江苏省徐州市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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江苏省徐州市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知全集，集合，则为（ ）

A.     B.

C.     D.

【答案】D

【解析】

试题分析：,故选D.

考点：集合的运算.

2.若log2（lgx）=0，则x的值为（　　）

A. 0    B. 1    C. 10    D. 100

【答案】C

【解析】

【分析】

由，可得，即可求解，得到答案．

【详解】由，可得，∴，故选：C．

【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，其中解答中熟记对数的基本运算性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】

由同一函数的概念，根据函数的对应法则和函数的定义域是否相同，逐一判定，即可得到答案．

【详解】对于A，由于，两个函数的对应法则不相同，故不是同一个函数；

对于B，，两个函数对应法则相同，定义域相同，故是同一函数；

对于C，，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；

对于D，的定义域不相同，故不是同一个函数．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，当两个函数的定义域相同，且它们的对应法则也相同时，两个函数是同一个函数．由此对各个选项分别加以判断，比较其中两个函数的定义域和对应法则，不难得到正确答案．本题给出几组函数，要我们找到同一函数的一组，着重考查了函数的定义域、对应法则等函数的基本概念等知识，属于基础题．

4.函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 （ ）

A. （－2，－1）    B. （－1，0）

C. （0，1）    D. （1，2）

【答案】B

【解析】

试题分析：，则，由零点存在定理即可得到．

考点：零点存在定理．

5.下列所示的图形中，可以作为函数的图像是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

作直线与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，

∴是的函数，那么直线移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除，，，．

只有符合．

故选．

6.下列函数中,既是偶函数又在区间上递增的函数为

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

由偶函数排除A,B;由函数在区间上递增排除D,故答案为C.

7.已知，则的大小关系为

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

∵

∴．又∵，∴．故选：C．

8.已知函数的值域为，则（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

，

由题意，得，，，，

∴，

．

故选．

9.已知函数f(x)＝ (a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝(　　)

A.     B.     C. 1    D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意，函数的解析式，可得，进而求解的值，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，函数，则，

则，所以，故选A.

【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10.若函数f（x）=在x∈（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意，根据分段函数的单调性的判定方法，列出相应的不等式组，即可求解．

【详解】由题意，函数 在x∈（-∞，+∞）上单调递增，

∴ ，解得，故选：D．

【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中正确理解分段的单调性，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

11.已知函数是定义在区间上的偶函数,当时,是减函数,如果不等式成立,则实数的取值范围是（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

试题分析：由已知可得，故选A．

考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、函数与不等式．

12.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是 (　　)．

A.     B. [－1,0]    C. (－∞，－2]    D.

【答案】A

【解析】

f(x)＝x2－3x＋4为开口向上的抛物线，g(x)＝2x＋m是斜率k＝2的直线，可先求出g(x)＝2x＋m与f(x)＝x2－3x＋4相切时的m值．由f′(x)＝2x－3＝2得切点为，此时m＝－，因此f(x)＝x2－3x＋4的图象与g(x)＝2x＋m的图象有两个交点只需将g(x)＝2x－向上平移即可．再考虑区间[0,3]，可得点(3,4)为f(x)＝x2－3x＋4图象上最右边的点，此时m＝－2，所以m∈

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】

，解得．

故答案为：.

点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．

(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.

(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．

14.已知幂函数的图像经过点，则函数的解析式为__________．

【答案】

【解析】

幂函数的图象经过点，

所以，解得：，所以函数．

故答案为：．

15.若，（x≠0），那么______．

【答案】15

【解析】

令，解得，当时，，所以．

故答案为：15.

16.某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：

①等式对恒成立； ②函数的值域为；

③若，则一定有； ④函数在上有三个零点。 其中正确结论的序号有____________.

【答案】①②③

【解析】

试题分析：易知函数f（x）的定义域是R，f（-x）===-f（x），∴函数f（x）是奇函数，故①，正确；

因为|f（x）|=，所以-1＜f（x）＜1，故②正确；

因为奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）在其定义域内是增函数，所以若，则一定有故③正确；

令函数=0 即f（x）=x，解得x=0，所以函数在上有三个零点错误。综上，中正确结论的序号为①②③．

考点：函数奇偶性的判断；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的零点．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，函数值域及函数的零点，综合性较强，对学生的要求也较高。

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.计算下列各式的值：

（）．

（）．

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

试题分析：（1）由已知利用指数性质、运算法则求解．
（2）由已知利用对数性质、运算法则求解．

试题解析：

（）原式（或写成）．

（）原式．

18.已知集合A={x|x2-5x-6≤0}，B={x|m+1≤x≤3m-1}．

（1）当m=3时，求A∩B．

（2）若B⊆A，求实数m的取值集合C．

【答案】（1）{x|4≤x≤6}； （2）{m|m}.

