浙江省湖州市八校联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题含解析

这是一份浙江省湖州市八校联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省湖州市八校联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.设全集U={1，2，3}，集合A={1，2}，则∁UA等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全集与补集的概念即可求得解。
【详解】全集U={1，2，3}，集合A={1，2}
根据集合补集运算可知
∁UA=
所以选A
【点睛】本题考查了集合补集的基本概念和运算，属于基础题。
2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定义域及各个函数单调性即可判断出选项。
【详解】对于A，函数为减函数，所以排除A
对于B，函数定义域为正数，不是R，所以排除B
对于D，函数定义域为x≠0，所以排除D
对于C，函数 定义域为R，且为增函数，所以C正确
所以选C
【点睛】本题考查了函数的定义域及函数单调性的应用，属于基础题。
3.若幂函数y=f（x）的图象经过点（3，），则f（2）=
A. 2 B.
C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
设出幂函数的解析式，将点代入，求得的值，即求得幂函数解析式，再将代入解析式求得相应的函数值.
【详解】设幂函数y=f（x）=xα，其函数图象经过点（3，），∴3α=，
解得α=，∴f（x）=，∴f（2）=．故选B．
【点睛】本小题主要考查幂函数的解析式的求法，考查已知函数解析式求函数值，属于基础题.
4.函数的零点在区间（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由零点存在定理直接跑到即可.
详解：∵，，
∴函数的零点在区间．故选：．
点睛：本题考查零点存在定理的应用，属基础题.
5.设f：x→ln|x|是集合M到集合N的映射，若N={0，1}，则M不可能是（ ）
A. B. 1， C. D. 1，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据映射概念及集合N={0，1}，即可求得M的取值。
【详解】因为x→ln|x|，所以ln|x|=0时，x=1或x=-1
ln|x|=1时，x=e或x=-e
所以x的取值集合为
所以A、B、C选项都为正确选项，D为错误
所以选D
【点睛】本题考查了集合映射的概念及简单应用，已知对数值求自变量的解，属于基础题。
6.下列等式一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数的定义域可判断选项，根据指数幂的运算法则可判断选项.
【详解】A，若x，y均为负数，不对；
B，根据指数幂的运算性质，2m×2n=2m+n，B不对；
C，根据指数幂的运算性质，C正确；
D，若x为负数，不对．故选C．
【点睛】本题主要考查对数的运算对数函数的定义域，考查了指数幂的运算法则，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.
7.设a=ln2，b=（lg2）2，c=lg（lg2），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数图象，可得，进而结合函数图象即可比较大小。
【详解】由对数函数图象可知，
所以
所以
所以选A
【点睛】本题考查了对数函数的图象，对数比较大小，属于基础题。
8. 若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是( )
A. (－1,0) B. (－∞，0)∪(1,2)
C. (1,2) D. (0,2)
【答案】D
【解析】
根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图．把函数f(x)向右平移1个单位，得到函数f(x－1)，如图，则不等式f(x－1)<0的解集为(0,2)，选D.
9.已知1是函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的一个零点，若存在实数x0．使得f（x0）＜0．则f（x）的另一个零点可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得a＞b＞c，则a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得，分类讨论即可得到另外一个零点。
【详解】∵1是函数f（x）=ax2+bx+c的一个零点，
∴a+b+c=0，
∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得
函数f（x）=ax2+bx+c的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为
所以
画出函数大致图象如图：
当时，函数的另一零点x1∈[-1，0），x0∈（-1，1）
则x0-3∈（-4，-2）， ，，
当时，函数的另一零点x1∈（-2，-1），x0∈（-2，1）
则x0-3∈（-5，-2）， ，，
综上可知f（x）的另一个零点可能是
所以选B
【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，属于中档题。
10.已知二次函数f（x）=x2+bx+c，若对任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
