的判断过程）；
（2）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＞2f（0）对任意x∈R恒成立，试求实数k的取值范围．
【答案】（1），上递减；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先确定实数a的值，然后结合函数的解析式确定函数的单调性即可；
(2)结合函数的解析式分离参数，求解分离参数后函数的最值即可确定实数k的取值范围.
【详解】（1）F（x）=f（x）+a=a+为定义域R上的奇函数，
可得F（0）=0，即a+=0，即a=-；
即有F（x）=-+在R上递减，
理由：由t=2x+1在R上递增，F（x）=-在t＞1上递减，
可得F（x）在R上递减；
（2）由f（0）=，f（k•3x）+f（3x-9x-2）＞2f（0）对任意x∈R恒成立，
可得f（k•3x）-+f（3x-9x-2）-＞0，
即为F（k•3x）+F（3x-9x-2）＞0，
即有F（k•3x）＞-F（3x-9x-2）=F（2+9x-3x），
可得k•3x＜2+9x-3x恒成立，
即有k＜3x+-1，
由3x+-1≥2-1=2-1，
当且仅当3x=，即x=lg3时，上式取得最小值，
可得k＜2-1．
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)或最值的问题.
22.已知函数f（x）=ln（ex+1）+kx是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的不等式5ef（x）•e≥2（lg2）•lg2（2t）在x∈[-1，0]时有解，试求实数t的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意结合偶函数满足f（-x）=f（x）确定实数k的值即可；
(2)结合(1)中函数的解析式和函数的单调性得到关于实数t的不等式，求解不等式就可确定实数t的取值范围.
【详解】（1）∵函数f（x）=ln（ex+1）+kx是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即[ln（ex+1）+kx]-[ln（e-x+1）-kx]=0，
即ln=-2kx，化简得x=-2kx，解得：k=-；
（2）5ef（x）•e≥2（lg2）•lg2（2t），
等价于5（ex+1）≥2（lg2）•lg2（2t），
∵5（ex+1）递增，∴5（ex+1）≤10，
故5≥（lg2）•lg2（2t），
解得：-2≤lg2t≤4，
故≤t≤16．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.