山东省济宁市第一中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题含答案

这是一份山东省济宁市第一中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出集合A，B，再根据补集交集运算法则求解.
【详解】集合，
，
，
.
故选：C
【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求出两个函数的值域和定义域.
2.满足的集合的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据子集的定义可知集合中一定含有，且不等于，利用列举法可得结果．
【详解】因为 ，
所以中一定含元素，且不等于.
得
或
或，即的个数为3，故选C．
【点睛】本题主要考查子集、真子集的定义、元素和集合的关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．
3.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为，，，故，所以选D.
4.有下列各式：
①；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；
③；④.
其中正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根式的运算法则进行判断即可．
【详解】①，错；②因为，则，对；③，错；④， ，错．所以正确有1个，故选B．
【点睛】本题主要考查根式的化简，利用根式的运算法则以及分数指数幂的关系进行判断是解决本题的关键．
5.设，将表示成指数幂的形式，其结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
= ,选C,
6.设函数, 则（ ）
A. B. 11C. D. 2
【答案】A
【解析】
分析：根据分段函数的解析式，分别求出与的值，然后求和即可.
详解：因为函数,
所以；
可得，
所以，故选A.
点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
7.函数（且）的图象必经过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由指数函数的图像及性质可知：令，即可得到定点.
【详解】由题：函数（且），
当时，，所以图像必经过定点.
故选：D
【点睛】此题考查函数过定点问题，关键在于寻找自变量的取值使参数不起作用，可以积累常见函数定点的求法.
8.已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为
A. （–∞，–1）B. （–3，–1）
C. [–1，+∞）D. [–1，1）
【答案】B
【解析】
【详解】由，得,
当时，函数单调递增，
函数单调递增；
当时，函数单调递减，
函数单调递减,
选B.
点睛：解决对数函数综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
9.若是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性和特殊值可得即，即可得解.
【详解】是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，
则，函数在单调递增，
所以，即，
解得.
故选：D
【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，关键在于准确进行等价转化.
10.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合函数的奇偶性和函数的单调性整理计算即可求得最终结果.
【详解】,
所以为偶函数,图象关于轴对称，选项BD错误；
由函数的解析式可得：，，
据此可知函数在上不是单调递增函数，选项C错误.
本题选择A选项.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
11.若函数是奇函数，其零点为，，…，，且，则关于x方程的根所在区间是（ ）
A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得，即求关于x的方程的根所在的区间，令，利用零点存在性定理即可得出选项.
【详解】因为函数是奇函数，故其零点，，…，关于y轴对称，
且，所以，则关于x的方程为.
令，易知函数为增函数.
因为，，
所以关于x的方程的根所在区间是（0，1）
故选：A
【点睛】本题考查了奇函数的性质、零点存在性定理，属于基础题.
12.已知，当时，有，则必有
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
作出函数的图象，如图所示，
因，且有，
所以必有，，且，
所以，则，且,
本题选择D选项.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设常数，函数．若的反函数的图象经过点，则___．
【答案】7
【解析】
【分析】
由反函数的性质得函数f（x）=1g2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．
【详解】∵常数a∈R，函数f（x）=1g2（x+a）．
f（x）的反函数的图象经过点（3，1），
∴函数f（x）=1g2（x+a）的图象经过点（1，3），
∴lg2（1+a）=3，
解得a=7．
故答案为7．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14.函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数特征解不等式组，即可得解.
【详解】由题：函数，
所以，即，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
【点睛】此题考查根据已知函数求定义域，关键在于准确求解不等式组，注意结果写成集合或区间形式.
15.函数 的最小值为______ ．
【答案】-4
【解析】
【分析】
换元,令,则,,再利用二次函数的单调性可求最小值.
【详解】 ,令,
因为 ,所以,
则,
在上递减，在上递增，
所以当t=2时函数取得最小值-4．
故答案为-4．
【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题.
16.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由有两个零点可得有两个根，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围
【详解】解：∵有两个零点，
∴有两个根，即与的图象有两个交点，
由可得，或
①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意
②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意
③当时，函数单调递增，故不符合题意
④当时，函数单调递增，故不符合题意
⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点
综上可得，或
故答案为
【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
三、解答题（17题10分，其余各题每题12分）
17.计算下列各式：
（1）
（2）.
【答案】（1）0；（2）0
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则，原式即可得解；
（2）根据指数幂及对数运算法则化简，将式子化简为，注意去绝对值考虑绝对值内部的符号.
【详解】（1）由题：，
（2）
【点睛】此题考查指数对数的化简求值，关键在于熟练掌握指数对数的运算法则.