【解析】

【分析】

（1）由题意，先求得集合，再根据集合的交集的运算，即可得到答案；

（2）根据，分两种情况分类讨论，即可求解．

【详解】（1）集合A={x|x2-5x-6≤0}={x|-1≤x≤6}，

当m=3时，B={x|4≤x≤8}．

∴A∩B={x|4≤x≤6}．

（2）当B=∅时，m+1＞3m-1，解得m＜1，满足题意；

当B≠∅时，由题意，解得1．

综上知：实数m的取集合C={m|m}．

【点睛】本题主要考查了交集的求法，以及根据集合的包含关系求解实数的取值范围问题，其中解答中熟记集合的运算的方法，以及合理分类讨论是解答本题的挂念，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．

19.已知函数为奇函数，当，．

（）求当时，函数的解析式．

（）设，作出的图像，并由图指出的单调区间和值域．

【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间，值域为.

【解析】

试题分析：（1）由奇函数可得当时，，则，即可得解；

（2）根据分段函数的解析式得到图象，由图像可得单调区间和值域.

试题解析：

（）当时，，则，

∵为奇函数，

∴，

∴，

∴当时，函数的解析式为．

（）

由图得单调增区间为，单调减区间，值域为．

20.已知函数．

（）判断并证明函数的奇偶性．

（）判断并用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集．

【答案】（1）奇函数；（2）.

【解析】

试题分析：（1）的定义域为，关于原点对称，进而验证可得函数为奇函数；

（2）任取，，且，判断的正负可得单调性，从而根据函数单调性解不等式即可.

试题解析：

（）是奇函数，

证明如下：的定义域为，关于原点对称，

，

∴，

所以为奇函数．

（）在上为增函数．

证明：任取，，且，

则，

∵，，且，

∴，，，

∴即，

∴在上为增函数，

∵在上为增函数且，

∴，

∴，

即的解集为．

点睛：本题主要考查函数函数单调性的证明与应用，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.

21.某企业生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）

（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】（1），.（2）产品投入万元，则产品投入万元，最大利润为万元

【解析】

试题分析：（1）产品的利润与投资成正比，可设一次函数解析式；产品的利润与投资的算术平方根成正比，可设幂函数形式：，根据图形找已知点代入求参数即得，，最后写解析式时注意交代定义域（2）利润为两种产品利润之和，根据题意宜设产品投入万元，则产品投入万元，即得函数解析式，显然这是一个关于的二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系得最值

试题解析：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元

由题设，，

由图知，故，又，∴.

从而，.

（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元

令，则

当时，，此时.

考点：二次函数最值

22.已知函数f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R．

（1）当m=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值．

（2）解关于x的不等式f（x）＞-1．

（3）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x）＞0，求实数m的取值范围．

【答案】（1）最大值为4，最小值为-5； （2）当m＞0时，不等式的解集为{x|x＜-或x＞3}；当m=0时，不等式的解集为{x|x＞3}；当-时，不等式的解集为{x|3，x＜-}；当m=-时，不等式的解集为∅；当m＜-时，不等式的解集为{x|-＜x＜3}； （3）（-∞，-1）∪（-，0）.

【解析】

【分析】

（1）当m=1时，函数f（x）在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，即可求解函数的最值．

（2）将不等式，转化为mx2+（1-3m）x-3＞0，分类讨论，即可求解不等式的解集；

（3）m＜0时，f（x）表示开口向下的抛物线，若存在x1∈（1，+∞），使得f（x1）＞0，则（1-3m）2+16m＞0，可得9m2+10m+1＞0，即可求解．

【详解】（1）当m=1时，函数f（x）=x2-2x-4在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，

所以当x=-2时，f（x）有最大值，且f（x）max=f（-2）=4+4-4=4，

当x=1时，f（x）有最小值，且f（x）min=f（1）=-5．

（2）不等式f（x）＞-1，即mx2+（1-3m）x-3＞0，

当m=0时，解得x＞3，

当m≠0时，（x-3）（mx+1）=0的两根为3和-，

当m＞0时，-，不等式的解集为：{x|x＜-或x＞3}，

当m＜0时，3-（-）=，

∴当m＜-时，-＜3，不等式的解集为{x|-＜x＜3}，

当m=-时，不等式的解集为∅，

当-时，3＜-，不等式的解集为{x|3＜x＜-}，

综上所述：当m＞0时，不等式的解集为{x|x＜-或x＞3}；

当m=0时，不等式的解集为{x|x＞3}；

当-时，不等式的解集为{x|3＜x＜-}；

当m=-时，不等式的解集为∅；

当m＜-时，不等式的解集为{x|-＜x＜3}．

（3）m＜0时，f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R为开口向下的抛物线，

抛物线的对称轴为x=-=＞1，

若存在x1∈（1，+∞），使得f（x1）＞0，则（1-3m）2+16m＞0，

即9m2+10m+1＞0，解得m＜-1或-，

综上所述：m的取值范围是（-∞，-1）∪（-，0）．

【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最大值与最小值的和的求法，考查不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论与整合思想，是中档题．