若对任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，则当x1，x2∈[-1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案。
【详解】因为二次函数
所以对称轴为
当即时，函数在[-1，1]递增，
f（x）min=f（-1）=1-b+c，f（x）max=f（1）=1+b+c，
故f（-1）-f（1）=-2b，
|f（1）-f（-1）|=|2b|≤6恒不成立，
当时即b＜-2时，
|f（1）-f（-1）|=|2b|≤6恒不成立，
当时即-2≤b≤2时，
，且
即且
解得-3≤b≤3，
故b的取值范围是[-3，3]，
所以选C．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于难题。
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11.已知lg23=a，则lg29=______（用a表示），2a=______．
【答案】 (1). 2a (2). 3
【解析】
【分析】
根据对数运算化简即可得。
【详解】
，所以
【点睛】本题考查了对数的化简，对数与指数式的互换，属于基础题。
12.计算______；函数值域是______
【答案】 (1). 9 (2). （0，]
【解析】
【分析】
根据指数与对数的化简即可得到解；对二次函数配方，根据复合函数单调性判断，即可求得值域。
【详解】(1)、
(2)、

所以 ，而指数函数值大于0
所以值域为（0，]
【点睛】本题考查了指数与对数式的化简求值，复合函数值域的求法，属于基础题。
13.已知函数f（x），g（x），分别由下表给出
则g（1）的值为______；当g[f（x）]=2时，x=______．
【答案】 (1). 3 (2). 1
【解析】
【分析】
根据表格，可易得g（1）=3；而根据表格，g[2]=2，从而依据f（x）=2即可求得x的值。
【详解】从以上表格可知，当x=1时，g（1）=3
从表中可知，g[2]=2
因而f（x）=2
从表可知，当x=1时，f（1）=2
所以x的值为1
【点睛】本题考查了函数表示方法中的列表法及求对应的函数值，属于基础题。
14.已知f（x）=ax2+（b-1）x+2a是定义域为[a-1，a]的偶函数，则a-b的值为______；函数g（x）=lga（-bx2+a）的单调递增区间为______
【答案】 (1). (2). [0，）
【解析】
【分析】
根据偶函数关于y轴对称，且定义域关于原点中心对称，可求得a、b的值；进而利用复合函数单调性求得单调递增区间。
【详解】因为f（x）=ax2+（b-1）x+2a是偶函数
所以b=1
定义域为[a-1，a]
所以a-1+a=0，所以a=
(1)、a-b=
(2)、
定义域 ，解得
令，则单调递减区间为
由复合函数单调性“同增异减”可知，
的单调递增区间为[0，）
【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，复合函数单调区间的求法，注意对数函数定义域的要求，属于基础题。
15.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）= .
【答案】－3
【解析】
试题分析：是奇函数，所以.所以.
考点：函数的奇偶性.
16.设2a=5b=m，且=2，则m=______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数与对数互换式，用m表示出a、b，代入表达式化简即可求得m。
【详解】因为2a=5b=m
则
利用换底公式可得
因为=2，即+=2
代入化简得
，所以解得
【点睛】本题考查了对数与指数的互换，对数的运算及化简应用，属于中档题。
17.若函数f（x）=（1-x2）（x2+bx+c）的图象关于直线x=-2对称，则b+c的值是______．
【答案】23
【解析】
【分析】
根据函数f（x）=0，即（1-x2）（x2+bx+c）=0，其中两个零点为1，-1，图象关于直线x=-2对称，可得另外两个零点，即可求出b，c的值。
【详解】由题意，令函数f（x）=0，即（1-x2）（x2+bx+c）=0，
其中两个零点为x=1，x=-1，
图象关于直线x=-2对称，
那么另外两个零点分别为x=-3，x=-5
即x2+bx+c=0的两个根分别为x=-3，x=-5．
由韦达定理：-b=-3-5，即b=8
c=（-3）×（-5）=15
则b+c=23．
【点睛】本题考查了对称问题，利用零点求解对称点，转化为二次函数零点求解；属于中档题。
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18.已知集合A={x|m-2＜x＜m+1}，B={x|1＜x＜5}．
（Ⅰ）若m=1，求A∪B；
（Ⅱ）若A∩B=A，求实数m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）{x|-1＜x＜5}；（Ⅱ）[3，4].
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将m=1代入，可得集合A，根据并集的运算即可求得A∪B。
（Ⅱ）由A∩B=A可知集合A为集合B的子集；根据子集关系列出关于m的不等式，解不等式即可。
【详解】（Ⅰ） 由m=1得，A={x|-1＜x＜2}；
∴A∪B={x|-1＜x＜5}；
（Ⅱ）∵A∩B=A；
∴A⊆B；
∴；
解得3≤m≤4；
∴实数m的取值范围为[3，4]．
【点睛】本题考查了集合的基本运算，子集的概念及含参的求法，属于基础题。
19.已知函数f（x）=+lg（3x）的定义域为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，求g（x）=4x-2x+1+2的值域．
【答案】（Ⅰ）（-1，2]；（Ⅱ）[1，10].