18.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.
（1）求出函数在上的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，，，写成分段函数即可得到函数在上的解析式；
（2）当时，，任取，作差判定的符号即可得证.
【详解】（1）由题：函数是定义域为的奇函数，所以必有
当时，，
当时，，，
所以函数在上的解析式：
；
（2）当时，，
任取，
即，
所以在上是增函数.
【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求解析式，容易漏掉考虑，利用定义证明函数单调性，关键在于作差判定符号.
19.设函数（且）.
（1）判断奇偶性；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）奇函数；（2）当时，，当时，.
【解析】
【分析】
（1）分析定义域，化简得出即可判定奇偶性；
（2）对a进行分类讨论求解不等式.
【详解】（1）由题：函数（且），定义域为R，
，
所以是奇函数；
（2），即，，
，解得，
当时，，
当时，，
综上所述：当时，，当时，.
【点睛】此题考查涉及指数函数的复合函数奇偶性，解指数不等式，关键在于准确掌握奇偶性的判定方法和指数不等式的解法，涉及分类讨论思想.
20.在十九大会议上，党中央明确强调“坚持房子是用来住的……”，得到了各级政府及相关单位的积极响应.在济宁，随着济宁一中升学率的节节攀升，北湖校区附近的房价也在不断攀升，为满足广大人民群众的购房需求，一中北湖附近的一个楼盘开盘价已限定为每平米不超过7千元，每层每平米的价格（千元）与楼层之间符合一个二次函数的变化规律，期中一栋高33层的高层住宅最低销售价为底层（一楼）每平米6千元，最高价为第20层每平米7千元.
（1）根据以上信息写出这个二次函数的表达式及定义域.
（2）某单位考虑到职工子女去一中就学的实际需要，计划团购住房，尽力争取团购优惠政策，如果得到的优惠政策是在每套房总价的基础上减去20（千元）后，再以余款的九五折将建筑面积为95平米的房型出售给该单位职工，张某和李某分别选定了1楼和25楼，请你根据函数性质，比较张某和李某谁获得的优惠额度更大一些？这一优惠的额度为多少（千元）？（注：九五折--按原价的折为现价）（精确到0.001千元）.
【答案】（1），定义域为：；（2）李某的优惠额度大一些，为51921元.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数设顶点式表达式，根据求解；
（2）写出优惠额度为解析式， ，，分别计算张某和李某的优惠额度即可得解.
【详解】（1）由题每层每平米的价格（千元）与楼层之间符合一个二次函数的变化规律，最高价为第20层每平米7千元，
可设，且，
所以，解得：
所以这个二次函数的表达式即：
，定义域为：；
（2）设优惠额度为，根据优惠方案可得：
，，
根据函数解析式可得：是一个开口朝下的二次函数，对称轴，
所以，
张某的优惠额度：
李某的优惠额度：
所以李某的优惠额度大一些，为51921元.
【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意准确求出二次函数解析式，分别求出优惠额度即可得解.
21.已知函数的图象经过定点.
（1）求的值；
（2）设，，求（用、表示）；
（3）是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）将点代入即可得解；
（2），，结合换底公式和对数运算法则，即可得解；
（3）将题目转化为在区间上有解，分离参数即可求解.
【详解】（1）由题：函数的图象经过定点，
，解得：；
（2）由（1），
，，
所以；
（3）不等式在区间上有解，
即在区间上有解，显然，
即在区间上有解，
不等式两边同时除以得：在区间上有解，
只需
在单调递增，所以时，取得最大值，
，
所以
所以存在正整数，使得不等式在区间上有解，.
【点睛】此题考查对数型函数综合应用，涉及对数化简求值，处理不等式能成立求参数范围问题，常用分离参数转化为求解最值处理.
22.如图，已知、、（其中）是指数函数图象上的三点.
（1）当时，求的值；
（2）设，求关于的函数；
（3）设的面积为，求关于的函数及其最大值.
【答案】（1）48；（2）；（3），最大值.
【解析】
【分析】
（1）当时，，；
（2）由题可得，；
（3）利用梯形面积作差求得，求出的最大值即可得解.
【详解】（1）由题：、、（其中）是指数函数图象上的三点，，
当时，，
；
（2），
即；
（3）过分别作x轴的垂线，垂足为，如图所示：
的面积为
即，要取得最大，只需取得最大，
，，取得最小值12，
所以当时，取得最大值，
取得最大值.
【点睛】此题考查指数函数综合应用，涉及指数式求值，对数化简，求函数的最值，计算量大，综合性比较强.