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据二次根式有意义条件，及对数函数真数大于0的条件，列出不等式，解不等式组即可得到定义域M。
（Ⅱ）将g（x）配方，化为关于2x的二次函数型函数，根据x的取值范围，即可得到函数的值域。
【详解】（Ⅰ）要使f（x）有意义，则，
∴-1＜x≤2，
∴M=（-1，2]，
（Ⅱ）g（x）=4x-2x+1+2=（2x）2-2•2x+2=（2x-1）2+1；
∵x∈（-1，2]；
∴；
∴2x=1，即x=0时，g（x）min=1；
2x=4，即x=2时，g（x）max=10；
∴g（x）的值域为[1，10]．
【点睛】本题考查了定义域的求法，指数型二次函数值域的求解，属于基础题。
20.已知函数f（x）=（k∈R）
（Ⅰ）若该函数是偶函数，求实数k及f（lg32）的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=x+lg3f（x）有零点，求k的取值范围．
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）k＜1.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据偶函数定义f（-x）=f（x），代入函数化简即可求得k的值，进而得到函数解析式，再将x=lg32代入，根据对数恒等式的化简即可求得解。
（Ⅱ）将f（x）的表达式代入函数g（x）=x+lg3f（x）中，化简为g（x） =lg3（9x+k），根据零点意义，可得9x+k=1。根据9x＞0，即可求得k的取值范围。
【详解】（Ⅰ） 函数f（x）=即f（x）=3x+k•3-x是偶函数，
可得对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
即3-x+k•3x=3x+k•3-x，
即为（k-1）（3x-3-x）=0，而x∈R，则k=1，
则f（x）=3x+3-x，
f（lg32）=+=2+=；
（Ⅱ）g（x）=x+lg3f（x）=lg33x+lg3=lg3（9x+k），
由lg3（9x+k）=0，得9x+k=1，即1-k=9x，
可得1-k＞0，
即k＜1时，函数有零点．
【点睛】本题考查了函数的性质及指数式的化简，对数式的化简及不等式的应用，属于中档题。
21.已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足条件f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥mx-3恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）f（x）=x2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3].
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据f（0）=1及f（x+1）-f（x）=2x，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a、b、c的值，得到f（x）的解析式。
（Ⅱ）将解析式代入不等式，构造函数g（x）=x2-（m+1）x+4，即求当x∈[0，+∞）时g（x） 4≥0恒成立。讨论g（x）的对称轴x=与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m的取值范围。
【详解】（Ⅰ）由f（0）=1得，c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x，得a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+c）=2x
化简得，2ax+a+b=2x，
所以：2a=2，a+b=1，
可得：a=1，b=-1，c=1，
所以f（x）=x2-x+1；
（Ⅱ）由题意得，x2-x+1≥mx-3，x∈[0，+∞）恒成立．
即：g（x）=x2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．
其对称轴x=，
当≤0，即m≤-1时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g（0）=4＞0
∴m≤-1成立
②当＞0时，
满足
计算得：-1＜m≤3
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，3]．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数对称轴、单调性与恒成立问题的综合应用，属于中档题。
22.已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求常数k的值；
（Ⅱ）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）若a=2，且函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[0，1]上的最小值为1，求实数m的值．
【答案】（Ⅰ）k=1； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）m=1.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据定义域为R上的奇函数满足f（0）=0，代入即可求得k的值。
（Ⅱ）利用定义法，设出x1、x2，通过做差法判断与0的大小关系即可证明单调性。
（Ⅲ）将a的值代入表达式，化简即可得g（x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2，利用换元法令t=2x-2-x，由x的范围求得t的范围。将x的函数转化为关于t的二次函数，构造h（t）=（t-m）2+2-m2，讨论m的取值范围，进而利用最小值求得m的值。
【详解】（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，
则f（0）=k-1=0，解可得k=1，
当k=1时，f（x）=ax-a-x，为奇函数，
故k=1.
（Ⅱ）根据题意，设x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=（-）-（-）=（-）（1+），
又由x1＜x2，
则（-）＜0，（1+）＞0，
则f（x1）-f（x2）＜0，
故函数f（x）为R上的增函数；
（Ⅲ）根据题意，若a=2，则函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）
=22x+2-2x-2m（2x-2-x）
=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2，
令t=2x-2-x，又由x∈[0，1]，则t∈[0，]，
则h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，t∈[0，]，
①，当m≤0时，h（t）min=h（0）=2≠1，不符合题意；
②，当0＜m＜，h（t）min=h（m）=2-m2=1，
解可得m=±1，
又由0＜m＜，则m=1；
③，当m≥时，h（t）min=h（）=-3m=1，
解可得m=＜，不符合题意，
综合可得：m=1．
【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性，换元法求函数的最值，分类讨论二次函数的对称轴与最值的关系，综合性强，属于难题。
x
1
2
3
f（x）
2
1
1
x
1
2
3
g（x）
3
2
1